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    专题01 五组秒杀公式模型(原卷版)

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    这是一份专题01 五组秒杀公式模型(原卷版),共17页。
    [例1] (1)已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的离心率为( )
    A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(3)或eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)或2
    答案 D 解析 秒杀 ∵两条渐近线的夹角为60°,∴一条渐近线的倾斜角为30°,斜率为eq \f(\r(3),3).∴e=eq \r(1+k2)=eq \f(2\r(3),3).或一条渐近线的倾斜角为60°,斜率为eq \r(3).∴e=eq \r(1+k2)=2.故选D.
    通法 ∵两条渐近线的夹角为60°,且两条渐近线关于坐标轴对称,∴eq \f(b,a)=tan 30°=eq \f(\r(3),3)或eq \f(b,a)=tan 60°=eq \r(3).由eq \f(b,a)=eq \f(\r(3),3),得eq \f(b2,a2)=eq \f(c2-a2,a2)=e2-1=eq \f(1,3),∴e=eq \f(2\r(3),3)(舍负);由eq \f(b,a)=eq \r(3),得eq \f(b2,a2)=eq \f(c2-a2,a2)=e2-1=3,∴e=2(舍负).故选D.
    (2)双曲线E:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±eq \r(7)x,则E的离心率为( )
    A.2 B.eq \f(2\r(14),7) C.2eq \r(2) D.2eq \r(3)
    答案 C 解析 秒杀 ∵渐近线的斜率为±eq \r(7).∴e=eq \r(1+k2)=2eq \r(2).
    通法 由题意,双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±eq \r(7)x,即eq \f(b,a)=eq \r(7),所以双曲线的离心率为e=eq \f(c,a)=eq \r(\f(a2+b2,a2))=eq \r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)=2eq \r(2),故选.
    (3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为( )
    A.2sin 40° B.2cs 40° C.eq \f(1,sin 50°) D.eq \f(1,cs 50°)
    答案 D 解析 秒杀 由题意可得-eq \f(b,a)=tan 130°,所以e=eq \r(1+\f(b2,a2))=eq \r(1+tan2130°)=eq \r(1+\f(sin2130°,cs2130°))=eq \f(1,|cs 130°|)=eq \f(1,cs 50°).故选D.
    (4)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
    A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
    答案 A 解析 秒杀 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,∴圆心到直线的距离d=eq \f(2ab,\r(a2+b2))=a,解得a=eq \r(3)b,∴eq \f(b,a)=eq \f(1,\r(3)),∴e=eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)=eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3))))2)=eq \f(\r(6),3).故选A.
    (5) (2019·全国Ⅰ)已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若eq \(F1A,\s\up8(→))=eq \(AB,\s\up8(→)),eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))=0,则C的离心率为________.
    答案 2 解析 秒杀 由eq \(F1A,\s\up8(→))=eq \(AB,\s\up8(→)),得A为F1B的中点.又∵O为F1F2的中点,∴OA∥BF2.又eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))=0,∴∠F1BF2=90°.∴OF2=OB,∴∠OBF2=∠OF2B.又∵∠F1OA=∠BOF2,∠F1OA=∠OF2B,∴∠BOF2=∠OF2B=∠OBF2,∴△OBF2为等边三角形.∴一条渐近线的倾斜角为60°,斜率为eq \r(3).∴e=eq \r(1+k2)=2.
    通法一:由eq \(F1A,\s\up8(→))=eq \(AB,\s\up8(→)),得A为F1B的中点.又∵O为F1F2的中点,∴OA∥BF2.又eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))=0,∴∠F1BF2=90°.∴OF2=OB,∴∠OBF2=∠OF2B.又∵∠F1OA=∠BOF2,∠F1OA=∠OF2B,∴∠BOF2=∠OF2B=∠OBF2,∴△OBF2为等边三角形.如图所示,不妨设B为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2),-\f(\r(3),2)c)).∵点B在直线y=-eq \f(b,a)x上,∴eq \f(b,a)=eq \r(3),∴离心率e=eq \f(c,a)=2.

    通法二:∵eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))=0,∴∠F1BF2=90°.在Rt△F1BF2中,O为F1F2的中点,∴|OF2|=|OB|=c.如图,作BH⊥x轴于H,由l1为双曲线的渐近线,可得eq \f(|BH|,|OH|)=eq \f(b,a),且|BH|2+|OH|2=|OB|2=c2,∴|BH|=b,|OH|=a,∴B(a,-b),F2(c,0).又∵eq \(F1A,\s\up8(→))=eq \(AB,\s\up8(→)),∴A为F1B的中点.∴OA∥F2B,∴eq \f(b,a)=eq \f(b,c-a),∴c=2a,∴离心率e=eq \f(c,a)=2.
    【对点训练】
    1.已知F1,F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1,F2分别作x轴的垂线,交渐
    近线于点M,N,且点M,N在x轴的同侧,若四边形MNF2F1为正方形,则该双曲线的离心率为( )
    A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(5)
    2.已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直,则双曲线的离心率等于( )
    A.eq \r(6) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \r(10) D.eq \r(3)
    3.已知F为双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一个焦点,其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一
    条渐近线上,则双曲线C的离心率为( )
    A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(5)
    4.双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,
    且交y轴于B,若A为BF的中点,则双曲线的离心率为( )
    A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \f(\r(6),2)
    5.(2019·天津)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的两条渐近线
    分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( )
    A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(5)
    6.已知F是双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左焦点,过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐
    近线于点M,若|FM|=2a,记该双曲线的离心率为e,则e2=( )
    A.eq \f(1+\r(17),2) B.eq \f(1+\r(17),4) C.eq \f(2+\r(5),2) D.eq \f(2+\r(5),4)
    7.(2017·全国Ⅱ)若双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则
    C的离心率为( )
    A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \f(2\r(3),3)
    8.过双曲线 QUOTE x2a2 - QUOTE y2b2 =1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点
    分别为B,C,若A,B,C三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为( )
    A. QUOTE 3 B) QUOTE 5 C. QUOTE 10 D. QUOTE 13
    9.设F1,F2是双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点,点P在双曲线C的右支上且
    |F1F2|=2|OP|,△PF1F2的面积为a2,则双曲线的离心率是( )
    A.eq \r(5) B.eq \r(2) C.4 D.2
    10.设椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E(0,t)(00)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
    A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
    答案 D 解析 秒杀 在Rt△PF2F1中,令|PF2|=1,∵∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2,|F1F2|=eq \r(3).∴e=eq \f(2c,2a)=eq \f(|F1F2|,|PF1|+|PF2|)=eq \f(\r(3),3).
    通法 如图,在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,|F1F2|=2c,∴|PF1|=eq \f(2c,cs 30°)=eq \f(4\r(3)c,3),
    |PF2|=2c·tan 30°=eq \f(2\r(3)c,3).∵|PF1|+|PF2|=2a,即eq \f(4\r(3)c,3)+eq \f(2\r(3)c,3)=2a,可得eq \r(3)c=a.∴e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(3),3).
    (7) (2018·全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )
    A.1-eq \f(\r(3),2) B.2-eq \r(3) C.eq \f(\r(3)-1,2) D.eq \r(3)-1
    答案 D 解析 秒杀 e=eq \f(c,a)=eq \f(2c,2a)=eq \f(|F1F2|,|PF2|+|PF1|)=eq \f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2+sin∠PF2F1)=eq \f(sin90°,sin30°+sin60°)eq \r(3)-1.故选D.
    通法 由题设知∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=eq \r(3)c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即eq \r(3)c+c=2a,所以(eq \r(3)+1)c=2a,故椭圆C的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(2,\r(3)+1)=eq \r(3)-1.故选D.
    (8)已知F1,F2分别是双曲线E:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=eq \f(1,3),则E的离心率为( )
    A.eq \r(2) B.eq \f(3,2) C.eq \r(3) D.2
    答案 A 解析 秒杀 作出示意图,如图,离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(2c,2a)=eq \f(|F1F2|,|MF2|-|MF1|)=eq \f(sin∠F1MF2,sin∠MF1F2-sin∠MF2F1)=eq \f(\f(2\r(2),3),1-\f(1,3))=eq \r(2).故选A.
    通法 因为MF1与x轴垂直,所以|MF1|=eq \f(b2,a).又sin∠MF2F1=eq \f(1,3),所以eq \f(|MF1|,|MF2|)=eq \f(1,3),即|MF2|=3|MF1|.由双曲线的定义,得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=eq \f(2b2,a),所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2,所以离心率e=eq \f(c,a)=eq \r(2).故选A.
    (9)点P是椭圆上任意一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2的最大值是60°,则椭圆的离心率e=________.
    答案 eq \f(1,2) 解析 秒杀 e=eq \f(c,a)=eq \f(2c,2a)=eq \f(|F1F2|,|PF2|+|PF1|)=eq \f(1,2)
    通法 如图所示,当点P与点B重合时,∠F1PF2取得最大值60°,此时|OF1|=c,|PF1|=|PF2|=2c.由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4c=2a,所以椭圆的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2).
    (10)椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线eq \r(3)x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为________.
    答案 eq \r(3)-1 解析 秒杀 设F′为椭圆的右焦点,则AF⊥AF′,∠AF′F=eq \f(π,3),∴|AF|=eq \r(3)|AF′|,|FF′|=2|AF′|,因此椭圆C的离心率为eq \f(2c,2a)=eq \f(|FF′|,|AF|+|AF′|)=eq \f(2,\r(3)+1)=eq \r(3)-1.
    (11) (2018·北京)已知椭圆M:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),双曲线N:eq \f(x2,m2)-eq \f(y2,n2)=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________.
    答案 eq \r(3)-1 2 解析 秒杀 双曲线N的离心率e1=eq \r(1+tan260°)=2.椭圆M的离心率e2=eq \f(sin∠FDC,sin∠DFC+sin∠DCF)=eq \f(sin90°,sin30°+sin60°)=eq \r(3)-1.
    通法一:如图,∵双曲线N的渐近线方程为y=±eq \f(n,m)x,∴eq \f(n,m)=tan 60°=eq \r(3),∴双曲线N的离心率e1满足eeq \\al(2,1)=1+eq \f(n2,m2)=4,∴e1=2.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=\r(3)x,,\f(x2,a2)+\f(y2,b2)=1,))得x2=eq \f(a2b2,3a2+b2).设D点的横坐标为x,由正六边形的性质得|ED|=2x=c,∴4x2=c2.∴eq \f(4a2b2,3a2+b2)=a2-b2,得3a4-6a2b2-b4=0,∴3-eq \f(6b2,a2)-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)))2=0,解得eq \f(b2,a2)=2eq \r(3)-3.∴椭圆M的离心率eeq \\al(2,2)=1-eq \f(b2,a2)=4-2eq \r(3).∴e2=eq \r(3)-1.
    通法二:∵双曲线N的渐近线方程为y=±eq \f(n,m)x,则eq \f(n,m)=tan 60°=eq \r(3).又c1=eq \r(m2+n2)=2m,∴双曲线N的离心率为eq \f(c1,m)=2.如图,连接EC,由题意知,F,C为椭圆M的两焦点,设正六边形边长为1,则|FC|=2c2=2,即c2=1.又E为椭圆M上一点,则|EF|+|EC|=2a,即1+eq \r(3)=2a,a=eq \f(1+\r(3),2).∴椭圆M的离心率为eq \f(c2,a)=eq \f(2,1+\r(3))=eq \r(3)-1.
    (12)如图,F1,F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的交点,若AF1⊥BF1,且∠AF1O=eq \f(π,3),则C1与C2的离心率之和为( )
    A.2eq \r(3) B.4 C.2eq \r(5) D.2eq \r(6)
    答案 A 解析 秒杀 连接AF2,椭圆C1的离心率e1=eq \f(sin∠F1AF2,sin∠AF1F2+sin∠AF2F1)=eq \f(sin90°,sin60°+sin30°)=eq \r(3)-1.双曲线C2的离心率e2=eq \f(sin∠F1AF2,sin∠AF1F2-sin∠AF2F1)=eq \f(sin90°,sin60°-sin30°)=eq \r(3)+1.∴e+e1=2eq \r(3).
    通法 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),由双曲线和椭圆的对称性可知,A,B关于原点对称,又AF1⊥BF1,且∠AF1O=eq \f(π,3),故|AF1|=|OF1|=|OA|=|OB|=c,∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(c,2),\f(\r(3),2)c)),代入椭圆方程eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1,结合b2=a2-c2及e=eq \f(c,a),整理可得,e4-8e2+4=0,∵00)的右焦点,P为双曲线C的右支上一点,
    且△OPF为正三角形,则双曲线C的离心率为( )
    A.eq \r(3) B.eq \f(2\r(3),3) C.1+eq \r(3) D.2+eq \r(3)
    15.已知等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD=4,∠BAD=60°,双曲线以A,B为焦点,且经过C,
    D两点,则该双曲线的离心率等于( )
    A. QUOTE 2 B. QUOTE 3 C. QUOTE 5 D. QUOTE 3 +1
    16.已知F是椭圆E:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左焦点,经过原点O的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|
    =2|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E的离心率为( )
    A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
    17.已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上第二象限内一点,
    若直线y=eq \f(b,a)x恰为线段PF2的垂直平分线,则双曲线C的离心率为( )
    A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(5) D.eq \r(6)
    18.椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线eq \r(3)x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则
    椭圆C的离心率为( )
    A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3)-1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)-1
    第Ⅲ组秒杀公式
    (1)若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-eq \f(b2,a2)=e2-1.

    (2)若直线y=kx与双曲线E交于A,B两点,P为双曲线上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=eq \f(b2,a2)=e2-1.
    注:当焦点在y轴上时a,b对调.
    【例题选讲】
    [例3] (13)(2015·全国Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )
    A.eq \r(5) B.2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
    答案 D 解析 秒杀 ∵k1·k2=e2-1.∴1=e2-1.∴e=eq \r(2).故选D.
    通法 不妨取点M在第一象限,如图所示,设双曲线方程为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),则|BM|=|AB|=2a,∠MBx=180°-120°=60°,∴M点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a,\r(3)a)).∵M点在双曲线上,∴eq \f(4a2,a2)-eq \f(3a2,b2)=1,a=b,∴c=eq \r(2)a,e=eq \f(c,a)=eq \r(2).故选D.
    (14)已知椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的右顶点为A,过原点O的直线l与C交于点P,Q,且直线AP与直线AQ的斜率之积为-eq \f(1,2),则C的离心率是( )
    A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),4)
    答案 C 解析 秒杀 ∵k1·k2=e2-1.∴-eq \f(1,2)=e2-1.∴e=eq \f(\r(2),2).故选C.
    通法 设P(x1,y1),Q(-x1,-y1),A(a,0).所以kAP·kAQ=eq \f(y1,x1-a)·eq \f(-y1,-x1-a)=eq \f(yeq \\al(2,1),xeq \\al(2,1)-a2),又因为eq \f(xeq \\al(2,1),a2)+eq \f(yeq \\al(2,1),b2)=1⇒yeq \\al(2,1)=eq \f(b2(a2-xeq \\al(2,1)),a2),所以kAP·kAQ=-eq \f(b2,a2),即eq \f(b2,a2)=eq \f(1,2),所以椭圆C的离心率e=eq \f(c,a)=eq \r(1-\f(b2,a2))=eq \f(\r(2),2),故选C.
    (15)设A1,A2分别为椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得kPA1·kPA2>-eq \f(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(\r(2),2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2),1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))
    答案 C 解析 秒杀 ∵k1·k2=e2-1.∴e2-1>-eq \f(1,2).∴e>eq \f(\r(2),2),故选C.
    通法 椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1(-a,0),A2(a,0),设P(x0,y0),根据题意,kPA1·kPA2=eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)-a2)>-eq \f(1,2),而eq \f(x\\al(2,0),a2)+eq \f(y\\al(2,0),b2)=1,所以eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)-a2)=-eq \f(b2,a2),于是eq \f(b2,a2)<eq \f(1,2),即eq \f(a2-c2,a2)<eq \f(1,2),1-e2<eq \f(1,2),所以e>eq \f(\r(2),2),又e<1,故eq \f(\r(2),2)<e<1.故选C.
    (16)已知O为坐标原点,点A,B在双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)上,且关于坐标原点O对称.若双曲线C上与点A,B横坐标不相同的任意一点P满足kPA·kPB=3,则双曲线C的离心率为( )
    A.2 B.4 C.eq \r(10) D.10
    答案 A 解析 秒杀 ∵k1·k2=e2-1.∴3=e2-1.∴e=2.故选A.
    通法 设A(x1,y1),P(x0,y0)(|x0|≠|x1|),则B(-x1,-y1),则kPA·kPB=eq \f(y0-y1,x0-x1)·eq \f(y0+y1,x0+x1)=eq \f(y\\al(2,0)-y\\al(2,1),x\\al(2,0)-x\\al(2,1)).因为点P,A在双曲线C上,所以b2xeq \\al(2,0)-a2yeq \\al(2,0)=a2b2,b2xeq \\al(2,1)-a2yeq \\al(2,1)=a2b2,两式相减可得eq \f(y\\al(2,0)-y\\al(2,1),x\\al(2,0)-x\\al(2,1))=eq \f(b2,a2),故eq \f(b2,a2)=3,于是b2=3a2.又因为c2=a2+b2,所以双曲线C的离心率e=eq \r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)=2.故选A.
    (17)已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),M、N为双曲线上关于原点对称的两点,P为双曲线上的点,且直线PM、PN的斜率分别为k1、k2,若k1·k2=eq \f(5,4),则双曲线的离心率为( )
    A.eq \r(2) B.eq \f(3,2) C.2 D.eq \f(5,2)
    答案 B 解析 秒杀 ∵k1·k2=e2-1.∴eq \f(5,4)=e2-1.∴e=eq \f(3,2).故选B.
    通法 设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(-x1,-y1),∴k1·k2=eq \f(y2-y1,x2-x1)·eq \f(y2+y1,x2+x1)=eq \f(y\\al(2,2)-y\\al(2,1),x\\al(2,2)-x\\al(2,1)),由点M、N在双曲线上得eq \f(x\\al(2,1),a2)-eq \f(y\\al(2,1),b2)=1,eq \f(x\\al(2,2),a2)-eq \f(y\\al(2,2),b2)=1,两式相减可得eq \f(y\\al(2,2)-y\\al(2,1),x\\al(2,2)-x\\al(2,1))=eq \f(b2,a2),∵k1·k2=eq \f(5,4),∴eq \f(b2,a2)=eq \f(5,4),∴b=eq \f(\r(5),2)a,∴c=eq \r(a2+b2)=eq \f(3,2)a,∴e=eq \f(c,a)=eq \f(3,2).故选B.
    【对点训练】
    19.设A1,A2分别为双曲线C:eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0,b>0)的上、下顶点,若双曲线上存在点M使得两直线斜
    率kMA1·kMA2<eq \f(1,2),则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(\r(6),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(6),2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2),+∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(3,2)))
    20.已知A,B是椭圆C上关于原点对称的两点,若椭圆C上存在点P,使得直线PA,PB斜率的绝对值
    之和为1,则椭圆C的离心率的取值范围是________.
    第Ⅳ组秒杀公式
    (1)若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-eq \f(b2,a2)=e2-1.

    (2)若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与双曲线E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=eq \f(b2,a2)=e2-1.
    注:当焦点在y轴上时a,b对调.
    【例题选讲】
    [例4] (18)过点M(1,1)作斜率为-eq \f(1,3)的直线l与椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0) 相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为________.
    答案 eq \f(\r(6),3) 解析 秒杀 由题意得,k0·k=e2-1.∴e=eq \f(\r(6),3).
    通法 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得,eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2x\\al(2,1)+a2y\\al(2,1)=a2b2,,b2x\\al(2,2)+a2y\\al(2,2)=a2b2,))∴b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,∴2b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0,∴b2(x1-x2)=-a2(y1-y2).∴eq \f(b2,a2)=-eq \f(y1-y2,x1-x2)=eq \f(1,3),∴a2=3b2.∴a2=3(a2-c2),∴2a2=3c2,∴e=eq \f(\r(6),3).
    (19)已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),点F为左焦点,点P为下顶点,平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点,且AB的中点为M(1,eq \f(1,2)),则椭圆的离心率为( )
    A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(3),2)
    答案 B 解析 秒杀 由题意得,k0·k=e2-1.即,∴e=eq \f(\r(2),2).故选B.
    通法 因为FP的斜率为-eq \f(b,c),FP∥l,所以直线l的斜率为-eq \f(b,c).设A(x1,y1),B(x2,y2),由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)+\f(yeq \\al(2,1),b2)=1,\f(xeq \\al(2,2),a2)+\f(yeq \\al(2,2),b2)=1))得eq \f(yeq \\al(2,1),b2)-eq \f(yeq \\al(2,2),b2)=-(eq \f(xeq \\al(2,1),a2)-eq \f(xeq \\al(2,2),a2)),即eq \f(y1-y2,x1-x2)=-eq \f(b2(x1+x2),a2(y1+y2)).因为AB的中点为M(1,eq \f(1,2)),所以-eq \f(b,c)=-eq \f(2b2,a2),所以a2=2bc,所以b2+c2=2bc,所以b=c,所以a=eq \r(2)c,所以椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2),故选B.
    (20)已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( )
    A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(5),5)
    答案 C 解析 秒杀 由题意得,k0·k=e2-1.∴e=eq \f(\r(3),2).故选C.
    通法一 设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)+\f(yeq \\al(2,1),b2)=1,,\f(xeq \\al(2,2),a2)+\f(yeq \\al(2,2),b2)=1,))两式相减得eq \f(y1-y2,x1-x2)=-eq \f(b2,a2)·eq \f(x1+x2,y1+y2).因为kAB=eq \f(y1-y2,x1-x2)=1,且x1+x2=-8,y1+y2=2,所以eq \f(b2,a2)=eq \f(1,4),e=eq \f(c,a)=eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))=eq \f(\r(3),2),故选C.
    通法二 将直线方程x-y+5=0代入eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),得(a2+b2)x2+10a2x+25a2-a2b2=0,设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-eq \f(10a2,a2+b2),又由中点坐标公式知x1+x2=-8,所以eq \f(10a2,a2+b2)=8,解得a=2b,又c=eq \r(a2-b2)=eq \r(3)b,所以e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(3),2).故选C.
    (21)已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),过点P(3,6)的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则双曲线C的离心率为( )
    A.2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(\r(5),2)
    答案 B 解析 秒杀 由题意得,k0·k=e2-1.∴e=eq \f(3,2).故选B.
    通法 设A(x1,y1),B(x2,y2),由AB的中点为N(12,15),则x1+x2=24,y1+y2=30,由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)-\f(y\\al(2,1),b2)=1,,\f(x\\al(2,2),a2)-\f(y\\al(2,2),b2)=1,))两式相减得,eq \f(x1+x2x1-x2,a2)=eq \f(y1+y2y1-y2,b2),则eq \f(y1-y2,x1-x2)=eq \f(b2x1+x2,a2y1+y2)=eq \f(4b2,5a2),由直线AB的斜率k=eq \f(15-6,12-3)=1,所以eq \f(4b2,5a2)=1,则eq \f(b2,a2)=eq \f(5,4),双曲线的离心率e=eq \f(c,a)= eq \r(1+\f(b2,a2))=eq \f(3,2),所以双曲线C的离心率为eq \f(3,2).故选B.
    第Ⅴ组秒杀公式
    过椭圆或双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点,且eq \(AF,\s\up6(→))=λeq \(FB,\s\up6(→)),则有.(其中θ为直线的倾斜角,F在线段AB上)
    [例5] (22)倾斜角为eq \f(π,4)的直线经过椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点F,与椭圆交于A、B两点,且eq \(AF,\s\up6(→))=2eq \(FB,\s\up6(→)),则该椭圆的离心率为( )
    A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
    答案 B 解析 秒杀 由题可知,,所以e=eq \f(\r(2),3),故选B.
    通法 由题可知,直线的方程为y=x-c,与椭圆方程联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)+\f(y2,b2)=1,y=x-c)),所以(b2+a2)y2+2b2cy-b4=0,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有两个交点,则Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1+y2=\f(-2b2c,a2+b2),y1y2=\f(-b4,a2+b2))),又eq \(AF,\s\up6(→))=2eq \(FB,\s\up6(→)),所以(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),所以-y1=2y2,可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-y2=\f(-2b2c,a2+b2),-2yeq \\al(2,2)=\f(-b4,a2+b2))),所以eq \f(1,2)=eq \f(4c2,a2+b2),所以e=eq \f(\r(2),3),故选B.
    (23)已知F是椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点,A是椭圆短轴的一个端点,若F为过AF的椭圆的弦的三等分点,则椭圆的离心率为( )
    A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
    答案 B 解析 秒杀 由题可知,,即,所以e=eq \f(\r(3),3),故选B.
    通法 延长AF交椭圆于点B,设椭圆左焦点为F′,连接AF′,BF′.根据题意|AF|=eq \r(b2+c2)=a,|AF|=2|FB|,所以|FB|=eq \f(a,2).根据椭圆定义|BF′|+|BF|=2a,所以|BF′|=eq \f(3a,2).在△AFF′中,由余弦定理得cs∠F′AF=eq \f(|F′A|2+|FA|2-|F′F|2,2|F′A|·|FA|)=eq \f(2a2-4c2,2a2).在△AF′B中,由余弦定理得cs∠F′AB=eq \f(|F′A|2+|AB|2-|BF′|2,2|F′A|·|AB|)=eq \f(1,3),所以eq \f(2a2-4c2,2a2)=eq \f(1,3),解得a=eq \r(3)c,所以椭圆离心率为e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(3),3).故选B.
    (24)已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直,直线l与双曲线的右支交于不同两点A,B,若eq \(AF,\s\up6(→))=3eq \(FB,\s\up6(→)),则该双曲线的离心率为( )
    A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \r(3)
    答案 A 解析 秒杀 由题可知,,即,即所以e==eq \f(\r(5),2),故选B.
    通法 由题意得直线l的方程为x=eq \f(b,a)y+c,不妨取a=1,则x=by+c,且b2=c2-1.将x=by+c代入x2-eq \f(y2,b2)=1,(b>0),得(b4-1)y2+2b3cy+b4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-eq \f(2b3c,b4-1),y1y2=eq \f(b4,b4-1).由eq \(AF,\s\up6(→))=3eq \(FB,\s\up6(→)),得y1=-3y2,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-2y2=-\f(2b3c,b4-1),-3y\\al(2,2)=\f(b4,b4-1))),得3b2c2=1-b4,解得b2=eq \f(1,4),所以c=eq \r(b2+1)=eq \r(\f(5,4))=eq \f(\r(5),2),故该双曲线的离心率为e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(5),2),故选A.
    (25)设F1,F2分别是椭圆E:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍,cs∠AF2B=eq \f(3,5),则椭圆E的离心率为( )
    A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(2),2)
    答案 D 解析 秒杀 设|F1B|=keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k>0)),依题意可得|AF1|=3k,|AB|=4k,∴|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.∵cs∠AF2B=eq \f(3,5),在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cs∠AF2B,∴(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-eq \f(6,5)(2a-3k)(2a-k),化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a-3k=0,a=3k,∴|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k,,即,所以e=eq \f(\r(2),3),故选D.
    通法 设|F1B|=keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k>0)),依题意可得|AF1|=3k,|AB|=4k,∴|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.∵cs∠AF2B=eq \f(3,5),在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cs∠AF2B,∴(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-eq \f(6,5)(2a-3k)(2a-k),化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a-3k=0,a=3k,∴|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k,∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2,∴AF1⊥AF2,∴△AF1F2是等腰直角三角形.∴c=eq \f(\r(2),2)a,椭圆的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(2),2).
    (26)已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为点C,若S△ABC=3S△BCF2,则椭圆的离心率为 .
    答案 eq \f(\r(5),5) 解析 秒杀 如图所示,因为S△ABC=3S△BCF2,所以|AF2|=2|F2C|.tan∠F1F2A=eq \f(b2,2ac),则cs2∠F1F2A=eq \f(4a2c2,b4+4a2c2).,即,化为:a2=5c2,解得e=eq \f(\r(5),5).
    通法 如图所示,因为S△ABC=3S△BCF2,所以|AF2|=2|F2C|.A(-c,eq \f(b2,a)),直线AF2的方程为:y-0=eq \f(\f(b2,a)-0,-c-c)(x-c),化为:y=eq \f(-b2,2ac)(x-c),代入椭圆方程eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),可得:(4c2+b2)x2-2cb2x+b2c2-4a2c2=0,所以xC·(-c)=eq \f(b2c2-4a2c2,4c2+b2),解得xC=eq \f(4a2c-b2c,4c2+b2).因为eq \(AF2,\s\up6(→))=2eq \(F2C,\s\up6(→)),所以c-(-c)=2(eq \f(4a2c-b2c,4c2+b2)-c),化为:a2=5c2,解得e=eq \f(\r(5),5).
    【对点训练】
    21.已知F是椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点,A是椭圆短轴的一个端点,若F为过AF的椭圆的弦的三等
    分点,则椭圆的离心率为( )
    A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
    22.已知F1,F2是椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左右焦点,B是短轴的一个端点,线段BF2的延长线交椭
    圆C于点D,若△F1BD为等腰三角形,则椭圆C的离心率为________.

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