2021年山东省潍坊市中考数学真（原卷+解析）

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山东省潍坊市2021年中考数学真题
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题四个选项只有一项正确．）
1. 下列各数的相反数中，最大的是（ ）
A. 2 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的概念先求得每个选项中对应的数据的相反数，然后再进行有理数的大小比较．
【详解】解：2的相反数是﹣2，
1的相反数是﹣1，
﹣1的相反数是1，
﹣2的相反数是2，
∵2＞1＞﹣1＞﹣2，
故选：D．
【点睛】本题考查相反数的概念及有理数的大小比较，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小．
2. 如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（　　）

A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．
【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，
∵EF⊥平面镜，
∴CD//EF，
∴∠CDH＝∠EFH＝α，

根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC＝∠CDH＝α，
∴∠AGC＝α，
∵∠AGCAGB60°＝30°，
∴α＝30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．
3. 第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101 527 000用科学记数法（精确到十万位）（ ）
A. 1.02×108 B. 0.102×109 C. 1.015×108 D. 0.1015×109
【答案】C
【解析】
【分析】先用四舍五入法精确到十万位，再按科学记数法的形式和要求改写即可．
【详解】解：
故选：C
【点睛】本题考查了近似数和科学记数法的知识点，取近似数是本题的基础，熟知科学记数法的形式和要求是解题的关键．
4. 若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A. B. 4 C. 25 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先求出方程的解，即可得到，根据菱形的性质求出和 ，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：解方程，得，
即，
∵四边形是菱形，
∴，
由勾股定理得，
即菱形的边长为，


故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键．
5. 如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据该几何体的三视图，结合轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形及中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形进行判断即可．
【详解】解：该几何体的三视图如下：

三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再将解集表示在同一数轴上即可得到答案．
【详解】解：

解不等式①，得：x≥-1，
解不等式②，得：x＜2，
将不等式的解集表示在同一数轴上：

所以不等式组的解集为-1≤x＜2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，关键是正确求出每一个不等式解集，并会将解集表示在同一数轴上．
7. 如图为2021年第一季度中国工程机械出口额TOP10国家的相关数据（同比增速是指相对于2020年第一季度出口额的增长率），下列说法正确的是（ ）

A. 对10个国家出口额的中位数是26201万美元
B. 对印度尼西亚的出口额比去年同期减少
C. 去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口额
D. 出口额同比增速中，对美国的增速最快
【答案】A
【解析】
【分析】A、根据中位数的定义判断即可；
B、根据折线图即可判断出对印度尼西亚的出口额的增速；
C、分别求出去年同期对日本和俄罗斯联邦的出口额即可判断；
D、根据折线图即可判断．
【详解】解：A、将这组数据按从小到大的顺序排列为：19677，19791，21126，24268，25855，26547，29285，35581，39513，67366，位于中间的两个数分别是25855，26547，所以中位数是，选项正确，符合题意；
B、根据折线图可知，对印度尼西亚的出口额比去年同期增长，选项说法错误，不符合题意；
C、去年同期对日本的出口额为:，对俄罗斯联邦的出口额为：，选项错误，不符合题意 ；
D、根据折线图可知，出口额同比增速中，对越南的增速最快，选项错误，不符合题意.
故选：A．
【点睛】此题考查了中位数的概念和折线统计图和柱状图，解题的关键是正确分析出图中的数据．
8. 记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，x，4﹣x|的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别画出函数的图像，然后根据min|x1，x2，…，xn|＝﹣1即可求得．
【详解】如图所示，分别画出函数的图像，

由图像可得， ，
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数图像的性质，解题的关键是由题意分析出各函数之间的关系．
二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分．）
9. 下列运算正确的是 ．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据完全平方公式、负数指数幂、分式的化简、根式的化简分别计算解答即可．
【详解】解：A、，选项运算正确；
B、，选项运算错误；
C、是最简分式，选项运算错误；
D、，选项运算错误；
故选：A．
【点睛】此题综合考查了代数式的运算，关键是掌握代数式运算各种法则解答．
10. 如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象上的动点，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值可能为_______．

A. 3 B. C. 5 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据“⊙A与两坐标轴同时相切”分为⊙A在第二象限，第四象限两种情况进行解答．
【详解】解：如图，当⊙A在第二象限，与两坐标轴同时相切时，

在Rt△ABM中，AM＝1＝OM，BM＝BO﹣OM＝4﹣1＝3，
∴tan∠ABO；
当⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切时，
在Rt△ABM中，AM＝1＝OM，BM＝BO+OM＝4+1＝5，
∴tan∠ABO；
故答案为：B或D．
【点睛】本题考查切线的性质和判定，解直角三角形，根据不同情况画出相应的图形，利用直角三角形的边角关系求出答案是解决问题的前提．
11. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B，BO为半径作圆孤分别交⊙O于C，D两点，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，FA，AE，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是 ．

A. △AOE的内心与外心都是点G B. ∠FGA＝∠FOA
C. 点G是线段EF的三等分点 D. EF＝AF
【答案】D
【解析】
【分析】证明△AOE是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判断A；．证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF=AF，可判断D．
【详解】解：如图，

在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段EF的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D错误，
故答案为：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．
12. 在直角坐标系中,若三点A（1,﹣2）,B（2,﹣2）,C（2,0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a,b均为常数）的图象上,则下列结论正确是（ ）．
A. 抛物线的对称轴是直线
B. 抛物线与x轴的交点坐标是（﹣,0）和（2,0）
C. 当t＞时,关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D. 若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点且n＜0,则 ．
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用待定系数法将各点坐标两两组合代入,求得抛物线解析式为 ,再根据对称轴直线 求解即可得到A选项是正确答案,由抛物线解析式为,令 ,求解即可得到抛物线与x轴的交点坐标（-1,0）和（2,0）,从而判断出B选项不正确,令关于x的一元二次方程 的根的判别式当,解得 ,从而得到C选项正确,根据抛物线图象的性质由 ,推出 ,从而推出 ,得到D选项正确．
【详解】当抛物线图象经过点A和点B时,将A（1,-2）和B（2,-2）分别代入,
得,解得 ,不符合题意,
当抛物线图象经过点B和点C时,将B（2,-2）和C（2,0）分别代入,
得,此时无解,
当抛物线图象经过点A和点C时,将A（1,-2）和C（2,0）分别代入得,解得,因此,抛物线经过点A和点C,其解析式为,抛物线的对称轴为直线 ,故A选项正确,
因为,所以 ,抛物线与x轴的交点坐标是（-1,0）和（2,0）,故B选项不正确,
由得,方程根的判别式 当 , 时, ,当时,即,解得 ,此时关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,故C选项正确,
因为抛物线与x轴交于点（-1,0）和（2,0）,且其图象开口向上,若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点,且n0）满足模拟，理由见解析；（3）满足，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据m=xy是否为定值即可判断和说明理由；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度纯收入y，然后比较结果即可．
【详解】解：（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由如下：
∵1×1.5=1.5，2×2.5=5，…
∴1.5≠5
∴不能选用函数（m＞0）进行模拟；
（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0），理由如下：
由（1）可知不能选用函数（m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y=x+b（k>0），
故只能选用函数y=ax2-0.5x+c（a>0）进行模拟；
（3）由点（1，1.5），（2，2.5）在y=ax2-0.5x+c（a>0）上
则 ，解得：
∴y=0.5x2-0.5x+1.5
当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5，
∵16.5 > 16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象特征、反比例函数的图象特征、待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的函数值等知识点，根据图象特征、正确判断函数的种类成为解答本题的关键．
21. 如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，作DH⊥AB，交半圆、BC于点E，F，连接OC，∠ABC=θ，θ随点C的移动而变化．

（1）移动点C，当点H，B重合时，求证：AC=BC；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）底面半径1，高为
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解；
（2）证明△BFH∽△DAH，即可求解；
（3）根据扇形与圆锥的特点及求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】（1）如图，当点H，B重合时，∵DH⊥AB
∴△ADB是直角三角形，
∵AC＝CD，
∴BC是△ADB的中线
∴BC=
∴AC=BC

（2）当θ＜45°时，DH交半圆、BC于点E，F，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵DH⊥AB
∴∠B+∠A=∠A+∠D=90°
∴∠B=∠D
∵∠BHF=∠DHA=90°
∴△BFH∽△DAH，
∴
∴BH•AH＝DH•FH；
（3）∵∠ABC=θ=45°
∴∠AOC=2∠ABC=90°
∵直径AB＝8，
∴半径OA=4，
设扇形OAC卷成圆锥的底面半径为r
∴
解得r=1
∴圆锥的高为．
【点睛】此题主要考查圆内综合求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质及弧长的求解与圆锥的特点．
22. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线顶点为M（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，），点C（-2，）

（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，求四边形AOCB的面积；
（3）设点P是抛物线上AC间的动点，连接PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化；当S的值为2时，求点P的横坐标的值．
【答案】（1）在抛物线上，理由见解析（2）（3）-+1或+1
【解析】
【分析】（1）求出抛物线解析式，故可判断；
（2）证明四边形AOCB是平行四边形，故可求解；
（3）先求出直线AC的解析式，过P点做y轴的平行线交AC于Q点，表示出△PAC的面积，故可求解．
【详解】（1）∵抛物线顶点为M（2，﹣），
可设抛物线为y=a（x-2）2-
代入A（4，0）得0=a（4-2）2-
解得a=
∴抛物线为y=（x-2）2-=x2-x
当x=-2时，y=×（-2）2-×（-2）=
∴点C（-2，）在抛物线上；
（2）如图，连接AB，BC，CO，
∵B（2，），C（-2，）
∴BCAO，BC=2-(-2)=4=OA
∴BC=AO
∴四边形AOCB是平行四边形
∴四边形AOCB的面积为4×=

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b
把A（4，0），C（-2，）代入得
解得
∴直线AC的解析式为y=x+
过P点作y轴的平行线交AC于Q点，
设P（x，x2-x），则Q（x，x+）
∵△PAC的面积S=
∴
解得x1=-+1，x2=+1
∴点P的横坐标为-+1或+1．

【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法的应用、平行四边形的平行与性质、三角形的面积求解方法．
23. 如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．

（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 ；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解答；
（2）①；②见解答；
（3）是，∠MPN=30°．
【解析】
【分析】（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；
（2）①由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可；
②先由△BDF为等边三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即证；
（3）由中位线定理知道MN∥AD且PN∥EF，再设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，则∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．
【详解】解：（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°，
∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，
∴∠ABD=∠EBF，
在△BDA与△BFE中，
，
∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵两点之间，线段最短，
即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴CD+DF+FE最小值为CE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴BE=AB=2，BC=，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴CE=，
故答案为：；
②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°，
∴△BDF为等边三角形，
即∠BFD=60°，
∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴∠BFE=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA=120°，
∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，
∴∠ADF=∠BFD，
∴AD∥BF；
（3）∠MPN的大小是为定值，理由如下：
如图，连接MN，

∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，
∴MN∥AD且PN∥EF，
∵AB=BE且∠ABE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，
则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，
∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴MN=AD=FE=PN，
∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．
【点睛】本题是三角形与旋转变换综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键 ．