人教版2022届一轮复习打地基练习 二元一次不等式（组）与平面区域

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 二元一次不等式（组）与平面区域，共21页。试卷主要包含了已知集合A＝{，已知点A，原点和点，若点A等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 二元一次不等式（组）与平面区域
一．选择题（共13小题）
1．不等式组−2≤x≤20≤y≤4表示的点集记为A，不等式组x−y+2≥0y≥x2表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（　　）
A．932 B．732 C．916 D．716
2．已知集合A＝{（x，y）|（x﹣1）2+y2≤4，x，y∈R}与集合B＝{（x，y）|x﹣y+m≤0}，且恒满足A⊆B，则实数m的取值范围为（　　）
A．m≤−22−1 B．m≤22 C．m＞−22−1 D．m＞22
3．若不等式组y≥ax−y+5≥00≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）
A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a＜5 或 a≥7
4．下列点中，在不等式3x+2y﹣6＞0表示的平面区域内的是（　　）
A．（0，0） B．（1，0） C．（1，1） D．（1，2）
5．不等式组y≤−x+2y≤x−1y≥0所表示的平面区域的面积为（　　）
A．1 B．12 C．13 D．14
6．已知点A（2，1）和点B（﹣2，3），若直线3x﹣2y+a＝0与线段AB有交点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣4）∪（12，+∞） B．（﹣∞，﹣4]∪[12，+∞）
C．（﹣4，12） D．[﹣4，12]
7．原点和点（1，1）在直线x+y﹣a＝0的两侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0或a＞2 B．a＝0或a＝2 C．0＜a＜2 D．0≤a≤2
8．不等式组x+y≤2y≥x表示的平面区域是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知点A（1，4），B（3，1），直线l：x﹣my﹣2＝0与线段AB相交于点P，则直线l的斜率的取值范围是（　　）
A．[﹣4，1] B．[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣4]∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）
10．若点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．a＞19 D．a＜19
11．以下不等式组表示的平面区域是三角形的是（　　）
A．x≥1x−y≥0x+2y−6≥0 B．x≥1x−y≥0x+2y−6≤0
C．x≥1x−y≤0x+2y−6≥0 D．x≥1x−y≤0x+2y−6≤0
12．已知点A（1，1），B（2，7）位于直线ax+y﹣1＝0的异侧，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（﹣3，0）
13．设实数x，y满足y≤2x+2x+y−2≥0x≤2，则y−1x+3的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，15] B．[−15，1] C．（−15，13] D．（13，1]
二．多选题（共1小题）
14．已知点A（a，b）和点B（1，0）在直线3x﹣4y+10＝0两侧，下列说法中所有正确的是（　　）
A．3a﹣4b+10＞0
B．当a＞0时，a+b有最小值，无最大值
C．a2+b2＞2
D．当a＞0且a≠1，b＞0时，ba−1的取值范围为(−∞，−52)∪(34，+∞)
三．填空题（共9小题）
15．若实数x，y满足x∈N∗y∈N∗2x−2＜y≤3，则点（x，y）构成的集合为 　 　．
16．不等式组x2+y2≤1x+y≥1所表示的平面区域的面积为 　 　．
17．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤4}，集合B＝{（x，y）|y≥m|x|，m为正常数}．若O为坐标原点，M，N为集合A所表示的平面区域与集合B所表示的平面区域的边界的交点，则△MON的面积S与m的关系式为　 　．
18．已知x，y∈Z，则满足x−y≥0x+y≤5y≥0，的点的个数为　 　．
19．不等式x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0表示的平面区域为M，则该区域的面积为　 　，若P（x，y）是M中的任一点，则z＝x+y的最大值是　 　．
20．平面区域3y+2x−1≥0y+4x−7≤0y−x−2≤0的外接圆的方程是　 　．
21．已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是　 　．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组y＞x+ay＞(12)x+a，则实数a的取值范围是　 　．
22．不等式组y≥0x+y−2≤02x−y+2≥0，表示的可行域的面积为　 　．
23．（1）不等式组x−y+5≥0x+y≥0x≤3表示的平面区域的面积为　 　．
（2）不等式组−5≤x≤5x+2y≥−4x+2y≤4表示的平面区域的面积是　 　．
四．解答题（共1小题）
24．作出下列不等式组表示的平面区域：
（1）x−y+1＞0x+2y+1＞0x≤0
（2）2x−y+2＜0x−y+3＞0y＞−1

人教版2022届一轮复习打地基练习 二元一次不等式（组）与平面区域
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．不等式组−2≤x≤20≤y≤4表示的点集记为A，不等式组x−y+2≥0y≥x2表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（　　）
A．932 B．732 C．916 D．716
【分析】分别画出点集对应的区域，求出面积，利用几何概型的公式解答．
【解答】解：分别画出点集A，B如图，

A对应的区域面积为4×4＝16，B对应的区域面积如图阴影部分面积为−12 (x+2−x2)dx=（12x2+2x−13x3）|−12=92，
由几何概型公式得，在A中任取一点P，则P∈B的概率为9216=932；
故选：A．
2．已知集合A＝{（x，y）|（x﹣1）2+y2≤4，x，y∈R}与集合B＝{（x，y）|x﹣y+m≤0}，且恒满足A⊆B，则实数m的取值范围为（　　）
A．m≤−22−1 B．m≤22 C．m＞−22−1 D．m＞22
【分析】集合A对应的平面区域为以（1，0）为圆心，半径为2的圆及圆的内部．集合B表示在直x﹣y+m＝0的左上方，利用A⊆B，确定直线和圆的位置关系即可．
【解答】解：集合A对应的平面区域为以（1，0）为圆心，半径为2的圆及圆的内部．集合B表示在直x﹣y+m＝0的左上方，
∴要使A⊆B恒成立，
则满足直线与圆的距离d≥2且（1，0）在x﹣y+m≤0对应的平面内，
即d=|1+m|2≥2且1+m≤0，
∴|1+m|≥22，且m≤﹣1，
∴1+m≤−22，
解得m≤−22−1．
故选：A．

3．若不等式组y≥ax−y+5≥00≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）
A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a＜5 或 a≥7
【分析】根据已知的不等式组y≥ax−y+5≥00≤x≤2画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，不难求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围．
【解答】解：满足约束条件x−y+5≥00≤x≤2的可行域如下图示：

由图可知，若不等式组y≥ax−y+5≥00≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，
则a的取值范围是：5≤a＜7．
故选：C．

4．下列点中，在不等式3x+2y﹣6＞0表示的平面区域内的是（　　）
A．（0，0） B．（1，0） C．（1，1） D．（1，2）
【分析】将点的坐标代入不等式进行验证即可．
【解答】解：当x＝1，y＝2时，3+4﹣6＝1＞0，
即点D（1，2）位于不等式对应的平面区域内，
故选：D．
5．不等式组y≤−x+2y≤x−1y≥0所表示的平面区域的面积为（　　）
A．1 B．12 C．13 D．14
【分析】画出约束条件表示的可行域，求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，再求出可行域的面积．
【解答】解：作出不等式组y≤−x+2y≤x−1y≥0所表示的平面区域，如图所示的三角形ABC，由题意可得C（1，0），B（2，0）
由y=−x+2y=x−1可得A（32，12），
S△ABC=12×1×12=14．
故选：D．

6．已知点A（2，1）和点B（﹣2，3），若直线3x﹣2y+a＝0与线段AB有交点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣4）∪（12，+∞） B．（﹣∞，﹣4]∪[12，+∞）
C．（﹣4，12） D．[﹣4，12]
【分析】根据题意，分析可得点A、B在直线3x﹣2y+a＝0的两侧或在直线上，进而可得（6﹣2+a）（﹣6﹣6+a）≤0，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若直线3x﹣2y+a＝0与线段AB有交点，
则点A、B在直线3x﹣2y+a＝0的两侧或在直线上，
又由点A（2，1）和点B（﹣2，3），
则有（6﹣2+a）（﹣6﹣6+a）≤0，
即（a+4）（a﹣12）≤0，
解可得：﹣4≤a≤12，
即a的取值范围是[﹣4，12]；
故选：D．
7．原点和点（1，1）在直线x+y﹣a＝0的两侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0或a＞2 B．a＝0或a＝2 C．0＜a＜2 D．0≤a≤2
【分析】根据题意，由二元一次不等式与平面区域的关系分析：若原点和点（1，1）在直线x+y﹣a＝0的两侧，则（0+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，变形解可得答案．
【解答】解：根据题意，原点和点（1，1）在直线x+y﹣a＝0的两侧，
则（0+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，
解可得0＜a＜2，
即a的取值范围是（0，2）；
故选：C．
8．不等式组x+y≤2y≥x表示的平面区域是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据阴影部分与直线的位置关系即可写出结论．
【解答】解：先在坐标系中画出直线y＝2﹣x和直线y＝x的图象，
由已知，不等式组x+y≤2y≥x表示的平面区域应为：在直线y＝2﹣x的左下侧（包括直线y＝2﹣x）且在直线y＝x的左上侧部分（包括直线y＝x）．
故选：C．
9．已知点A（1，4），B（3，1），直线l：x﹣my﹣2＝0与线段AB相交于点P，则直线l的斜率的取值范围是（　　）
A．[﹣4，1] B．[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣4]∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）
【分析】根据直线斜率公式，进行求解即可得到结论．
【解答】解：作出对应的图象如图：
若直线l：x﹣2﹣my＝0与线段AB相交于P，
直线l过定点C（2，0），
∵kCB=1−03−2=1，kCA=4−01−2=−4，
结合图象，k≤﹣4或k≥1，
故选：D．

10．若点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．a＞19 D．a＜19
【分析】点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧，那么把这两个点代入3x﹣y+7，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧；
∴（2×3+7）（3a﹣4+7）＜0，
即：3a+3＜0，解得a＜﹣1．
故选：A．
11．以下不等式组表示的平面区域是三角形的是（　　）
A．x≥1x−y≥0x+2y−6≥0 B．x≥1x−y≥0x+2y−6≤0
C．x≥1x−y≤0x+2y−6≥0 D．x≥1x−y≤0x+2y−6≤0
【分析】分别画出选项中的不等式组表示的平面区域，即可得出正确的选项．
【解答】解：对于A，画出不等式组x≥1x−y≥0x+2y−6≥0表示的平面区域，如图1阴影所示，图1不是三角形区域；
对于B，画出不等式组x≥1x−y≥0x+2y−6≤0表示的平面区域，如图2阴影所示，图2不是三角形区域；
对于C，画出不等式组x≥1x−y≤0x+2y−6≥0表示的平面区域，如图3阴影所示，图3不是三角形区域；
对于D，画出不等式组x≥1x−y≤0x+2y−6≤0表示的平面区域，如图4阴影所示，图4是三角形区域．
故选：D．
12．已知点A（1，1），B（2，7）位于直线ax+y﹣1＝0的异侧，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（﹣3，0）
【分析】点A（1，1），B（2，7）位于直线ax+y﹣1＝0的异侧⇔（a×1+1﹣1）（a×2+7﹣1）＜0，可求得a的取值范围．
【解答】解：直线方程为ax+y﹣1＝0，由点A，B位于直线异侧得（a×1+1﹣1）（a×2+7﹣1）＜0
即a（2a+6）＜0，解得﹣3＜a＜0．
故选：D．
13．设实数x，y满足y≤2x+2x+y−2≥0x≤2，则y−1x+3的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，15] B．[−15，1] C．（−15，13] D．（13，1]
【分析】由约束条件作出可行域，利用y−1x+3的几何意义，即可行域内的动点与定点（﹣3，1）连线的斜率得答案．
【解答】解：由约束条件y≤2x+2x+y−2≥0x≤2作出可行域如图，
A（2，0），
联立x=2y=2x+2，解得B（2，6）．
y−1x+3的几何意义为可行域内的动点与定点（﹣3，1）连线的斜率．
∵kPA=1−0−3−2=−15，kPB=6−12+3=1．
∴y−1x+3的取值范围是[−15，1]．
故选：B．

二．多选题（共1小题）
14．已知点A（a，b）和点B（1，0）在直线3x﹣4y+10＝0两侧，下列说法中所有正确的是（　　）
A．3a﹣4b+10＞0
B．当a＞0时，a+b有最小值，无最大值
C．a2+b2＞2
D．当a＞0且a≠1，b＞0时，ba−1的取值范围为(−∞，−52)∪(34，+∞)
【分析】根据点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10＝0的两侧，可以画出点A（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个答案．可得结论．
【解答】解：∵点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10＝0的两侧，
故点A（a，b）在如图所示的平面区域内，

故3a﹣4b+10＜0，即A错误；
当a＞0时，a+b＞52，a+b无最小值，也无最大值，故B错误；
设原点到直线3x﹣4y+10＝0的距离为d，则d=1032+(−4)2=2，则a2+b2＞2，故C正确；
当a＞0且a≠1，b＞0时，ba−1表示点A（a，b）与B（1，0）连线的斜率，
∵当a＝0，b=52时，ba−1=−52，
又∵直线3x﹣4y+10＝0的斜率为34，
故ba−1的取值范围为（﹣∞，−52）∪（34，+∞），故D正确；
故选：CD．
三．填空题（共9小题）
15．若实数x，y满足x∈N∗y∈N∗2x−2＜y≤3，则点（x，y）构成的集合为 　{（1，1），（1，2），（1，3），（2，3）}　．
【分析】根据题意，求出不等式的解集，用集合的方法表示出来即可得答案．
【解答】解：根据题意，实数x，y满足x∈N∗y∈N∗2x−2＜y≤3，
若y＝3，则x＝1或2，
若y＝2，则x＝1，
若y＝1，则x＝1，
则点（x，y）构成的集合为{（1，1），（1，2），（1，3），（2，3）}；
故答案为：{（1，1），（1，2），（1，3），（2，3）}．
16．不等式组x2+y2≤1x+y≥1所表示的平面区域的面积为 　π−24　．
【分析】画出约束条件的可行域，利用可行域求面积即可．
【解答】解：不等式组x2+y2≤1x+y≥1所表示的平面区域如图所示：
，
不等式组x2+y2≤1x+y≥1所表示的平面区域的面积为：14•π×12−12×1×1=π−24．
故答案为：π−24．
17．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤4}，集合B＝{（x，y）|y≥m|x|，m为正常数}．若O为坐标原点，M，N为集合A所表示的平面区域与集合B所表示的平面区域的边界的交点，则△MON的面积S与m的关系式为　4m1+m2　．
【分析】集合A＝{（x，y）|x2+y2≤4}，集合B＝{（x，y）|y≥m|x|，m为正常数}，在平面中作出A和B的图象，由此能求出平面区域的边界的交点，从而得到△MON的面积S与m的关系式．
【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|x2+y2≤4}，表示一个圆内的部分；
集合B＝{（x，y）|y≥m|x|，m为正常数}，
表示角形区域部分；
在平面中作出A和B的边界的图象，
结合图象，知，集合A所表示的平面区域与集合B所表示的平面区域的边界的交点N，M的坐标分别为：N（41+m2，m41+m2），M（−41+m2，m41+m2）．
则△MON的面积S与m的关系式为S=12×（241+m2）×m41+m2=4m1+m2．
故答案为：4m1+m2．

18．已知x，y∈Z，则满足x−y≥0x+y≤5y≥0，的点的个数为　12　．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用格点的方法求整数点即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，

数形结合，将三角形区域AOB中x，y均为整数点一一数出
（0，0），（1，0），（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），
（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（2，2），（3，2）共12个．
故答案为：12．
19．不等式x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0表示的平面区域为M，则该区域的面积为　2+π　，若P（x，y）是M中的任一点，则z＝x+y的最大值是　2　．
【分析】不等式x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0，化为：(|x|−12)2+(|y|−12)2≤12，对x，y分类讨论，可得可行域．因此表示的平面区域M为正方形ABCD及其4个半圆，进而得出结论．
【解答】解：不等式x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0，化为：(|x|−12)2+(|y|−12)2≤12，
对x，y分类讨论，可得可行域．
因此表示的平面区域M为正方形ABCD及其4个半圆，
则该区域的面积=(2)2+2π×(22)2=2+π．
若P（x，y）是M中的任一点，则z＝x+y即y＝﹣x+z．
由圆心（12，12）到此直线的距离=|12+12−z|2=22，解得z＝2，或0（舍去）．
∴z＝x+y的最大值是2．
故答案为：2+π，2．

20．平面区域3y+2x−1≥0y+4x−7≤0y−x−2≤0的外接圆的方程是　x2+y2−113x−95y−125=0　．
【分析】根据已知和图形可知，不等式组围成的平面区域是一个三角形，分别求出外接圆的圆心和半径即可得到圆的方程．
【解答】解：根据题意可知不等式组3y+2x−1≥0y+4x−7≤0y−x−2≤0，
表示的平面区域为△ABC，
联立3y+2x−1=0y+4x−7=0⇒x=2y=−1；3y+2x−1=0y−x−2=0⇒x=−1y=1；y+4x−7=0y−x−2=0⇒x=1y=3．
可得A（﹣1，1），B（2，﹣1），C（1，3），
故可设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0；
把A，B，C 三点坐标代入得：D+3E+F+10=02D−E+F+5=0−D+E+F+2=0；解得：D=−113，E=−95，F=−125．
则所求圆的方程为：x2+y2−113x−95y−125=0；
故答案为：x2+y2−113x−95y−125=0．

21．已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是　（﹣1，1）　．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组y＞x+ay＞(12)x+a，则实数a的取值范围是　{a|a≥﹣1}　．
【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．
【解答】解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；
A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组y＞x+ay＞(12)x+a，
其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组y＞x+ay＞(12)x+a，
可得：1＞1+a1＞12+a且1＞−1+a1＞(12)−1+a⇒a＜0且a＜﹣1⇒a＜﹣1；
故满足条件的a的取值范围是{a|a≥﹣1}．
故答案为：（﹣1，1），{a|a≥﹣1}．
22．不等式组y≥0x+y−2≤02x−y+2≥0，表示的可行域的面积为　3　．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：作出可行域，如图所示，可行域的面积为12×3×2=3．

故答案为：3
23．（1）不等式组x−y+5≥0x+y≥0x≤3表示的平面区域的面积为　1214　．
（2）不等式组−5≤x≤5x+2y≥−4x+2y≤4表示的平面区域的面积是　40　．
【分析】先根据不等式组画出其表示的平面区域，并求出交点的坐标，其中（1）的平面区域为三角形，（2）的平面区域为平行四边形，然后利用三角形和平行四边形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）根据不等式作出如图所示的△ABC区域，其中A（−52，52），B（3，8），C（3，﹣3），

∴S△ABC=12dA−BC⋅BC=12×(3+52)×(8+3)=1214．
（2）根据不等式作出如图所示的平行四边形ABCD区域，其中A（﹣5，92），B（5，−12），C（5，−92），

∴S平四ABCD=dA−BC⋅BC=(5+5)×(−12+92)=40．
故答案为：（1）1214；（2）40．
四．解答题（共1小题）
24．作出下列不等式组表示的平面区域：
（1）x−y+1＞0x+2y+1＞0x≤0
（2）2x−y+2＜0x−y+3＞0y＞−1
【分析】（1）根据题意画出不等式组表示的平面区域即可；
（2）根据题意画出二元一次不等式组表示的平面区域即可．
【解答】解：（1）画出不等式组x−y+1＞0x+2y+1＞0x≤0表示的平面区域，如图1所示；
（2）画出不等式组2x−y+2＜0x−y+3＞0y＞−1表示的平面区域，如图2所示．