【期末必备】11.1 与三角形有关的线段-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)(解析版+原卷版)学案

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知识点1三角形的有关概念
三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
注意1 三角形的三条边
是三条线段；
不在同一条直线上；
首尾顺次相接。
三角形的三要素
三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC 。
注意2
用字母表示三角形时，三个字母没有先后顺序；
用大写字母表示顶点，小写字母表示边，顶点A所对应的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用B表示，顶点C所对的边AB用c表示。
知识点2三角形的分类
等腰三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。具体图示如下：
三角形的分类
按边分类
注意3 等腰三角形与等边三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形；
等边三角形一定是等腰三角形；
等腰三角形不一定是等边三角形。
按角分类
具体图示如下：
知识点3三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。
注意4
三角形的三边关系中的“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三边中的任意两边。
判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。
知识点4三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
注意5
三角形的高是线段，它是有长度的，不是射线。
拓展1
锐角三角形的三条高交于三角形内部，直角三角形的三条高交于直角顶点处，钝角三角形的三条高交于三角形外部。
知识点5三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的重心在三角形内部。
拓展2
三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形，即S△ADB=S△BDC。
（2）三角形的一条中线把三角形分成如图所示的两个三角形，即△ABD和△CBD，其周长差为AB与BC的差。
知识点6三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形内部，这个点叫做三角形的内心。
注意6
角平分线与三角形的角平分线不同。
知识点7三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用。
题型1三角形的三边关系的应用
例题1已知△ABC的周长为10，三边都为整数，求△ABC的三边长。
变式1 在△ABC中，AB=2cm，AC=9cm。
求第三边BC长的取值范围；
若第三边BC的长是偶数，求BC的长；
若△ABC是等腰三角形，求其周长。
题型2三角形的高的有关问题
例题2如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，点P是BC边上的任意一点（不与点B、C重合），PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F。
求证PE+PF=BD
当点P在直线BC上时，上述结论还成立吗？如果成立，直接写出结论；如果不成立，请说明理由。
变式2如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，且AD=4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________________________.
题型3 利用中线解决三角形的面积问题
例题3如图，在△ABC中，E是BC上一点，EC=2BE，点D是AC的中点。已知S△ABC=24，S△ADF-S△BEF=_______________________________。
变式3如图所示，已知△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=6cm，AC=8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为____________________，面积之差为___________________________。
题型4应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题
例题4如图所示，点P是△ABC内一点，试说明AB+AC>PB+PC
变式4如图，D，E是△ABC内的两点，求证：AB+AC>BD+DE+EC