人教版九年级上册22.1.1 二次函数第2课时学案
展开第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
学习目标:1.会用待定系数法求二次函数的表达式.
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
重点:会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
难点:会用待定系数法求二次函数的表达式.
一、知识链接
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数?通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式?
2.求一次函数表达式的方法是什么?它的一般步骤是什么?
二、要点探究
探究点1:用一般式法求二次函数的表达式
问题1 (1)由几个点的坐标可以确定二次函数?这几个点应满足什么条件?
(2)如果一个二次函数的图象经过(-1,10 ),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的解析式吗?如果能,求出这个二次函数的解析式.
典例精析
例1 一个二次函数的图象经过 (0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的表达式.
要点归纳:用一般式法求二次函数表达式的方法
已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是:
①设函数表达式为y=ax2+bx+c;
②代入后得到一个三元一次方程组;
③解方程组得到a,b,c的值;
④把待定系数用数字换掉,写出函数表达式.
练一练
下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分,试求出这个二次函数的表达式.
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y | 0 | 1 | 0 | -3 | -8 | -15 |
探究点2:用顶点法求二次函数的表达式
试一试
已知二次函数y=a(x-1)2+4的图象经过点(-1,0).求这个二次函数的解析式;
例2 一个二次函数的图象经点(0,1),它的顶点坐标为(8,9),求这个二次函数的表达式.
要点归纳:用顶点法求二次函数的方法
已知抛物线的顶点坐标,求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是:
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k;
②先代入顶点坐标,得到关于a的一元一次方程;
③将另一点的坐标代入原方程求出a值;
④a用数值换掉,写出函数表达式.
练一练
已知一个二次函数有最大值4.且x>5时,y随x的增大而减小,当x<5时,y随x的增大而增大,且该函数图象经过点(2,1),求该函数的解析式.
探究点3:用交点法求二次函数的表达式
问题 选取(-3,0),(-1,0),(0,-3),试出这个二次函数的表达式.
要点归纳:用交点法求二次函数表达式的方法
已知抛物线与x轴的交点,求表达式的方法叫做交点法.其步骤是:
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2);
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中,得到关于a的一元一次方程;
③将方程的解代入原方程求出a值;
④a用数值换掉,写出函数表达式.
例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式.
(1)图象经过点A(1,0),B(0,-3),对称轴是直线x=2;
(2)图象顶点坐标是(-2,3),且过点(1,-3);
(3)如图,图象经过A,B,C三点.
三、课堂小结
待定系数法求二次函数解析式 | 已知条件 | 所选方法 |
已知三点坐标 | 用一般式法:y=ax2+bx+c | |
已知顶点坐标或对称轴或最值 | 用顶点法:y=a(x-h)2+k | |
已知抛物线与x轴的两个交点 | 用交点法:y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标) |
1.如图,平面直角坐标系中,函数图象的表达式应是 .
2.过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6,则其表达式是 .
3.已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1).求这个二次函数的表达式.
4.已知抛物线与x轴相交于点A(-1,0),B(1,0),且过点M(0,1),求此函数的表达式.
5.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与y轴交于点B,对称轴是x=-3,请解答下列问题:
(1)求抛物线的表达式;
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD的面积.
参考答案
自主学习
知识链接
1.2个 2个
2.(1)设:(表达式) (2)代:(坐标代入) (3)解:方程(组)(4)还原:(写表达式)
课堂探究
二、要点探究
探究点1:用一般式法求二次函数的表达式
问题 (1)3个 由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标,可以确定一次函数的解析式,类似地,由不共线(三点不在同一直线上)的坐标,可以确定二次函数的解析式.
(2)解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由已知,图象经过(-1,10 ),(1,4),(2,7)三点,得关于a,b,c的三元一次方程组解得
所求二次函数解析式为y=2x2-3x+5.
典例精析
例1 解: 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,1),可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点,可得解得∴所求的二次函数的表达式是
练一练 解: 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把(-3,0),(-1,0),(0,-3)代入y=ax2+bx+c得解得∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
探究点2:用顶点法求二次函数的表达式
试一试 解:把(-1,0)代入二次函数解析式得4a+4=0,即a=-1,则函数解析式为y=-(x-1)2+4.
例2 解: 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9),因此,可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0,1),可得1=a(0-8)2+9.解得a=∴所求的二次函数的解析式是y=
练一练 解:由题意得,二次函数的顶点坐标为(5,4),设关系式为y=a(x-5)2+4,把(2,1)代入得,1=9a+4,解得a=∴二次函数的关系式为y=
探究点3:用交点法求二次函数的表达式
问题:解:∵(-3,0)、(-1,0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).其中x1、x2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1).再把点(0,-3)代入上式得a(0+3)(0+1)=-3,解得a=-1,∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
例3 解:(1)∵图象经过点A(1,0),对称轴是直线x=2,∴图象经过另一点(3,0).∴设该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3).将点(0,-3)代入,得-3=a·(-1)(-3).解得a=-1.∴该二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.
(2)解:∵图象的顶点为(-2,3),且经过点(1,-3),设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3,把(1,-3)代入,得a(1+2)2+3=-3,解得a=∴抛物线的解析式为y=
(3)根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(0,-3),C(4,5)三点,代入可得解得∴所求的二次函数的表达式是y=x2-2x-3.
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1. 2.y=-2(x-1)2+6
3.解:设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.依题意得解得∴这个二次函数的表达式为y=2x2+3x-4.
4.解:因为点A(-1,0),B(1,0)是图象与x轴的交点,所以设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-1).又因为抛物线过点M(0,1),所以1=a(0+1)(0-1),解得a=-1,所以所求抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-1),即y=-x2+1.
5.解:(1)把点A(-4,-3)代入y=x2+bx+c得16-4b+c=-3,c-4b=-19.∵对称轴是x=-3,∴ =-3,∴b=6,∴c=5,∴抛物线的表达式是y=x2+6x+5.
(2)∵CD∥x轴,∴点C与点D关于x=-3对称.∵点C在对称轴左侧,且CD=8,∴点C的横坐标为-7,∴点C的纵坐标为(-7)2+6×(-7)+5=12.∵点B的坐标为(0,5),∴△BCD中CD边上的高为12-5=7,∴S△BCD=×8×7=28.
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