江西省南昌市2021届高三一模数学（理）试题（含答案）

这是一份江西省南昌市2021届高三一模数学（理）试题（含答案），共7页。试卷主要包含了 已知正数满足，则， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．
3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．
4.考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则＝（ ）
A. B. 2C. 4D.
4. 如图，，，分别是菱形的边，，，上的点，且，，，，现将沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 直线，有可能平行
B. 直线，一定异面
C. 直线，一定相交，且交点一定直线上
D. 直线，一定相交，但交点不一定直线上
5. 中，角，，所对的边分别为，，，满足，，，则（ ）
A. 2B. C. D.
6. 如图，将框图输出的看成输入的的函数，得到函数，则的图象（ ）
A. 关于直线对称B. 关于直线对称
C. 关于轴对称D. 关于点对称
7. 已知直线的方程是，则“原点在直线的右上方”是“点”在直线的右上方的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知正数满足，则（ ）
A. B. C. D.
9. 许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知下面左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为（ ）
A. 10米B. 20米C. 米D. 米
10. 已知，则（ ）
A. 或1B. 或－1
C. 或1D. 或－1
11. 如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为，截面半径为（为常量），油面高度为，油面宽度为，储油量为（为变量），则下列说法：
①是的函数 ②是的函数 ③是的函数 ④是的函数
其中正确个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
12. 已知的最小值为0，则正实数的最小值是（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则向量夹角的余弦值为_________．
14. 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为________．
15. 2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：
并求得与的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，则估计该疫苗的有效率为__________． （疫苗的有效率为；参考数据：；结果保留3位有效数字）
16. 如图，是圆台的轴截面， ，过点与垂直的平面交下底圆周于两点，则四面体的体积为__________．
三、解答题：共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一） 必考题：共60分．
17. 已知为公差不为0的等差数列，且，，，成等比数列.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18. 如图三棱柱中，，侧面是矩形，侧面是菱形，，是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）设是的中点，求二面角的余弦值．
19. 已知函数为自然对数的底数）．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若在上单调递增，求证：．
20. 为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20分，答错一个扣5分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽2个．学生小明第一类5题中有4个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是．
（1）若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；
（2）若小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题回答？
21. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的动直线与抛物线交于两点，直线过点，且点关于直线的对称点．
（1）求抛物线的方程，并证明直线是抛物线的切线；
（2）过点且垂直于的直线交轴于点，，与抛物线的另一个交点分别为，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做， 按所做的第一题计分．
选修4－4：坐标系与参数方程
22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为：（为参数），直线的极坐标方程为：.
（Ⅰ）求曲线普通方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设，是曲线与直线的公共点，，求的值.
选修4－5：不等式选讲
23. 已知．
（1）当时，求不等式解集；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围．
答案
1. 【答案】D2.【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】C5. 【答案】C6. 【答案】D7.【答案】A
8. 【答案】B9.【答案】B10. 【答案】A11. 【答案】B.【答案】C
13. 【答案】14. 【答案】15. 【答案】16. 【答案】
17. 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
18.【答案】（1）证明见解析（2）
19. 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析
20.【答案】（1）；（2）第二类题目中选道.
21. 【答案】（1）；证明见解析；（2）.
22.【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为；（Ⅱ）
23. 【答案】（1）或（2）
调查人数
300
400
500
600
700
感染人数
3
3
6
6
7