高中数学一轮总复习课件2.3　函数的奇偶性与周期性

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1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数的周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
函数的奇偶性常与函数的单调性、周期性综合考查,命制函数综合性选择、填空题.复习时,除了理解并掌握函数的奇偶性、周期性的含义与应用外,还要注重与其他性质的综合,提升数学抽象和逻辑推理的素养.
第一环节　必备知识落实
第二环节　关键能力形成
第三环节　学科素养提升
2.奇(偶)函数的性质(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.
3.函数的周期性(1)周期函数:若T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:①T≠0;② f(x+T)=f(x) 对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).
可以得到函数的周期:(1)T=2|a|;(2)T=2|a|;(3)T=|a-b|.
1.函数周期性的常用结论(1)若f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则T=2a.(2)若f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则T=4a.(3)若函数的图象关于两条直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|.(4)若函数的图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则T=2|a-b|.(5)若函数的图象关于直线x=a和点M(b,0)对称,则T=4|a-b|.
2.奇函数、偶函数图象的对称性的推广
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.(　　)(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(　　)(3)若函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(　　)(4)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(　　)
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在区间[a-1,2a]上的偶函数,则a+b的值是(　　)
3.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是(　　)A.(a,-f(a))B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a))D.(a,f(-a))
因为(a,f(a))是函数y=f(x)图象上的点,且y=f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以点(-a,f(-a)),即点(-a,-f(a))一定在y=f(x)的图象上.
5.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)