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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系课堂检测
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系课堂检测，共27页。试卷主要包含了4 数学建模活动等内容，欢迎下载使用。
6.3 利用导数解决实际问题
6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系
基础过关练
题组一 成本、利润问题
1.(2020陕西西安高二期末)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
2.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为P元/件,销售量为Q件,且销量Q与零售价P有如下关系:Q=8 300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
3.某公司生产一种产品, 固定成本为20 000元,每生产一单位的该产品,成本增加100元,若总收入R(单位:元)与年产量x的关系是R(x)=-x3900+400x,0≤x≤390,90 090,x>390,则当总利润P(x)最大时,每年生产该产品的单位数是( )
A.150 B.200 C.250 D.300
4.(2020福建漳州高三期中)一家小微企业生产某种小型产品的月固定成本为1万元,每生产1万件需要再投入2万元,假设该企业每个月可生产该小型产品x万件并全部销售完,每万件的销售收入为(4-x)万元,且每生产1万件政府给予补助6-6lnxx-1x万元.
(1)求该企业的月利润L(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式;
(2)当月产量x∈[1,6]万件时,求企业在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值及此时的月产量.
(注:月利润=月销售收入+月政府补助-月总成本)
5.(2020江苏宿豫中学高二月考)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为14万元/辆,年销售量为m(m∈N+)辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(2)若年销售量关于x的函数为y=t·-x2+3x+32(t>0,t为常数),则当x为何值时,本年度的年利润最大?
题组二 几何体的面积和体积问题
6.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则当其表面积最小时底面边长为( )
A.3V B.32V
C.34V D.23V
7.(2020天津一中高三月考)用边长为18 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当铁盒的容积最大时,截去的小正方形的边长为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
8.(2020湖北黄石二中高三月考)△ABC是边长为23的等边三角形,E、F分别在AB、AC上滑动,EF∥BC,沿EF把△AEF折起,使点A翻折到点P的位置,连接PB、PC,则四棱锥P-BCFE的体积的最大值为( )
A.22 B.3 C.3 D.2
9.(2020广东广州育才中学高二月考)周长为3 cm的矩形,绕一条短边所在直线旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为 cm3.
10.(2020山东曲阜一中高三月考)如图所示,某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的下底面与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为 .
11.(2020山西吕梁石楼中学高三月考)如图,正方形ABCD是边长为52的纸片,中心为O,正方形EFGH的中心也是O,△AEH,△BEF,△CFG,△DGH分别是以EH,EF,FG,GH为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以EH,EF,FG,GH为折痕,将△AEH,△BEF,△CFG,△DGH折起,使得A、B、C、D重合于点S,得到四棱锥S-EFGH,设正方形EFGH的边长为x.
(1)用x表示四棱锥S-EFGH的体积V(x);
(2)当V(x)最大时,求四棱锥S-EFGH的表面积.
题组三 用料最省、费用最低、效率最高问题
12.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 元.
13.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量h(升)关于行驶速度v(千米/时)的函数解析式可以表示为h=1128 000v3-380v+8,v∈(0,120].已知甲、乙两地相距100千米,则当汽车以 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.
14.(2020江苏天一中学高三一模)某种圆柱形的罐子的容积为128π个立方单位,当它的底面半径和高的比值为多少时,可使得所用材料最省?
15.(2020江苏苏州中学高二月考)已知OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东45°方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线C,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则曲线C符合函数模型y=x+42x2(x>0).为方便游客观光,拟过曲线C上的某点P分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PM,PN,且PM,PN的造价分别为5万元/百米,40万元/百米,设PM=x百米,修建两条道路PM,PN的总造价为f(x)万元.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x为多少时,总造价f(x)最低?并求出最低造价.
能力提升练
题组一 利用导数解决生活中的最值问题
1.(2020广西田东中学高二期中,)李某要建一个面积为512平方米的矩形蔬菜场,一边利用原有的墙壁(墙壁足够长),其他三边要修建栅栏,当修建栅栏所用的材料最省时,矩形蔬菜场的两邻边长分别为( )
A.32米,16米 B.30米,15米
C.40米,20米 D.36米,18米
2.(2020陕西西安中学高二期末,)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一万斤莲藕,成本增加0.5万元.已知销售额函数是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数).若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕 万斤.
3.(2020河北石家庄高二期末,)甲乙两地相距400千米,一辆汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是t=119 200x4-1160x3+15x.
(1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时,全程运输成本为多少元?
(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多少千米/时的速度匀速行驶?并求出全程运输成本的最小值.
4.(2020江苏扬州第一中学高三月考,)某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=13x2+2x万元;当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+lnx+e3x-17万元.已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一小型电子产品所获年利润最大?最大年利润是多少?
(参考数据:e3≈20)
题组二 利用导数解决几何中的最值问题
5.(2020福建漳州高三期末,)在外接球半径为4的正三棱锥中,体积最大的正三棱锥的高等于( )
A.143 B.134 C.72 D.163
6.(2020山西太原高三模拟,)已知直角三角形 ABC的两直角边边长之和为3,将△ABC绕其中一条直角边所在直线旋转一周,所形成旋转体体积的最大值为 ,此时该旋转体外接球的表面积为 .
7.(2020安徽合肥六中高三月考,)现有一个圆锥形的钢锭,底面半径为3,高为4.某工厂拟将此钢锭切割并加工成一个圆柱形构件,要求将钢锭的底面加工成构件的一个底面,则可加工出的圆柱形构件的最大体积为 .
8.(2020河北唐山一中高三月考,)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、直角边AC.若BC=10,过点A作AD⊥BC于D,当△ABD面积最大时,阴影区域的面积为 .
答案全解全析
6.3 利用导数解决实际问题
6.4 数学建模活动:描述体重
与脉搏率的关系
基础过关练
1.C 令导数y'=-x2+81>0,解得0
所以函数y=-13x3+81x-234在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,+∞)上是减函数,
所以在x=9处取得极大值,也是最大值,故选C.
2.D 设该商品的毛利润为f(P)元,
则f(P)=(P-20)(8 300-170P-P2),
f'(P)=-3P2-300P+11 700
=-3(P+130)(P-30).
令f'(P)=0,
得P=30或P=-130(舍去).
当P∈(0,30)时, f'(P)>0,当P∈(30,+∞)时, f'(P)<0,
故当P=30时, f(P)取得最大值,
所以f(P)max=f(30)=23 000.
3.D 由题意得,总利润
P(x)=-x3900+300x-20 000,0≤x≤390,70 090-100x,x>390,
当0≤x≤390时,令P'(x)=0,得x=300,所以P(x)在[0,300]上递增,在[300,390]上递减.
又当x>390时,P(x)=70 090-100x为减函数,
所以当每年生产300单位的该产品时,总利润最大,故选D.
4.解析 (1)依题意得
L(x)=x(4-x)+x6-6lnxx-1x-2x-1=-x2+8x-6ln x-2(x>0).
(2)∵L'(x)=-2x+8-6x=-2x2+8x-6x=-2(x-1)(x-3)x,
∴当10,当3
∴当x=3时,L(x)max=L(3)=13-6ln 3.
故该企业所获得的最大月利润为(13-6ln 3)万元,此时月产量为3万件.
5.解析 (1)由题意得,本年度每辆车的投入成本为10(1+x)万元,出厂价为14(1+0.6x)万元,年销售量为m(1+0.5x)辆.
设本年度的年利润为f(x)万元,则
f(x)=[14(1+0.6x)-10(1+x)]·m(1+0.5x)
=(-0.8x2+0.4x+4)m(0
得0
则g(x)=(4-1.6x)·t·-x2+3x+32
=(1.6x3-8.8x2+9.6x+6)t,
则g'(x)=(4.8x2-17.6x+9.6)t,
由g'(x)=0,解得x=23或x=3(舍去),
当x∈0,23时, g'(x)>0, g(x)单调递增,
当x∈23,1时, g'(x)<0, g(x)单调递减,
∴当x=23时,本年度的年利润最大.
6.C 由题意知,此三棱柱为正三棱柱.设该正三棱柱的底面边长为x(x>0),则其底面积为34x2,侧棱长为V34x2=4V3x2,
所以该正三棱柱的表面积S=2×34x2+3x×4V3x2=32x2+43Vx,x>0,
S'=3x-43Vx2=3(x3-4V)x2,令S'=0,得x=34V.
当034V时, S'>0.
因此,当x=34V时,S取得最小值.
7.C 设截去的小正方形的边长为x cm,
则铁盒的底面边长为(18-2x)cm,高为x cm,
所以铁盒的容积V=x·(18-2x)2=4x(9-x)2(0
所以V在(0,3)上单调递增,在(3,9)上单调递减,
所以当x=3时,V取得最大值.
8.D 以四边形BCFE为底面,则当P与平面BCFE距离最远时四棱锥P-BCFE的体积取最大值,易得此时平面PEF与平面BCFE垂直.
在△ABC中,作AM⊥BC于M,交EF于N.
则易得AN⊥EF,AM=AC·sin C=3.
设NF=x,则EF=2x,AN=3x,则NM=3-3x.
此时底面S梯形BCFE=12(2x+23)×(3-3x)=3(3-x2).
故四棱锥P-BCFE的体积V=13×3(3-x2)×3x=x(3-x2)=3x-x3,其中x∈(0,3).
设f(x)=3x-x3(x∈(0,3)),则f'(x)=3-3x2,令f'(x)=0,得x=1(负值舍去).
故f(x)=3x-x3在(0,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减.
故f(x)的最大值为f(1)=2.
9.答案 π2
解析 设矩形的长为x cm,则宽为32-x cm.
由题意知圆柱的底面半径为x cm,高为32-x cm,
则圆柱的体积V=πx232-x34
当V'>0时,34
故当x=1时圆柱的体积取得最大值,为π2 cm3.
10.答案 32π27
解析 由题意,设小圆柱体底面半径为cos θ,则高为1+sin θ,θ∈0,π2,
小圆柱体的体积V=π·cos2θ·(1+sin θ),
设sin θ=t,t∈(0,1),
则V=π·(1-t2)(1+t)=π·(-t3-t2+t+1),
V'=π·(-3t2-2t+1)=π·(-3t+1)(t+1),令V'=0,得t=13(负值舍去).
易知当t=13时,Vmax=32π27.
11.解析 (1)如图,连接OA交EH于M,则OA=5,OM=x2,
所以点S到底面EFGH的距离h=5-x22-x22=25-5x(0
(2)V(x)=13x225-5x=1325x4-5x5,
设f(x)=25x4-5x5(0
所以当x=4时, f(x)取得最大值,即V(x)取得最大值,
此时四棱锥S-EFGH的表面积为x2+2x·5-x2=10x=40.
12.答案 160
解析 设底面长为x m(x>0),则底面宽为4x(x>0).
设总造价为y元,则y=20x×4x+10×1×2x+2×4x,即y=20x+80x+80,
y'=20-80x2,令y'=0,得x=2(负值舍去).
∴当x=2时,ymin=160.
13.答案 80
解析 当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶100x 小时,设耗油量为y升,依题意得,
y=1128 000x3-380x+8·100x
=11 280x2+800x-154(0
当x∈(0,80)时,y'<0,该函数递减;当x∈(80,120]时,y'>0,该函数递增,所以当x=80时,y取得最小值.
14.解析 设圆柱的高为h,底面半径为r.
∵该圆柱形的罐子的容积为128π个立方单位,
∴128π=πr2h,即h=128r2.
∴该圆柱形罐子的表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr·128r2=2πr2+256πr.
令g(r)=2πr2+256πr(r>0),
则g'(r)=4πr-256πr2.
令g'(r)>0,得r>4;令g'(r)<0,得0
∴当r=4时,g(r)取得最小值,即材料最省,此时rh=12.
15.解析 (1)由题意可设点P的坐标为x,x+42x2(x>0),
易得直线OB的方程为x-y=0,
则点P到直线x-y=0的距离为x-x+42x22=42x22=4x2,
因为PM的造价为5万元/百米,PN的造价为40万元/百米,
所以f(x)=5x+40·4x2=5x+32x2(x>0).
(2)因为f(x)=5x+32x2(x>0),
所以f'(x)=51-64x3=5(x3-64)x3,
令f'(x)=0,得x=4,列表如下:
x
(0,4)
4
(4,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以当x=4时,函数f(x)有极小值,也是最小值,最小值为f(4)=5×4+3242=30.
故当x=4时,总造价最低,最低造价为30万元.
能力提升练
1.A 设需建的矩形蔬菜场与原墙平行的一边边长为x米,与原墙相邻的两边边长均为y米,则xy=512,设所修建栅栏的长为l米,则l=x+2y=512y+2y(y>0),令l'=-512y2+2=0,解得y=16(y=-16舍去),当016时,l'>0,所以当y=16时,l取得极小值,也就是最小值,此时x=51216=32.
2.答案 6
解析 设销售利润为g(x)万元,则g(x)=-18x3+916ax2+12x-1-12x=-18x3+916·ax2-1(0
∴g(x)=-18x3+98x2-1(00;当6
∴当x=6时,函数g(x)取得极大值,即最大值.
3.解析 (1)设全程运输成本为f(x)元,则f(x)=119 200x4-1160x3+15x·400x=148x3-52x2+6 000(0
f(60)=148×603-52×602+6 000=1 500.
故汽车以60千米/时的速度匀速行驶时,全程运输成本为1 500元.
(2)由(1)知f(x)=148x3-52x2+6 000(0
当00, f(x)单调递增,
所以当x=80时, f(x)取得极小值,即最小值,从而f(x)min=f(80)=2 0003.
故汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,全程运输成本最少,最少为2 0003 元.
4.解析 (1)依题意得,当0
∴P(x)=-13x2+4x-2,0
当x≥7时,P(x)=15-ln x-e3x,∴P'(x)=-1x+e3x2=e3-xx2,
∴当7≤x0,P(x)单调递增,当x>e3时,P'(x)<0,P(x)单调递减,
∴当x=e3时,P(x)取得最大值,最大值为P(e3)=15-ln e3-1=11,
∵11>10,∴当x=e3≈20时,P(x)取得最大值11,
即当年产量约为20万件时,该同学的这一小型电子产品所获年利润最大,最大年利润为11万元.
5.D 如图,设正三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,连接AO并延长交底面BCD于E,则AE⊥平面BCD,连接DE并延长交BC于F,则DF⊥BC.设正三棱锥的底面边长为a,高为h,
由题易得OE=h-4,DE=33a,
则在直角三角形OED中,OD2=OE2+DE2,即42=(h-4)2+33a2,
整理得8h-h2=13a2,∵13a2>0,
∴8h-h2>0,∴0
V=13×34a2h=34(8h-h2)h=34(8h2-h3),∴V'=34(16h-3h2),
令V'=0,解得h=163或h=0(舍去),
∴函数V=34(8h2-h3)在0,163上单调递增,在163,8上单调递减,
∴当h=163时,V取得最大值.
6.答案 43π;25π
解析 设直角三角形的两直角边边长分别为a,b,则a+b=3,不妨设以长度为b的直角边所在直线为轴进行旋转,形成的旋转体的体积V=13πa2b=13πa2(3-a)(0
所以当00;当2
设外接球的半径为R,则R2=(R-1)2+22,所以外接球的半径为52,其表面积为25π.
7.答案 16π3
解析 设该圆锥的内接圆柱的底面半径为x,高为h,则x3=4-h4,即h=4-43x,
所以V=πx24-43x=4πx2-13x3(x∈(0,3)),∴V'=4π(2x-x2),
令V'=0,解得x=2或x=0(舍去),
当00,当2
8.答案 2532
解析 易得阴影区域面积=以AB为直径的半圆面积+以AC为直径的半圆面积-以BC为直径的半圆面积+△ABC的面积=△ABC的面积,
设BD=x(0
此时AD=152×10-152=532,所以S阴影区域=S△ABC=12×532×10=2532,
所以阴影区域面积为2532.
6.3 利用导数解决实际问题
6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系
基础过关练
题组一 成本、利润问题
1.(2020陕西西安高二期末)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
2.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为P元/件,销售量为Q件,且销量Q与零售价P有如下关系:Q=8 300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
3.某公司生产一种产品, 固定成本为20 000元,每生产一单位的该产品,成本增加100元,若总收入R(单位:元)与年产量x的关系是R(x)=-x3900+400x,0≤x≤390,90 090,x>390,则当总利润P(x)最大时,每年生产该产品的单位数是( )
A.150 B.200 C.250 D.300
4.(2020福建漳州高三期中)一家小微企业生产某种小型产品的月固定成本为1万元,每生产1万件需要再投入2万元,假设该企业每个月可生产该小型产品x万件并全部销售完,每万件的销售收入为(4-x)万元,且每生产1万件政府给予补助6-6lnxx-1x万元.
(1)求该企业的月利润L(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式;
(2)当月产量x∈[1,6]万件时,求企业在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值及此时的月产量.
(注:月利润=月销售收入+月政府补助-月总成本)
5.(2020江苏宿豫中学高二月考)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为14万元/辆,年销售量为m(m∈N+)辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(2)若年销售量关于x的函数为y=t·-x2+3x+32(t>0,t为常数),则当x为何值时,本年度的年利润最大?
题组二 几何体的面积和体积问题
6.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则当其表面积最小时底面边长为( )
A.3V B.32V
C.34V D.23V
7.(2020天津一中高三月考)用边长为18 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当铁盒的容积最大时,截去的小正方形的边长为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
8.(2020湖北黄石二中高三月考)△ABC是边长为23的等边三角形,E、F分别在AB、AC上滑动,EF∥BC,沿EF把△AEF折起,使点A翻折到点P的位置,连接PB、PC,则四棱锥P-BCFE的体积的最大值为( )
A.22 B.3 C.3 D.2
9.(2020广东广州育才中学高二月考)周长为3 cm的矩形,绕一条短边所在直线旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为 cm3.
10.(2020山东曲阜一中高三月考)如图所示,某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的下底面与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为 .
11.(2020山西吕梁石楼中学高三月考)如图,正方形ABCD是边长为52的纸片,中心为O,正方形EFGH的中心也是O,△AEH,△BEF,△CFG,△DGH分别是以EH,EF,FG,GH为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以EH,EF,FG,GH为折痕,将△AEH,△BEF,△CFG,△DGH折起,使得A、B、C、D重合于点S,得到四棱锥S-EFGH,设正方形EFGH的边长为x.
(1)用x表示四棱锥S-EFGH的体积V(x);
(2)当V(x)最大时,求四棱锥S-EFGH的表面积.
题组三 用料最省、费用最低、效率最高问题
12.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 元.
13.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量h(升)关于行驶速度v(千米/时)的函数解析式可以表示为h=1128 000v3-380v+8,v∈(0,120].已知甲、乙两地相距100千米,则当汽车以 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.
14.(2020江苏天一中学高三一模)某种圆柱形的罐子的容积为128π个立方单位,当它的底面半径和高的比值为多少时,可使得所用材料最省?
15.(2020江苏苏州中学高二月考)已知OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东45°方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线C,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则曲线C符合函数模型y=x+42x2(x>0).为方便游客观光,拟过曲线C上的某点P分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PM,PN,且PM,PN的造价分别为5万元/百米,40万元/百米,设PM=x百米,修建两条道路PM,PN的总造价为f(x)万元.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x为多少时,总造价f(x)最低?并求出最低造价.
能力提升练
题组一 利用导数解决生活中的最值问题
1.(2020广西田东中学高二期中,)李某要建一个面积为512平方米的矩形蔬菜场,一边利用原有的墙壁(墙壁足够长),其他三边要修建栅栏,当修建栅栏所用的材料最省时,矩形蔬菜场的两邻边长分别为( )
A.32米,16米 B.30米,15米
C.40米,20米 D.36米,18米
2.(2020陕西西安中学高二期末,)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一万斤莲藕,成本增加0.5万元.已知销售额函数是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数).若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕 万斤.
3.(2020河北石家庄高二期末,)甲乙两地相距400千米,一辆汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是t=119 200x4-1160x3+15x.
(1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时,全程运输成本为多少元?
(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多少千米/时的速度匀速行驶?并求出全程运输成本的最小值.
4.(2020江苏扬州第一中学高三月考,)某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=13x2+2x万元;当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+lnx+e3x-17万元.已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一小型电子产品所获年利润最大?最大年利润是多少?
(参考数据:e3≈20)
题组二 利用导数解决几何中的最值问题
5.(2020福建漳州高三期末,)在外接球半径为4的正三棱锥中,体积最大的正三棱锥的高等于( )
A.143 B.134 C.72 D.163
6.(2020山西太原高三模拟,)已知直角三角形 ABC的两直角边边长之和为3,将△ABC绕其中一条直角边所在直线旋转一周,所形成旋转体体积的最大值为 ,此时该旋转体外接球的表面积为 .
7.(2020安徽合肥六中高三月考,)现有一个圆锥形的钢锭,底面半径为3,高为4.某工厂拟将此钢锭切割并加工成一个圆柱形构件,要求将钢锭的底面加工成构件的一个底面,则可加工出的圆柱形构件的最大体积为 .
8.(2020河北唐山一中高三月考,)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、直角边AC.若BC=10,过点A作AD⊥BC于D,当△ABD面积最大时,阴影区域的面积为 .
答案全解全析
6.3 利用导数解决实际问题
6.4 数学建模活动:描述体重
与脉搏率的关系
基础过关练
1.C 令导数y'=-x2+81>0,解得0
所以函数y=-13x3+81x-234在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,+∞)上是减函数,
所以在x=9处取得极大值,也是最大值,故选C.
2.D 设该商品的毛利润为f(P)元,
则f(P)=(P-20)(8 300-170P-P2),
f'(P)=-3P2-300P+11 700
=-3(P+130)(P-30).
令f'(P)=0,
得P=30或P=-130(舍去).
当P∈(0,30)时, f'(P)>0,当P∈(30,+∞)时, f'(P)<0,
故当P=30时, f(P)取得最大值,
所以f(P)max=f(30)=23 000.
3.D 由题意得,总利润
P(x)=-x3900+300x-20 000,0≤x≤390,70 090-100x,x>390,
当0≤x≤390时,令P'(x)=0,得x=300,所以P(x)在[0,300]上递增,在[300,390]上递减.
又当x>390时,P(x)=70 090-100x为减函数,
所以当每年生产300单位的该产品时,总利润最大,故选D.
4.解析 (1)依题意得
L(x)=x(4-x)+x6-6lnxx-1x-2x-1=-x2+8x-6ln x-2(x>0).
(2)∵L'(x)=-2x+8-6x=-2x2+8x-6x=-2(x-1)(x-3)x,
∴当1
∴当x=3时,L(x)max=L(3)=13-6ln 3.
故该企业所获得的最大月利润为(13-6ln 3)万元,此时月产量为3万件.
5.解析 (1)由题意得,本年度每辆车的投入成本为10(1+x)万元,出厂价为14(1+0.6x)万元,年销售量为m(1+0.5x)辆.
设本年度的年利润为f(x)万元,则
f(x)=[14(1+0.6x)-10(1+x)]·m(1+0.5x)
=(-0.8x2+0.4x+4)m(0
得0
则g(x)=(4-1.6x)·t·-x2+3x+32
=(1.6x3-8.8x2+9.6x+6)t,
则g'(x)=(4.8x2-17.6x+9.6)t,
由g'(x)=0,解得x=23或x=3(舍去),
当x∈0,23时, g'(x)>0, g(x)单调递增,
当x∈23,1时, g'(x)<0, g(x)单调递减,
∴当x=23时,本年度的年利润最大.
6.C 由题意知,此三棱柱为正三棱柱.设该正三棱柱的底面边长为x(x>0),则其底面积为34x2,侧棱长为V34x2=4V3x2,
所以该正三棱柱的表面积S=2×34x2+3x×4V3x2=32x2+43Vx,x>0,
S'=3x-43Vx2=3(x3-4V)x2,令S'=0,得x=34V.
当0
因此,当x=34V时,S取得最小值.
7.C 设截去的小正方形的边长为x cm,
则铁盒的底面边长为(18-2x)cm,高为x cm,
所以铁盒的容积V=x·(18-2x)2=4x(9-x)2(0
所以V在(0,3)上单调递增,在(3,9)上单调递减,
所以当x=3时,V取得最大值.
8.D 以四边形BCFE为底面,则当P与平面BCFE距离最远时四棱锥P-BCFE的体积取最大值,易得此时平面PEF与平面BCFE垂直.
在△ABC中,作AM⊥BC于M,交EF于N.
则易得AN⊥EF,AM=AC·sin C=3.
设NF=x,则EF=2x,AN=3x,则NM=3-3x.
此时底面S梯形BCFE=12(2x+23)×(3-3x)=3(3-x2).
故四棱锥P-BCFE的体积V=13×3(3-x2)×3x=x(3-x2)=3x-x3,其中x∈(0,3).
设f(x)=3x-x3(x∈(0,3)),则f'(x)=3-3x2,令f'(x)=0,得x=1(负值舍去).
故f(x)=3x-x3在(0,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减.
故f(x)的最大值为f(1)=2.
9.答案 π2
解析 设矩形的长为x cm,则宽为32-x cm.
由题意知圆柱的底面半径为x cm,高为32-x cm,
则圆柱的体积V=πx232-x34
当V'>0时,34
故当x=1时圆柱的体积取得最大值,为π2 cm3.
10.答案 32π27
解析 由题意,设小圆柱体底面半径为cos θ,则高为1+sin θ,θ∈0,π2,
小圆柱体的体积V=π·cos2θ·(1+sin θ),
设sin θ=t,t∈(0,1),
则V=π·(1-t2)(1+t)=π·(-t3-t2+t+1),
V'=π·(-3t2-2t+1)=π·(-3t+1)(t+1),令V'=0,得t=13(负值舍去).
易知当t=13时,Vmax=32π27.
11.解析 (1)如图,连接OA交EH于M,则OA=5,OM=x2,
所以点S到底面EFGH的距离h=5-x22-x22=25-5x(0
(2)V(x)=13x225-5x=1325x4-5x5,
设f(x)=25x4-5x5(0
所以当x=4时, f(x)取得最大值,即V(x)取得最大值,
此时四棱锥S-EFGH的表面积为x2+2x·5-x2=10x=40.
12.答案 160
解析 设底面长为x m(x>0),则底面宽为4x(x>0).
设总造价为y元,则y=20x×4x+10×1×2x+2×4x,即y=20x+80x+80,
y'=20-80x2,令y'=0,得x=2(负值舍去).
∴当x=2时,ymin=160.
13.答案 80
解析 当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶100x 小时,设耗油量为y升,依题意得,
y=1128 000x3-380x+8·100x
=11 280x2+800x-154(0
当x∈(0,80)时,y'<0,该函数递减;当x∈(80,120]时,y'>0,该函数递增,所以当x=80时,y取得最小值.
14.解析 设圆柱的高为h,底面半径为r.
∵该圆柱形的罐子的容积为128π个立方单位,
∴128π=πr2h,即h=128r2.
∴该圆柱形罐子的表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr·128r2=2πr2+256πr.
令g(r)=2πr2+256πr(r>0),
则g'(r)=4πr-256πr2.
令g'(r)>0,得r>4;令g'(r)<0,得0
∴当r=4时,g(r)取得最小值,即材料最省,此时rh=12.
15.解析 (1)由题意可设点P的坐标为x,x+42x2(x>0),
易得直线OB的方程为x-y=0,
则点P到直线x-y=0的距离为x-x+42x22=42x22=4x2,
因为PM的造价为5万元/百米,PN的造价为40万元/百米,
所以f(x)=5x+40·4x2=5x+32x2(x>0).
(2)因为f(x)=5x+32x2(x>0),
所以f'(x)=51-64x3=5(x3-64)x3,
令f'(x)=0,得x=4,列表如下:
x
(0,4)
4
(4,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以当x=4时,函数f(x)有极小值,也是最小值,最小值为f(4)=5×4+3242=30.
故当x=4时,总造价最低,最低造价为30万元.
能力提升练
1.A 设需建的矩形蔬菜场与原墙平行的一边边长为x米,与原墙相邻的两边边长均为y米,则xy=512,设所修建栅栏的长为l米,则l=x+2y=512y+2y(y>0),令l'=-512y2+2=0,解得y=16(y=-16舍去),当0
2.答案 6
解析 设销售利润为g(x)万元,则g(x)=-18x3+916ax2+12x-1-12x=-18x3+916·ax2-1(0
∴g(x)=-18x3+98x2-1(0
∴当x=6时,函数g(x)取得极大值,即最大值.
3.解析 (1)设全程运输成本为f(x)元,则f(x)=119 200x4-1160x3+15x·400x=148x3-52x2+6 000(0
f(60)=148×603-52×602+6 000=1 500.
故汽车以60千米/时的速度匀速行驶时,全程运输成本为1 500元.
(2)由(1)知f(x)=148x3-52x2+6 000(0
当0
所以当x=80时, f(x)取得极小值,即最小值,从而f(x)min=f(80)=2 0003.
故汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,全程运输成本最少,最少为2 0003 元.
4.解析 (1)依题意得,当0
∴P(x)=-13x2+4x-2,0
当x≥7时,P(x)=15-ln x-e3x,∴P'(x)=-1x+e3x2=e3-xx2,
∴当7≤x
∴当x=e3时,P(x)取得最大值,最大值为P(e3)=15-ln e3-1=11,
∵11>10,∴当x=e3≈20时,P(x)取得最大值11,
即当年产量约为20万件时,该同学的这一小型电子产品所获年利润最大,最大年利润为11万元.
5.D 如图,设正三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,连接AO并延长交底面BCD于E,则AE⊥平面BCD,连接DE并延长交BC于F,则DF⊥BC.设正三棱锥的底面边长为a,高为h,
由题易得OE=h-4,DE=33a,
则在直角三角形OED中,OD2=OE2+DE2,即42=(h-4)2+33a2,
整理得8h-h2=13a2,∵13a2>0,
∴8h-h2>0,∴0
V=13×34a2h=34(8h-h2)h=34(8h2-h3),∴V'=34(16h-3h2),
令V'=0,解得h=163或h=0(舍去),
∴函数V=34(8h2-h3)在0,163上单调递增,在163,8上单调递减,
∴当h=163时,V取得最大值.
6.答案 43π;25π
解析 设直角三角形的两直角边边长分别为a,b,则a+b=3,不妨设以长度为b的直角边所在直线为轴进行旋转,形成的旋转体的体积V=13πa2b=13πa2(3-a)(0
所以当0
设外接球的半径为R,则R2=(R-1)2+22,所以外接球的半径为52,其表面积为25π.
7.答案 16π3
解析 设该圆锥的内接圆柱的底面半径为x,高为h,则x3=4-h4,即h=4-43x,
所以V=πx24-43x=4πx2-13x3(x∈(0,3)),∴V'=4π(2x-x2),
令V'=0,解得x=2或x=0(舍去),
当0
8.答案 2532
解析 易得阴影区域面积=以AB为直径的半圆面积+以AC为直径的半圆面积-以BC为直径的半圆面积+△ABC的面积=△ABC的面积,
设BD=x(0
此时AD=152×10-152=532,所以S阴影区域=S△ABC=12×532×10=2532,
所以阴影区域面积为2532.
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