初中数学华师大版八年级下册16.3 可化为一元一次方程的分式方程教学设计及反思

16．3　可化为一元一次方程的分式方程

教学目标

一、基本目标

1．理解分式方程的定义，能确定一个方程是不是分式方程．

2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解分式方程验根的必要性．

3．理解列分式方程解应用题的基本思路和方法，能根据题意正确列出分式方程，并解决问题．

二、重难点目标

【教学重点】

分式方程的解法及其应用．

【教学难点】

正确求解可化为一元一次方程的分式方程．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P12～P15的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．解分式方程实质上是将方程的两边都乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程求解．

3．增根：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．

4．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是：

(1)审题，设未知数；

(2)找等量关系列方程；

(3)去分母，化分式方程为整式方程；

(4)解整式方程；

(5)检验根且是否符合实际意义；

(6)作答．

5．下列方程中，哪些是关于x的分式方程？

①＝5；②＝；③＝x－1；④＝；⑤＝.

解：②⑤是关于x的分式方程．

6．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意x满足的方程为－2＝.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】解方程：

(1)＝；　(2)＋1＝；

(3)－＝1.

【互动探索】(引发学生思考)怎么解分式方程？解分式方程应该注意些什么？

【解答】(1)方程两边同乘x(x－6)，约去分母，得3x－18＝2x，解得x＝18.

检验：把x＝18代入x(x－6)，得18×(18－6)≠0，所以x＝18是原方程的解．

(2)方程两边同乘2(x＋2)，约去分母，得6x＋2(x＋2)＝8，解得x＝.

检验：把x＝代入2(x＋2)，得2×≠0，所以x＝是原方程的解．

(3)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，约去分母，得(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)，解得x＝1.

检验：把x＝1代入(x＋1)(x－1)，得(1＋1)×(1－1)＝0，所以x＝1不是原方程的解．

故原方程无解．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解分式方程的一般方法是将分式方程通过去分母，转化为整式方程求解，注意要验根．

【例2】甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度．

【互动探索】(引发学生思考)如果设步行速度为x千米/时，则骑自行车的速度怎么表示？可以根据哪个等量关系来列方程？

【解答】设步行速度为x千米/时，则骑自行车的速度为4x千米/时．

由题意，得＋＝2.解得x＝5.

经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．

当x＝5时，4x＝20.

故步行的速度为5千米/时，骑自行车的速度为20千米/时．

【互动总结】(学生总结，老师点评)行程问题中，最基本的等量关系是：路程＝速度×时间，根据路程、速度、时间之间的关系列出方程是解题的关键．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．下列关于x的方程，是分式方程的是 (　D　)

A．.－3＝

B．＝3－x

C．－＝

D．＝4

2．解方程：

(1)＝1；　　　　　(2)－＝0；

(3)＋＝；

(4)＋－＝0.

解：(1)x＝－3.　(2)x＝3.

(3)原方程无解．

(4)原方程无解．

3．学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个．又已知甲每分钟比乙少跳20个，甲、乙两人每分钟各跳多少个？

解：设甲每分钟跳x个，则乙每分钟跳(x＋20)个．

由题意，得＝.解得x＝60.

经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意．

x＋20＝80.

故甲每分钟跳60个，乙每分钟跳80个．

4．某超市用4000元购进某种服装销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种服装，但这次的进价比第一次的进价降低了10%，购进的数量是第一次的2倍还多25件，问这种服装第一次进价是每件多少元？

解：设这种服装第一次进价是每件x元，则第二次进价是每件(1－10%)x元．

由题意，得2·＋25＝.

解得x＝80.

经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意．

故这种服装第一次进价是每件80元．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】当m为何值时，关于x的方程＋＝会产生增根？

【互动探索】分式方程的增根是怎么产生的？怎样确定分式方程的增根？

【解答】方程两边同乘(x＋1)(x－1)，约去分母，得2(x－1)－5(x＋1)＝m.

化简，得m＝－3x－7.

由(x＋1)(x－1)＝0，得方程的增根为x＝1或x＝－1.

当x＝1时，m＝－3－7＝－10；

当x＝－1时，m＝3－7＝－4.

故当m＝－10或－4时，关于x的方程＋＝会产生增根．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，逆向思考，求出使最简公分母为0的未知数的值，即为方程的增根，进而求解．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！