中考数学备考-挖掘隐藏辅助圆巧解几何题

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中考数学备考：挖掘隐藏辅助圆巧解几何题

挖掘隐藏辅助圆模型的类型
（1）动点定长模型
若P为动点，但AB=AC=AP， 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径。


原理：圆A中，AB=AC=AP。
备注：常转全等或相似证明出定长。
（2）直角圆周角模型
固定线段AB所对动角∠C恒为90°， 则A、B、C三点共圆，AB为直径。

原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径。
备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角。
（3）定弦定角模型
固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆。

原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等。
备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。
（4）四点共圆模型①
若动角∠A+动角∠C=180°，则A、B、C、D四点共圆。


原理：圆内接四边形对角互补。
备注：点A与点C在线段AB异侧。
（5）四点共圆模型②
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆。

原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等。
备注：点P与点C需在线段AB同侧。
（6）旋转型求最值问题

条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点。
（1）求CM最小值与最大值；
（2）求线段AB扫过的面积；
（3）求最大值与最小值。

例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________．


变式练习>>>
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．



例题2. 如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．


变式练习>>>
2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．



例题3. 如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．　


变式练习>>>
3．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．



例题4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．



变式练习>>>
4．如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　 　．




例题5. 如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．


变式练习>>>
5．在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．
【分析】先作图，如下



例题6. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为　　．



达标检测
1. 如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=10，AC=8．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为　 　．




2.如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3，5，求三角形OBE的面积．




3. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．



4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．



5. 如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．


6. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是　 　．


7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为　　．



8. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　 　．


9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是　 　．


10. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为　 　．








答案
（6）旋转型求最值问题

条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点。
（1）求CM最小值与最大值；
（2）求线段AB扫过的面积；
（3）求最大值与最小值。
作法：如图建立三个同心圆，作OM⊥AB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆。
结论：①CM1最小，CM3最大。
②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积。
③最小值是以AB为底，CM1为高的三角形面积；最大值是以AB为底，CM3为高的三角形面积。
例题1.
【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为：—1．

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1．【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2.

例题2. 【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．答案为4.


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2．答案为8.
【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可．


例题3. 【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．答案为

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3．答案为
【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，
∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．
当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．

例题4. 【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，．

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4．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．
重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．
∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．答案为　


例题5. 答案为
【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）
当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．

变式练习>>>
5．【分析】先作图，如下

条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．当BC为直径时，BC取到最大值为，考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．


例题6. 　　．

【解答】解：∵∠CAD＝∠CFD，∴点A，F，C，D四点共圆，
∴∠FAD+∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC，
∵∠DCF＝90°，∴∠FAD＝90°，
∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
∵DF⊥AB，∴∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°，
∴∠ABF＝∠CDF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，
∵DF﹣AD＝2，∴DF＝AD+2，
∵DF2＝AF2+AD2，∴（2+AD）2＝62+AD2，解得：AD＝8，∴DF＝10，
∵∠FAD＝90°，AE⊥DF，∴△ADE∽△DAF，∴＝，∴DE＝＝＝，故答案为：．

达标检测
1. 答案为：
【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．


2.


[解答]解：四边形ABCD正方形中，∠AOB=∠DOC=90°，∠OAB=∠OBA=∠OCD=45°。由∠AEB=∠AOB=90°，得O、E、A、B四点共圆，∠OAB=∠OEB=∠OCD=45°，过点0作OG⊥BE于G，OG=EG。
设0G=x ，则EG=x，DG=5—x，由勾股定理得: AB==，OB= ，在RtΔOGB中，OD2=OG2 +BG2，17=x2+ (5—x)2，x2—5x+4=0，x=1或x=4，OG=1或4(舍) ，ΔOBE的面积是BE·OG=x5x1=2.5，故答案为:2.5。

3. 答案为：
【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．

4.

【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．
连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．答案为

5.
答案为
6. 　﹣2≤BE＜3　．

【解答】解：如图，由题意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
∵AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，CM＝2，
则BM＝＝＝，
∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，
BE最长时，即E与C重合，
∵BC＝3，且点E与点C不重合，
∴BE＜3，综上，﹣2≤BE＜3，
7. 　8　．

【解答】解：解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，∴QB＝＝13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，∴BE的最小值为8，故答案为8．
8. 　2﹣2　．


【解答】解：连结AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，
∴AB＝AC＝4，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，
∴OC＝＝2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2．
故答案为2﹣2．

9. 　2﹣2　．

【解答】解：如图，连接EO、PO、OC．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠OAP＝90°，
在Rt△OBC中，BC＝8，OB＝2，∴OC＝＝2，
在Rt△AOP中，OA＝2，PA＝4，∴OP＝＝2，
∵OE＝OC＝2，PE≥OE﹣OP，∴PE的最小值为2﹣2．
故答案为2﹣2．
10. 　　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，
∵AB＝3，AE＝2，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．
由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，
在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝，
∴EH＝AE＝，
∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，
∴S四边形AGCD最小＝h+6＝+6＝．
故答案为：．