220-2021学年山东省枣庄市某校高一（下）3月月考数学试卷人教A版（2019）

这是一份220-2021学年山东省枣庄市某校高一（下）3月月考数学试卷人教A版（2019），共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若向量OF1→=1,1，OF2→=−3,−2分别表示两个力F1→，F2→，则|F1→+F2→|为( )
A.5,0B.−5,0C.5D.−5

2. 在Rt△ABC中， ∠ABC=90∘， AB=8，BC=6，D为AC中点，则cs∠BDC=（ ）
A.−725B.725C.0D.12

3. 已知AD是△ABC的中线，AB→=a→，AD→=b→，以a→，b→为基底表示AC→，则AC→=( )

A.12a→−b→B.2b→−a→C.12b→−a→D.2b→+a→

4. a→=(−4, 3)，b→=(5, 6)，则3|a→|2−4a→⋅b→等于( )
A.23B.57C.63D.83

5. 设△ABC中BC边上的中线为AD，点O满足AO→=−2DO→，则OC→=( )
A.−13AB→+23AC→B.23AB→−13AC→
C.13AB→−23AC→D.−23AB→+13AC→

6. 已知a→=(1,−3)，b→=(4,−2)，且λa→+b→与a→垂直，则λ等于 )
A.1B.−1C.2D.−2

7. 若|OA→|=1，|OB→|=3，∠AOB=23π，点C在∠AOB外，且OB→⋅OC→=0，设实数m，n满足OC→=mOA→+nOB→，则mn等于( )
A.−2B.2C.23D.3

8. 在△ABC中，点M是BC的中点，AM=1，点P在AM上，且满足AP=2PM，则PA→⋅(PB→+PC→)等于( )
A.−49B.−43C.43D.49
二、多选题

已知向量a→=1,3，b→=−2,1，c→=3,−5，则( )
A.a→+2b→//c→B.a→+2b→⊥c→
C.|a→+c→|=10+34D.|a→+c→|=2|b→|

△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a→，b→满足AB→=2a→，AC→=2a→+b→，则下列结论正确的是( )
A.a→为单位向量B.a→⊥b→
C.b→//BC→D.(4a→+b→)⊥BC→

下列说法中错误的为( )
A.已知a→=1,2，b→=1,1，且a→与a→+λb→的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是−53,+∞
B.向量e1→=2,−3，e2→=12,−34不能作为平面内所有向量的一组基底
C.若a→//b→，则a→在b→方向上的投影为|a→|
D.非零向量a→和b→满足|a→|=|b→|=|a→−b→|，则a→与a→+b→的夹角为60∘

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是( )
A.若acsA=bcsB=ccsC，则△ABC一定是等边三角形
B.若 acsA=bcsB，则△ABC一定是等腰三角形
C.若 bcsC+ccsB=b，则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2+b2−c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
三、填空题

已知点A3,−4与B−1,2，点P在直线AB上，且|AP→|=|PB→|，则点P的坐标为________.

已知非零向量a→，b→，|a→|=8，|b→|=5，则|a→+b→|的最大值为________.

设P2,7，Qx,−3，则OP→与OQ→的夹角为钝角时，x的取值范围为________.

已知圆O半径为2，弦AB=2，点C为圆O上任意一点，则AB→⋅AC→的最大值是________.
四、解答题

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=7，b=2，A=60∘．
(1)求sinB的值；

(2)求c的值．

已知|a→|=4，|b→|=8，a→与b→的夹角是60∘，计算：
(1)2a→+b→⋅2a→−b→；

(2)|4a→−2b→|.

已知点A2,3，B6,1，O为坐标原点，P为x轴上一动点．
(1)若AP→⊥BP→，求点P的坐标；

(2)当AP→⋅BP→取最小值时，求向量AP→与BP→的夹角的余弦值．

在△ABC中，已知a2−a=2b+c，a+2b=2c−3，若sinC:sinA=4:13，求a，b，c

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m→=(a,3b)，n→=(csA,sinB)且m→//n→.
(1)求角A；

(2)若a=7，b=2，求△ABC的面积.

如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且F在直线DC上，且DF→=tFC→，记AB→=a→，AD→=b→，若DE→+BF→=23a→+12b→.

(1)求t的值；

(2)若|AB→|=3，∠DAB=π3，且|BF→|=3，求|DE→|.
参考答案与试题解析
220-2021学年山东省枣庄市某校高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
平面向量的坐标运算
向量模长的计算
【解析】
首先利用向量加法的坐标运算公式求出OF1→+OF2→的坐标；
其次利用向量模的坐标运算公式计算OF1→+OF2→的模，问题即可解答．
【解答】
解：因为OF1→+OF2→=1−3,1−2=−2,−1，
所以|OF1→+OF2→|=(−2)2+(−1)2=5，
即|F1→+F2→|=5．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量的坐标运算
平面向量的夹角
【解析】
建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求夹角即可.
【解答】
解：建立如图所示平面直角坐标系，
则B0,0， A(0,8)，C6,0，D3,4，
∴ DB→=−3,−4，DC→=(3,−4) ，
又∠BDC为DB→，DC→的夹角，
∴ cs∠BDC=DB→⋅DC→|DB→|⋅|DC→|=−9+165×5=725.
故选B．
3.
【答案】
B
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
由AD是△ABC的中线，得到AD→=12AB→+AC→，变形即可得到答案.
【解答】
解：∵ AD是△ABC的中线，AB→=a→，AD→=b→，
∴ AD→=12AB→+AC→，
∴ AC→=2AD→−AB→=2b→−a→.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
根据平面向量数量积与模的坐标运算公式，分别算出|a→|、4a→⋅b→的值，代入即可求出3|a→|2−4a→⋅b→的值．
【解答】
解：∵ a→=(−4, 3)，
∴ |a→|=(−4)2+32=5.
又∵ b→=(5, 6)，
∴ a→⋅b→=−4×5+3×6=−2，
∴ 3|a→|2−4a→⋅b→=3×52−4×(−2)=83.
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
向量的三角形法则
平面向量的基本定理
【解析】
由于AD为△ABC中BC边上的中线，可得AD→=12AB→+AC→；又因为AO→=−2DO→可得O为AD的三等分点，再利用平面向量基本定理由此即可求解．
【解答】
解：如图所示：
∵ AO→=−2DO→=2OD→，且D为BC的中点，
∴ O为AD的三等分点靠近点D，且2AD→=AB→+AC→，
∴AO→=23AD→=13AB→+AC→，
又BO→=23BD→+13BA→，
∴ 2OD→=OB→+OC→，
即AO→=OB→+OC→，
∴ OC→=AO→−OB→=AO→+BO→
=13AB→+AC→+23BD→+13BA→
=13AB→+AC→+13BC→+13BA→
=13AB→+AC→+13AC→−AB→−13AB→
=−13AB→+23AC→．
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
【解析】
先求出(λa→+b→)的坐标，由题意可得 (λa→+b→)⋅a→=λ+4+9λ+6=0，解方程求得λ 的值．
【解答】
解：(λa→+b→)=(λ+4, −3λ−2)，
由题意可得(λa→+b→)⋅a→
=(λ+4, −3λ−2)⋅(1, −3)
=λ+4+9λ+6=0，
∴ λ=−1.
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ OC→=mOA→+nOB→，|OA→|=1，|OB→|=3，∠AOB=23π，
∴ OC→2=(mOA→+nOB→)2
=m2+2mnOA→⋅OB→+3n2
=m2+3n2−3mn. ①
∵ OC→−nOB→=mOA→，且OB→⋅OC→=0，
两边同时平方可得，OC→2+n2OB→2=m2OA→2，
整理可得，OC→2=m2−3n2. ②
①②联立可得，mn=23.
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足AP→=2PM→可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．
【解答】
解：∵ 点M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，
又由点P在AM上且满足AP=2PM，
∴ P是三角形ABC的重心，
∴ PA→⋅(PB→+PC→)
=PA→⋅AP→
=−|PA→|2.
又∵ AM=1，
∴ |PA→|=23，
∴ PA→⋅(PB→+PC→)=−49.
故选A.
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
向量的模
平面向量共线（平行）的坐标表示
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得，a→+2b→=−3,5，a→+c→=(4,−2)．
因为a→+2b→=−c→，
所以a→+2b→//c→，则A正确，B错误；
因为|a→+c→|=42+−22=25，
|b→|=−22+1=5，
所以|a→+c→|=2|b→|，则C错误，D正确．
故选AD．
【答案】
A,C,D
【考点】
平面向量数量积
数量积判断两个平面向量的垂直关系
单位向量
【解析】
由题意，知道a→=12AB→，b→=BC→，根据已知三角形为等边三角形解之．
【解答】
解：已知三角形ABC的等边三角形，
a→，b→满足AB→=2a→，AC→=2a→+b→，
且AC→=AB→+BC→，
∴ b→的方向应该为BC→的方向，
∴ |a→|=12|AB→|=1，b→//BC→，且|b→|=|BC→|，
∴ |b→|=2，a→⋅b→=1×2×cs120∘=−1，
故选项A，C正确，选项B错误；
4a→⋅b→=4×1×2×cs120∘=−4，|b→|2=4，
∴ 4a→⋅b→+|b→|2=0，
即(4a→+b→)⋅b→=0，
即(4a→+b→)⋅BC→=0，
∴ (4a→+b→)⊥BC→，故选项D正确.
故选ACD.
【答案】
A,C,D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的投影
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
由向量的数量积、向量的投影、基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解．
【解答】
解：A，∵ a→=1,2，b→=1,1，且a→与a→+λb→的夹角为锐角，
∴a→⋅a→+λb→=1,2⋅1+λ,2+λ
=1+λ+4+2λ=3λ+5>0，
解得λ>−53.
当λ=0时，a→与a→+λb→的夹角为0，
∴ λ≠0，
∴ 实数λ的取值范围为λ>−53且λ≠0 ，故A错误；
B，∵ e1→=2,−3，e2→=12,−34，
∴ e1→=2,−3=4e2→ ，
∴ e1→，e2→共线，即e1→，e2→不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
C，若a→//b→，则a→在b→方向上的投影为±|a→|，故C错误；
D，∵ |a→|=|a→−b→| ，
两边平方，得|b→|2=2a→⋅b→，
∴ a→⋅a→+b→=|a→|2+a→⋅b→=32|a→|2，
|a→+b→|=a→+b→2
=|a→|2+2a→⋅b→+|b→|2=3|a→|，
∴ cs⟨a→,a→+b→⟩=a→⋅a→+b→|a→||a→+b→|
=32|a→|2|a→|⋅3|a→|=32.
又向量夹角的取值范围为0∘,180∘，
∴ a→与a→+b→的夹角为30∘，故D错误．
故选ACD．
【答案】
A,C
【考点】
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．
【解答】
解：对于A，若acsA=bcsB=ccsC，则sinAcsA=sinBcsB=sinCcsC，即tanA=tanB=tanC，即A=B=C，即△ABC是等边三角形，故正确；
对于B，若acsA=bcsB，则由正弦定理得2rsinAcsA=2rsinBcsB，即sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180∘，即A=B或A+B=90∘，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于C，若bcsC+ccsB=b，则sinBcsC+sinCcsB=sin(B+C)=sinA=sinB，即A=B，则△ABC是等腰三角形，故正确；
对于D，△ABC中，∵ a2+b2−c2>0，∴ 角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故错误.
故选AC.
三、填空题
【答案】
(1,−1)
【考点】
中点坐标公式
【解析】
由题意可得：P是AB的中点，由中点坐标公式求解即可.
【解答】
解：由题意可得：P是AB的中点，
由中点坐标公式可得：xP=3−12=1，yP=−4+22=−1，
所以P1,−1.
故答案为：(1,−1).
【答案】
13
【考点】
平面向量数量积
【解析】
由题意得到|a→+b→|=89+80csθ，当且仅当csθ=1时，|a→+b→|的最大值为89+80=13.
【解答】
解：|a→|=8，|b→|=5，
设a→与b→的夹角为θ，
则|a→+b→|=|a→|2+|b→|2+2a→⋅b→
=64+25+2×8×5csθ
=89+80csθ，
当且仅当csθ=1时，|a→+b→|的最大值为89+80=13.
故答案为：13.
【答案】
−∞,−67∪−67,212
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
两向量的夹角为钝角，则两向量的数量积小于零，且两向量不共线，列不等式求解即可.
【解答】
解：由题意可得：OP→=2,7，OQ→=x,−3，
若OP→与OQ→的夹角为钝角，
则OP→⋅OQ→=2x−21