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    初中数学九年级上册22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式导学案
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    人教版九年级上册22.1.1 二次函数第2课时学案

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    这是一份人教版九年级上册22.1.1 二次函数第2课时学案,共7页。学案主要包含了知识链接,要点探究,课堂小结等内容,欢迎下载使用。

    第二十二章  二次函数

    22.1.4  二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

    2课时 用待定系数法求二次函数的解析式

    学习目标1.会用待定系数法求二次函数的表达式.

    2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.

    重点:会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.

    难点:会用待定系数法求二次函数的表达式.

     

     

    一、知识链接

    1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数?通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式?

     

     

     

     

     

    2.求一次函数表达式的方法是什么?它的一般步骤是什么?

     

     

     

     

    二、要点探究

    探究点1:用一般式法求二次函数的表达式

    问题1 1)由几个点的坐标可以确定二次函数?这几个点应满足什么条件?

     

     

     

     

     

     

    2)如果一个二次函数的图象经过(-110 ),(14),(27)三点,能求出这个二次函数的解析式吗?如果能,求出这个二次函数的解析式.

     

     

     

     

     

     

     

    典例精析

    1  一个二次函数的图象经过 (01)(24)(310)三点,求这个二次函数的表达式.

     

     

     

     

     

    要点归纳:用一般式法求二次函数表达式的方法

    已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是:

    设函数表达式为y=ax2+bx+c

    代入后得到一个三元一次方程组;

    解方程组得到abc的值;

    把待定系数用数字换掉,写出函数表达式.

     

    练一练

    下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分,试求出这个二次函数的表达式.

    x

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    y

    0

    1

    0

    3

    8

    15

     

     

     

     

     

     

     

    探究点2:用顶点法求二次函数的表达式

    试一试

    已知二次函数y=a(x-1)2+4的图象经过点(-10).求这个二次函数的解析式;

     

     

     

     

     

     

    2  一个二次函数的图象经点(01),它的顶点坐标为(89),求这个二次函数的表达式.

     

     

     

     

     

     

    要点归纳:用顶点法求二次函数的方法

    已知抛物线的顶点坐标,求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是:

    设函数表达式是y=a(xh)2+k

    先代入顶点坐标,得到关于a的一元一次方程;

    将另一点的坐标代入原方程求出a值;

    a用数值换掉,写出函数表达式.

     

    练一练

    已知一个二次函数有最大值4.且x5时,yx的增大而减小,当x5时,yx的增大而增大,且该函数图象经过点(21),求该函数的解析式.

     

     

     

     

     

     

     

     

    探究点3:用交点法求二次函数的表达式

    问题  选取(30)(10)(0,-3),试出这个二次函数的表达式.

     

     

     

     

    要点归纳:用交点法求二次函数表达式的方法

    已知抛物线与x轴的交点,求表达式的方法叫做交点法.其步骤是:

    设函数表达式是y=a(xx1)(xx2)

    先把两交点的横坐标x1x2代入到表达式中,得到关于a的一元一次方程;

    将方程的解代入原方程求出a值;

    a用数值换掉,写出函数表达式.

     

    3  分别求出满足下列条件的二次函数的解析式.

    1)图象经过点A(10)B(0-3),对称轴是直线x=2

    2)图象顶点坐标是(-23),且过点(1-3)

    3)如图,图象经过ABC三点.

     

     

     

    三、课堂小结

    待定系数法求二次函数解析式

    已知条件

    所选方法

    已知三点坐标

    用一般式法:y=ax2+bx+c

    已知顶点坐标或对称轴或最值

    用顶点法:y=a(xh)2+k

    已知抛物线与x轴的两个交点

    用交点法:y=a(xx1)(xx2)

    (x1x2为交点的横坐标)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    1.如图,平面直角坐标系中,函数图象的表达式应是           .

     

     

     

     

     

    2.过点(24),且当x=1时,y有最值为6,则其表达式是                .

    3.已知二次函数的图象经过点(1,-5)(0,-4)(11).求这个二次函数的表达式.

     

     

     

     

    4.已知抛物线与x轴相交于点A(10)B(10),且过点M(01),求此函数的表达式.

     

     

     

     

    5.如图,抛物线yx2bxc过点A(4,-3),与y轴交于点B,对称轴是x=-3,请解答下列问题:

    (1)求抛物线的表达式;

    (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于CD两点,点C在对称轴左侧,且CD8,求BCD的面积.

                                     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    参考答案

    自主学习

    知识链接

    1.2   2

    2.(1)设:(表达式)  (2)代:(坐标代入) (3)解:方程(组)(4)还原:(写表达式)

    课堂探究

    二、要点探究

    探究点1:用一般式法求二次函数的表达式

    问题   13    由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标,可以确定一次函数的解析式,类似地,由不共线(三点不在同一直线上)的坐标,可以确定二次函数的解析式.

    2)解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由已知,图象经过(-110 ),(14),(27)三点,得关于abc的三元一次方程组解得

    所求二次函数解析式为y=2x2-3x+5.

    典例精析

    1  解: 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(01),可得c=1.

    又由于其图象经过(24)(310)两点,可得解得所求的二次函数的表达式是

    练一练 解: 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把(-30),(-10),(0-3)代入y=ax2+bx+c解得所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.

    探究点2:用顶点法求二次函数的表达式

    试一试  解:把(-10)代入二次函数解析式得4a+4=0,即a=-1,则函数解析式为y=-(x-1)2+4.

    2  解: 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(89),因此,可以设函数表达式为

    y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(01),可得1=a(0-8)2+9.解得a=所求的二次函数的解析式是y=

    练一练 解:由题意得,二次函数的顶点坐标为(54),设关系式为y=a(x-5)2+4,把(21)代入得,1=9a+4,解得a=二次函数的关系式为y=

    探究点3:用交点法求二次函数的表达式

    问题:解:∵(-30)(-10)是抛物线y=ax2+bx+cx轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).其中x1x2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1).再把点(0-3)代入上式得a(0+3)(0+1)=-3,解得a=-1所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),y=-x2-4x-3.

    3  解:(1图象经过点A(10),对称轴是直线x=2图象经过另一点(30).∴设该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3).将点(0-3)代入,得-3=a·(-1)(-3).解得a=-1.∴该二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.

    2)解:图象的顶点为(-23),且经过点(1-3),设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3,把(1-3)代入,得a(1+2)2+3=-3,解得a=抛物线的解析式为y=

    3)根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A-10),B0-3),C45)三点,代入可得解得所求的二次函数的表达式是y=x2-2x-3.

    当堂检测

    1.    2.y=-2(x-1)2+6

    3.解:设这个二次函数的表达式为yax2bxc.依题意得解得这个二次函数的表达式为y2x23x4.

    4.解:因为点A(10)B(10)是图象与x轴的交点,所以设二次函数的表达式为ya(x1)(x1).又因为抛物线过点M(01),所以1a(01)(01),解得a=-1,所以所求抛物线的表达式为y=-(x1)(x1),即y=-x21.

    5.解:(1)把点A(4,-3)代入yx2bxc164bc=-3c4b=-19.∵对称轴是x=-3 =-3b6c5抛物线的表达式是yx26x5.

    (2)∵CDx轴,C与点D关于x=-3对称.C在对称轴左侧,且CD8C的横坐标为-7C的纵坐标为(7)26×(7)512.∵B的坐标为(05)∴△BCDCD边上的高为1257SBCD×8×728.

     

     

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