浙教版九年级上册2.3 用频率估计概率教案

环  节

教师活动

学生活动

活动说明

创  设

情  境

引  出

问  题

欣赏：2007年奥斯卡最佳影片《无间道风云》剧照（4张）                        

提问：大家知道影片的两位男主角是如何决定自己所演的角色的呢？猜猜看。

下面请看记者的文字采访

记者：你们俩是怎么决定谁演哪个角色的？

达蒙：我们真的扔了硬币，我就是靠它决定的。我和莱昂纳多都认为这是些了不起的角色。最终的结果真是不错，现在我已经无法想像扮演另一个人。

提问：为什么抛硬币的方法可行呢？

动作：“若有不解”得摸出一枚硬币，抛掷，并接住。

猜想：硬币是正面向上，还是反面向上？它们出现的可能性相等吗？

设疑：既然抛一枚质量均匀的硬币，正面向上的概率等于反面向上的概率，均为1/2。

提问：“我拋两次硬币，必然有一次正面向上，有一次反面向上，对吗？为什么？”

学生顿时议论纷纷，纷纷举手，提出：抽签，抓阄，抛硬币等方法来决定。

生：硬币正反面的概率相同，所以他们最后抛到角色的可能性相同。

学生直觉的反应：两种情况出现的可能性各占一半。

生：实验次数太少，实验结果具有偶然性。

对学生的方法表示赞赏。

学生的猜测具有随机性，感受随机事件的偶然性。

问题的提出似乎顺理成章，实际上却是一种混淆频率和概率的说法，这样便于激发矛盾，引起共鸣。

动手实践

合作探究

动手实践

合作探究

动手实践

合作探究

整个实验分四大步：

第一步：学生各自抛硬币两次

师：以举手的方式统计“正面向上”的频率。

“正面向上”的频率出现的三种结果：1，1/2，0。

提问：从实验结果来看，我们最初的猜想是不正确的，那么造成猜想错误的原因是什么呢？

猜想：“那么我加大抛硬币的次数，现在我抛30次硬币，正面向上的次数应该等于反面向上的次数，各等于15次。”

提问：请大家预测实验结果。

此时，教师因势利导，提出：小组合作，动手做抛一元硬币的实验。用实验的方法验证教师的说法正确与否。

第二步：小组实验活动

布置活动注意事项：

①      分组（按照组间同质，组内异质的合作学习原则）

    将全班同学分成8组，组内成员分工，一位同学抛硬币，一位同学数抛硬币的次数，一位同学作硬币正面向上的记录，最后一位同学观察实验是否在同一条件下进行。

②      任务

    每组抛掷30次，本着一丝不苟，严谨求实的态度认真记录好“正面向上”出现的频数和计算“正面向上”出现的频率。附记录单

第三步：汇总、分析数据

教师收集、汇总各组实验数据，板书在黑板上。

请同学们以小组为单位。根据实验数据想一想正面向上的频率有什么规律。

提问：观察这些实验数据，你有什么发现？

师：从原来的只抛两次，到现在的抛30次，我们似乎发现了一些规律。那么，继续增加抛硬币的次数，会不会规律更明显呢？我们采用叠加各组数据的方法来看看。

教师利用提前制作的excel表格，现场录入各组数据，利用公式直接获得增大实验次数后的相应频率。

提问：观察叠加后的频数汇总表。随着抛掷次数的增加，正面向上的频率在哪个常数附近摆动，摆动的幅度有何变化？

师：请同学们把上述实验数据以描点的形式画在学习单上的统计图内。

                   图1

第四步：对比分析 深化结论

师：接下来，我们将继续增加实验次数看看有什么新的发现。历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次抛掷硬币的实验，请看他们的实验结果。

师：请同学们观察表中频率，有何发现？

追问：造成这个结果的原因是什么？

对比：展现教材中的统计图，与学生自己实验得到的统计图比较。

                      图2

师：请同学们分析，两个折线统计图所反映的规律是否相同？如果不同，不同在哪里？

追问：是什么原因造成了不同？

学生抛硬币两次，举手表示结果。

生：可能是抛的时候变量没有控制好。

生：实验次数太少，所以实验结果就有了偶然性。

学生此时满脸疑惑，有的肯定这种说法正确，有的认为这种说法不正确，但说不出原因。

学生以小组为单位，开展实验，注意在同一条件下进行（控制变量），记录硬币正面向上的频数，计算向上频率。

生：几乎每个小组的实验结果都不太一样。

生：从频率来看，频率在0.5附近上下摆动，都比较接近0.5。

生：跟原来的频率相比，叠加后的频率更加接近于0.5，在0.5上下摆动。

学生描点绘制统计图。

生：这里的频率几乎已经等于0.5了。

生：抛硬币实验次数的大量增加，偶然性便减少了，频率就越接近于概率。

生：在0.5这个数附近上下摆动，随着次数的增加，摆动的幅度越来越小。

通过对比，学生发现：图1中反映的规律并不能在图2中得到反映。

经过讨论：原因是实验次数太少。

生：实验次数越多，就越容易出现上述规律。

《课标》指出：学生数学学习内容应该是现实的，有意义的，富有挑战的。设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情。

引导学生预测实验结果，提升学生课堂的参与度、投入程度，接下来用自己动手实验的方式检验自己的猜想。

学生充分讨论的基础上，启发学生分析产生差异的原因，使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性。

学生的回答，似乎感受到随机事件发生的频率具有规律性，但限于实验次数并不是很多，规律不是很明显。此时，趁热打铁，通过叠加各组数据的方法继续增加实验次数。

通过上面的步步紧逼，

主要让学生体验随机

事件的随机性，另一方

面感受到随着实验次

数越来越大时，随机事

件又显现出它的规律

性。

绘制统计图，通过实践进一步直观地感受刚才得出的规律。

随着实验次数的不断增加，学生深入分析数据，进一步探究规律。

小组讨论，合作交流，小组代表发言，组间交流，提高数学交流水平。

环节

教师活动

学生活动

活动说明

揭示新知

练习巩固

师生共同归纳反思：

师：通过以上的大量重复实验，随机事件发生的频率和概率之间到底有怎样的关系？频率等于概率吗？

师：因此，我们可以得出，在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。即通过大量的重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。

追问：那么用频率估计概率有何前提条件？

师：由频率可以估计概率的方法，是由瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明的，因而他被公认为是概率论的先驱之一．

活动：课堂小议

问题1：中国男篮主力易建联在一场比赛中罚篮5次，罚中4次。能否说易建联罚一次篮，罚中的概率为4/5？为什么？

追问：那么我该通过用什么方法去估计他罚中的概率？

问题2：任意抛一枚均匀的骰子，朝上面的点数为1的概率为1/6.下列说法正确吗？

①任意抛一枚均匀的骰子12次，朝上面的点数为1的次数为2次.

②任意抛一枚均匀的骰子1200次，朝上面的点数为1的次数大约为200次.

生：频率越来越接近概率，并稳定在概率附近。但频率不等于概率。

生：大量的次数。

生：相同的条件。

生：次数太少，不满足频率估计概率中大量的前提。

生：可以把整个赛季的罚篮次数和罚进次数进行统计，从而来估计概率。

①生：不可以。只是抛掷12次，实验次数太少，概率不能代替频率来估计频数。

②生：1200次，实验次数已足够多，可以用来估计。

显然，该问题的设计意在点出课题，突出教学重点。同时为进入揭示新知的环节起到了承上启下的作用。

介绍数学史诗，拓展学生的数学知识背景，激发学生学习数学的热情。

问题的设计层层递进，目的只有一个，即为了深化对概率的理解，从错误辨析，频率与概率的区别和联系等方面对概率进行多角度，多侧面，多层次的深入理解。

环节

教师活动

学生活动

活动说明

尝试应用

发展提高

改编例题，发展提高

师：（展示小麦图片）小麦是三大谷物之一，我国也是世界最早种植小麦的国家之一。那么，小麦在长成麦苗的过程中，需经历“发芽”和“成秧”两个阶段，且在这两个过程中，均有一定几率被淘汰。而目前，有一个实际问题需要同学们解决，请看。

问题：现知播种某品种小麦每公顷所需麦苗数为4181818棵，种子发芽后的成秧率为87％，那么播种3公顷该种小麦估计约需麦种多少千克？（精确到千克，千粒质量为35g）

追问：那么同学们觉得可以怎么获取该麦种的发芽率呢？

学生可采用方法：①采访种植小麦的农民，根据经验得到发芽率。②通过互联网查阅该种小麦的发芽率。③借助我们今天学习的用频率估计概率，通过大量的重复实验，来估计发芽率。

教师展示实验数据，学生计算得到频率。

提问：这组数据能够用以估计发芽率吗？

教师引导学生用自己估计得到的发芽率解决实际问题。

师：方程思想的运用能够在一定程度上降低我们解决问题的思维难度，大家也要多加体会这种思想。

生：题目似乎缺少条件，两个环节都有几率淘汰，可只给出了种子发芽后的成秧率为87％，却不知道种子的发芽率。

生：因为数量够多，有3000粒种子，且在相同条件下，所以可以用来估计。

学生利用算术与方程方法解题。

改编例题，在问题中隐去已知条件，通过学生自主思考发现问题，加深对问题的认识以及对本节新知的运用。

该题的设计具有梯度，既很好的考察了频率和概率之间的关系，又提出了更高的要求，即学会运用频率估计概率来解决某些实际问题，体现了数学来源于生活，又运用于生活的理念。

解题过程中渗透方程思想。

环节

教师活动

学生活动

活动说明

课堂小结

作业布置

课堂小结

师：本节课，同学们有什么收获。

教师引导学生从数学知识、数学思想、数学经历等角度分享自己所得。

作业布置（数学小论文）

作业：在一个不透明的口袋中装有若干个白棋，在不允许将白棋倒出来的情况下，如何估计白棋的个数（可以借助其他工具和用品）？

请设计一个合理的、可操作的方案，通过试验估计白棋个数，并整理成小论文。

说明：①注意以相同的实验条件为前提，注意设计的合理性和可操作性；

②为了有足够的样本容量，可以与同伴合作，利用数据累计完成实验；

③可查阅相关课外材料，独立完成小论文，解释过程要求详细、清楚，形成电子稿。

评价方式：一周后，年段评比，评出优秀小论文张贴。

创新作业形式，通过数学小论文的数写，培养学生发现、分析、解决问题的能力，发展学生的自主性和创造性。同时，培养学生的动手实践能力，提高学生学习数学的兴趣和热爱生活的情趣。