数学必修 第二册5.3 利用数量积计算长度与角度精练

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5.3 利用数量积计算长度与角度
基础过关练
题组一 利用数量积计算向量的长度
1.(2020北京一零一中学高一下学期期末)已知向量a=(1,2),b=(-1,0),则|a+2b|=( )

A.1B.3C.5D.6
2.(2020安徽十四校联盟高三上学期段考)已知向量a与b方向相反,a=(1,-3),|b|=2,则|a-b|=( )
A.2B.4C.8D.16
3.(2020湖南怀化高三上学期期中)设向量a,b满足|a|=1,b=(1,3),且a与b的夹角为π3,则|2a+b|=( )
A.2B.4C.12D.23
4.(2020安徽合肥第一中学高二期中)已知平面向量AB=(2,1),AC=(-3t,3),若AB∥AC,则|BC|=( )
A.25B.20C.5D.2
5.(2020山东滕州第一中学高一期末)已知a=(1,0),|b|=1,c=(0,-1),且3a+kb+7c=0,则实数k的值为( )
A.58B.-58C.58D.±58
6.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.5B.10C.25D.10
7.(2020山东青岛二中高三上学期期末)已知向量a,b的纵坐标相同,a=(-2,6),且a⊥b,则|a+b|= .
题组二 利用向量数量积计算向量的夹角
8.(2020安徽江淮十校高三上学期第一次联考)已知向量a、b均为非零向量,(a-2b)⊥a,|a|=|b|,则a、b的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
9.(2020江西新余高三上学期第四次段考)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且|b-a|=2,则向量a与b的夹角的余弦值为( )
A.22B.23C.24D.25
10.已知向量a=(2,1),b=(1-x,x),c=(-3x,3x),且a∥b,则b,c夹角的余弦值为 .
11.(2020重庆巴蜀中学高一下学期期末)已知点A(-1,2)、B(0,1)、C(1,3),则向量AB与向量AC的夹角的余弦值为 .
12.(2020辽宁沈阳第一零七中学高一上学期阶段性测试)已知向量a=(2,k),b=(1,1),满足b⊥(a-3b).
(1)求k的值;
(2)求向量a与向量b夹角的余弦值.
13.已知向量a=(1,-2),b=(-3,4).
(1)求|a-b|的值;
(2)求向量a+b与a-b夹角的余弦值.
能力提升练
题组一 向量长度的计算
1.(2020四川南充高三第一次高考适应性考试,)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,若|BC|=2,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=( )

A.12B.1C.2D.4
2.(2020重庆南开中学高三期末,)已知非零平面向量a,b,c满足a·b=0,a·c=b·c,且|a-b|=2,则|a·c||c|的最大值为 .
3.(2020浙江宁波高一上学期期末,)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,CD=1,P是线段AD(包括端点)上的一个动点.
(1)当AD=3时,求AC·AB的值;
(2)在(1)的条件下,若PB·PC=54,求|AP|;
(3)求|2PB+PC|的最小值.
题组二 向量的夹角
4.(2020江西丰城九中高一上学期期末,)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角是( )
A.π6B.π2C.2π3D.5π6
5.(2020贵州凯里第一中学高三上学期开学考试,)已知非零向量a、b满足|a|=22|b|,a·(a+b)=0,则a与b的夹角为( )
A.π4B.π2C.3π4D.π
6.(2020四川南充高三上学期联考,)已知向量a=(-2,-3),b=(λ,1),若向量a与向量b的夹角为钝角,则λ的取值集合为 .
7.(2020北京第四中学高一上学期期末,)已知平面向量a,b满足|a|=34,b=e1+λe2(λ∈R),其中e1,e2为不共线的单位向量.若对符合上述条件的任意向量a,b恒有|a-b|≥34,求e1,e2夹角的最小值.
题组三 平行与垂直问题
8.(2020山西朔州高二下期末联考,)在平面直角坐标系中,已知向量a=(1,2),a-12b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x=( )
A.-2B.-4C.-3D.-1
9.(2020河北邢台第一中学高一下学期期末,)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cs=13.若n⊥(m+tn),则实数t的值为( )
A.4B.-4C.14D.-14
10.(2020重庆巴蜀中学高一下期末,)△ABC中,A=90°,AB=3,AC=2,设P、Q满足AP=λAB,AQ=(1-λ)·AC,λ∈R,若BQ·CP=1,则λ=( )
A.-1B.1C.43D.2
11.(多选)(2020山东青岛高三一模,)已知向量a+b=(1,1),a-b=(-3,1),c=(1,1),设a,b的夹角为θ,则( )
A.|a|=|b|B.a⊥cC.b∥cD.θ=135°
12.(2020辽宁六校高一下学期期末联考,)已知a=(2+sin x,1),b=(2,-2),c=(sin x-3,1),d=(1,k)(x∈R,k∈R).
(1)若x∈-π2,π2,且a∥(b+c),求x的值;
(2)是否存在实数k,使(a+d)⊥(b+c),若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
13.(2020山西运城高中联合体高一下第一次摸底考试,)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t)0≤θ≤π2.
(1)若AB⊥a,且|AB|=5|OA|,求向量OB;
(2)若向量AC与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值4时,求OA· OC.
答案全解全析
5.3 利用数量积计算长度与角度
基础过关练
1.C2.B3.D4.A5.D
6.B8.B9.C
1.C ∵a+2b=(-1,2),
∴|a+2b|=√("(-" 1")" ^2+2^2 )=√5.
故选C.
2.B ∵a=(1,-√3),∴|a|=2,又向量a与b方向相反,且|b|=2,∴a=-b,
∴|a-b|=2|b|=4.
故选B.
3.D 因为|a|=1,|b|=2,=π/3,
所以a•b=|a||b|cs=1,
所以|2a+b|=√("(" 2a+b")" ^2 )
=√(4a^2+b^2+4a"•" b)=√(4+4+4)=2√3.
故选D.
4.A 因为平面向量(AB) ⃗=(2,1),(AC) ⃗=(-3t,3),且(AB) ⃗∥(AC) ⃗,
所以2×3-1×(-3t)=0,解得t=-2,
所以(AC) ⃗=(6,3),
所以(BC) ⃗=(AC) ⃗-(AB) ⃗=(6-2,3-1)=(4,2),
所以|(BC) ⃗|=√(4^2+2^2 )=2√5.
故选A.
5.D 由题意得,kb=-3a-7c=-3×(1,0)-7×(0,-1)=(-3,7),
∴|kb|=|k|•|b|=√("(-" 3")" ^2+7^2 )=√58.
∵|b|=1,∴k=±√58.
故选D.
6.B ∵a⊥c,∴2x-4=0,∴x=2,∴a=(2,1).∵b∥c,∴-4=2y,∴y=-2,∴b=(1,-2).∴a+b=(3,-1),∴|a+b|=√10.
故选B.
7.答案 5
解析 设b=(x1,√6),由a⊥b,得b•a=(x1,√6)•(-2,√6)=-2x1+6=0,解得x1=3,
则b=(3,√6),∴a+b=(1,2√6),
所以|a+b|=√(1^2+"(" 2√6 ")" ^2 )=5.
故答案为5.
8.B 设a、b的夹角为θ,
∵(a-2b)⊥a,且|a|=|b|,
∴a•(a-2b)=a2-2a•b=|a|2-2|a|2cs θ=0,解得cs θ=1/2,∵0≤θ≤π,∴θ=π/3.
因此,a、b的夹角为π/3,故选B.
9.C 因为向量a,b满足|a|=√2,|b|=1,且|b-a|=√2,
所以|b-a|2=2,即|b|2+|a|2-2a•b=2,
因此a•b=1/2,
所以cs=(a"•" b)/("|" a"||" b"|" )=1/(2√2)=√2/4.
故选C.
10.答案 -√10/10
解析 由a∥b,得2•x-(1-x)=0,解得x=1/3,则b= 2/3,1/3 ,c=(-1,1),
所以cs
=(2/3×"(-" 1")" +1/3×1)/(√((2/3)^2+(1/3┤) ^2 ) "•" √("(-" 1")" ^2+1^2 ))
=-√10/10.
11.答案 √10/10
解析 由题意得(AB) ⃗=(1,-1),(AC) ⃗=(2,1),所以|(AB) ⃗|=√2,|(AC) ⃗|=√5,故向量(AB) ⃗与向量(AC) ⃗的夹角的余弦值为((AB) ⃗"•" (AC) ⃗)/("|" (AB) ⃗"||" (AC) ⃗"|" )=(2"-" 1)/(√2×√5)=√10/10.
12.解析 (1)a-3b=(2,k)-(3,3)=(-1,k-3),
∵b⊥(a-3b),
∴b•(a-3b)=1×(-1)+1×(k-3)=0,
∴k=4.
(2)由(1)得a=(2,4),b=(1,1),
∴|a|=√(2^2+4^2 )=2√5,
|b|=√(1^2+1^2 )=√2,
∴cs=(a"•" b)/("|" a"||" b"|" )=(2×1+4×1)/(2√5×√2)=(3√10)/10.
13.解析 (1)向量a=(1,-2),b=(-3,4),则a-b=(4,-6),
因此,|a-b|=√(4^2+"(-" 6")" ^2 )=2√13.
(2)∵a+b=(-2,2),
∴(a+b)•(a-b)=-2×4+2×(-6)=-20,
|a+b|=√("(-" 2")" ^2+2^2 )=2√2,
∴向量a+b与a-b夹角的余弦值为cs=("(" a+b")•(" a"-" b")" )/("|" a+b"|•|" a"-" b"|" )=("-" 20)/(2√2×2√13)=-(5√26)/26.
能力提升练
1.B4.C5.C8.D9.D
10.A11.BD
1.B |(AB) ⃗+(AC) ⃗|=|(AB) ⃗-(AC) ⃗|,两边平方得,
(AB) ⃗^2+2(AB) ⃗•(AC) ⃗+(AC) ⃗^2=(AB) ⃗^2-2(AB) ⃗•(AC) ⃗+(AC) ⃗^2,
∴(AB) ⃗•(AC) ⃗=0,∴AB⊥AC,
∵M是线段BC的中点,
∴|(AM) ⃗|=1/2|(BC) ⃗|=1.
故选B.
2.答案 1
解析 ∵a•b=0,∴a⊥b,∴可设a=(m,0),b=(0,n),m>0,n>0,c=(x,y),
∴由{■(a"•" c=b"•" c"," @"|" a"-" b"|" =2"," )┤得{■(mx"-" ny=0"," @m^2+"(-" n")" ^2=4"," )┤
∴("|" a"•" c"|" )/("|" c"|" )=("|" mx"|" )/√(x^2+y^2 )
=("|" mx"|" )/√(x^2+m^2/n^2 x^2 )=1/√(1/m^2 +1/n^2 ).
又1/m^2 +1/n^2 =1/4•(m2+n2) 1/m^2 +1/n^2
=1/4× 2+n^2/m^2 +m^2/n^2 ≥1/4×(2+2)=1,
当且仅当m=n=√2时,等号成立,
∴0<1/√(1/m^2 +1/n^2 )≤1,即("|" a"•" c"|" )/("|" c"|" )的最大值为1.
故答案为1.
3.解析 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.由题意得,A(0,0),B(2,0),∴(AB) ⃗=(2,0).

(1)∵AD=√3,∴C(1,√3),
∴(AC) ⃗=(1,√3),
因此(AC) ⃗•(AB) ⃗=1×2+√3×0=2.
(2)设|(AP) ⃗|=t,则点P的坐标为(0,t)(0≤t≤√3),
则(PB) ⃗=(2,-t),(PC) ⃗=(1,√3-t),
∴(PB) ⃗•(PC) ⃗=2×1+(-t)×(√3-t)=t2-√3t+2
= t-√3/2 2+5/4=5/4(0≤t≤√3),
∴t=√3/2,即|(AP) ⃗|=√3/2.
(3)设C(1,c)(c>0),P(0,m)(0≤m≤c),∴(PB) ⃗=(2,-m),(PC) ⃗=(1,c-m),
则2(PB) ⃗+(PC) ⃗=2(2,-m)+(1,c-m)=(5,c-3m),∴|2(PB) ⃗+(PC) ⃗|=√(25+"(" c"-" 3m")" ^2 )≥5,
当且仅当m=c/3时取等号,
因此|2(PB) ⃗+(PC) ⃗|的最小值为5.
4.C 将|a+b|=|a-b|=2|a|平方得,
a2+2a•b+b2=a2-2a•b+b2=4a2,
解得{■(a"•" b=0"," @b^2=3a^2 "." )┤
所以cs=("(" a+b")•(" a"-" b")" )/("|" a+b"||" a"-" b"|" )
=(a^2 "-" b^2)/(4a^2 )=-1/2.又∈[0,π],
所以向量a+b与a-b的夹角是2π/3.
5.C 因为非零向量a、b满足|a|=√2/2|b|,
所以|b|=√2|a|.
又a•(a+b)=0,所以a2+a•b=0,
即a•b=-a2.
设平面向量a、b的夹角为θ,
所以cs θ=(a"•" b)/("|" a"||" b"|" )=("-|" a"|" ^2)/("|" a"|" ×√2 "|" a"|" )=-√2/2,
又θ∈[0,π],所以θ=3π/4,即a与b的夹角为3π/4.
故选C.
6.答案 -3/2,2/3 ∪ 2/3,+∞
解析 ∵向量a=(-2,-3),b=(λ,1),向量a与向量b的夹角为钝角,
∴a•b=-2λ-3<0,且a与b不共线,
即λ>-3/2且λ/("-" 2)≠1/("-" 3),即λ>-3/2且λ≠2/3,
故答案为 -3/2,2/3 ∪ 2/3,+∞ .
7.解析 由题意得|b|2=(e1+λe2)2=λ2+2λcs+1.由|a-b|≥√3/4得a2-2a•b+b2=|b|2-√3/2|b|•cs+3/16≥3/16,
∴|b|2-√3/2|b|•cs≥0,∴|b|≥√3/2•cs,∴|b|≥√3/2,∴b2≥3/4.
∴λ2+2λcs+1≥3/4对任意λ∈R恒成立,∴对方程λ2+2λcs+1/4=0,Δ=4cs2-1≤0恒成立,∴-1/2≤cs≤1/2,又∈[0,π],∴π/3≤≤2π/3,∴e1,e2夹角的最小值是π/3.
8.D 由a=(1,2),a-1/2b=(3,1),
得1/2b=a- a-1/2b =(1,2)-(3,1)=(-2,1),则b=(-4,2),
∴2a+b=(2,4)+(-4,2)=(-2,6),
又c=(x,3),(2a+b)∥c,∴6x+6=0,
解得x=-1,故选D.
9.D 由于n⊥(m+tn),所以n•(m+tn)=0,
即n•m+tn2=0,即|m|•|n|•cs+t|n|2=0,
即3/4•|n|2•cs+t|n|2=0,即1/4+t=0,解得t=-1/4.故选D.
10.A 以点A为原点,AC,AB所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图.

因为AB=3,AC=2,所以点B的坐标为(0,3),点C的坐标为(2,0),则(AP) ⃗=λ(AB) ⃗=(0,3λ),(AQ) ⃗=(1-λ)(AC) ⃗=(2-2λ,0),(BQ) ⃗=(AQ) ⃗-(AB) ⃗=(2-2λ,0)-(0,3)=(2-2λ,-3),(CP) ⃗=(AP) ⃗-(AC) ⃗=(0,3λ)-(2,0)=(-2,3λ),
由(BQ) ⃗•(CP) ⃗=1可得,-2(2-2λ)-9λ=1,解得λ=-1.故选A.
11.BD ∵a+b=(1,1),a-b=(-3,1),
∴a=(-1,1),b=(2,0).
对于A,|a|=√2,|b|=2,则|a|=|b|不成立,A错误;
对于B,a=(-1,1),c=(1,1),则a•c=0,即a⊥c,B正确;
对于C,b=(2,0),c=(1,1),b∥c不成立,C错误;
对于D,a=(-1,1),b=(2,0),则a•b=-2,又|a|=√2,|b|=2,则cs θ=(a"•" b)/("|" a"||" b"|" )=("-" 2)/(2√2)=-√2/2,∵0°≤θ≤180°,∴θ=135°,D正确.
故选BD.
12.解析 (1)因为b=(2,-2),c=(sin x-3,1),所以b+c=(sin x-1,-1),
因为a∥(b+c),所以-2-sin x-sin x+1=0,
所以sin x=-1/2,
又因为x∈ -π/2,π/2 ,所以x=-π/6.
(2)假设存在实数k,使(a+d)⊥(b+c),
则(a+d)•(b+c)=0,
即(3+sin x)(sin x-1)-(1+k)=0,
所以k=sin2x+2sin x-4=(sin x+1)2-5,
因为-1≤sin x≤1,所以-5≤k≤-1.
所以存在实数k,使(a+d)⊥(b+c),且k的取值范围为[-5,-1].
13.解析 (1)由题意得,(AB) ⃗=(n-8,t),
∵(AB) ⃗⊥a,∴8-n+2t=0,∴n-8=2t.
又∵|(AB) ⃗|=√5|(OA) ⃗|,∴(n-8)2+t2=5t2=5×64,解得t=±8,
当t=8时,n=24,当t=-8时,n=-8,
∴(OB) ⃗=(24,8)或(OB) ⃗=(-8,-8).
(2)(AC) ⃗=(ksin θ-8,t),∵(AC) ⃗与向量a共线,∴-t=2ksin θ-16,∴tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k sin θ-4/k 2+32/k,
∵k>4,∴1>4/k>0,∴当sin θ=4/k时,tsin θ取最大值,为32/k,
由32/k=4,得k=8,此时θ=π/6,t=8,∴(OC) ⃗=(4,8),∴(OA) ⃗•(OC) ⃗=(8,0)•(4,8)=32.