福建省福州市八县（市）协作校2021-2022学年高三上学期期中联考数学试题

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【完卷时间：120分钟；满分：150分】
命题：福建师范大学附属福清德旺中学
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题两部分）.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
已知，，且与相互垂直，则与的夹角为
A.45°B.60°C.90°D.120°
已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为
A.2B.C.4D.
设，，，则
A.B.C.D.
青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.6，则其视力的五分记录法的数据约为（ ）
参考数据：，.
A.4.5B.4.6C.4.7D.4.8
设为等差数列的前n项和，若，，则
A.12B.15C.18D.21
在平行四边形ABCD中，AB的中点为M，过A作DM的垂线，垂足为H，若，则
A.6B.8C.10D.12
函数（，，）的部分图象如图所示，已知函数在区间有且仅有3个极大值点，则m的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为
A.B.
C.D.
复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有
A.B.
C.D.
已知函数，则下列结论正确的有
A.若，则有2个零点B.存在，使得有1个零点
C.存在，使得有3个零点D.存在，使得有3个零点
半正多面体（semiregularslid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则
A.平面
B.AB与PF所成角为45°
C.该二十四等边体的体积为
D.该二十四等边体外接球的表面积为
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
命题“，”的否定形式是 .
写出一个同时满足下列要求的函数 .
①；②是偶函数；③，.
已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则 .
分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：
记图乙中第个白圈的个数为，黑圈的个数为，则 ；
数列的通项公式为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（本小题满分10分）
在①为偶函数；②是函数的一个零点；③当时，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答：
已知函数，其中，，，且，且 ，求在上的值域。
（本小题满分12分）
在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，。
（1）若，求△ABC的面积；
（2）我国古代数学家秦九韶发现已知三角形三边求面积公式：，其中，请利用该公式求△ABC面积的最大值。
（本小题满分12分）
在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，侧面PAD是等边三角形，AD=2，且PB与底面ABCD所成角为45°.
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求二面角A-PB-C的余弦值.
（本小题满分12分）
已知“悬链线”函数为：.
（1）请分析函数所有可能具有的性质并说明必要的理由；
（2）若除了原点，“悬链线”始终在抛物线图象的上方，求实数a的取值范围.
（本小题满分12分）
已知等比数列满足：，。
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，求使成立的正整数的最小值.
（本小题满分12分）
已知函数
（1）若在处的切线方程为，
（i）求a，b的值；
（ii）讨论的单调性.
（2）若，证明：有唯一的极小值点.