高中数学一轮总复习课件5.5　数学归纳法

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了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
本节为选学内容,不作考试要求.但是对于归纳—猜想—证明的思想还是应该注意理解,提升逻辑推理素养.
第一环节　必备知识落实
第二环节　关键能力形成
第三环节　学科素养提升
数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法(mathematical inductin).温馨提示能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件:(1)第一块骨牌倒下;(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(　　)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　　)(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(　　)(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(　　)(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证当n=1结论成立时,左边式子应为1+2+22+23.(　　)
根据题意可得,a2=3,a3=4,a4=5,故猜想an=n+1.
4.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)时,从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是　　　　　　　　　　. 
(2k+2)+(2k+3)
当n=k时,待证等式左边=1+2+3+…+(2k+1),当n=k+1时,待证等式左边=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),所以从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).
解题心得1.用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.2.由当n=k时等式成立,推出当n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.3.不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.
对点训练1求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N*).
证明 (1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×5×…×(2k-1),则当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k×1×3×5×…×(2k-1)(2k+1)×2=2k+1×1×3×5×…×(2k-1)(2k+1),即当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,对所有n∈N*等式都成立.
解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若应用其他办法不容易证明,则可考虑用数学归纳法.2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.
(1)求a2,a3,a4;(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.
解题心得在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点:(1)计算特例时,不仅仅是简单的计算过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;(2)如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明.
用数学归纳法证明整除问题
典例　用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.证明:(1)当n=1时,xn+yn=x+y,显然能被x+y整除,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N*,且k为奇数)时,命题成立,即xk+yk能被x+y整除.那么当n=k+2时,xk+2+yk+2=x2(xk+yk)+yk+2-x2yk=x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y).又根据假设,xk+yk能被x+y整除,所以x2(xk+yk)能被x+y整除.又yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,所以x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,即当n=k+2时,命题成立.由(1)(2)可知,当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.
解题心得用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的n=k+1的式子中拼凑出当n=k时的假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式或某数整除.证明过程中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用当n=k时的假设使问题得到解决.