2021届一轮复习 必修一 函数最值及其几何意义 打地基练习

这是一份2021届一轮复习 必修一 函数最值及其几何意义 打地基练习，共31页。试卷主要包含了已知命题p，已知函数f，函数f，已知a∈R，函数f，若x，a，b均为任意实数，且等内容，欢迎下载使用。
2021届一轮复习 必修一 函数最值及其几何意义 打地基练习
一．选择题（共16小题）
1．已知命题p：函数在x＝a处取到最大值；命题q：直线x﹣y+2＝0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2＝8相切；则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知函数f（x）＝ax3﹣x2+4x+3，若在区间[﹣2，1]上，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣6，﹣2] B． C．[﹣5，﹣3] D．[﹣4，﹣3]
3．函数f（x）＝，∀a，b∈R，x∈[1，2]上f（x）最大值M（a，b）的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数f（x）＝（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知a∈R，函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值是3，则a的取值范围是（　　）
A．[1，3] B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，1] D．[0，1]
6．已知a，b，c∈R，对任意x∈[﹣1，1]，均有|ax2+bx+c|≤1，则当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）＝|（ax2+bx+c）（cx2+bx+a）|的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1、S2、…、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si＝{ai，bi}，Sj＝{aj，bj}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有min≠min（min{x，y}表示两个数x、y中的较小者）．则k的最大值是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
8．若x，a，b均为任意实数，且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（　　）
A．3 B．18 C．3﹣1 D．19﹣6
9．已知函数f（x）＝（x＜﹣1），则（　　）
A．f（x）有最小值4 B．f（x）有最小值﹣4
C．f（x）有最大值4 D．f（x）有最大值﹣4
10．已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n＝6，3a+4b＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
11．函数f（x）＝在区间[0，3]上的最大值为（　　）
A．0 B． C． D．
12．函数，则f（x）的最大值是（　　）
A．0 B．2 C．1 D．3
13．记实数x1，x2，x3，…，xn中的最大数为max{x1，x2，x3，…，xn}，最小数为min{x1，x2，x3，…，xn}，则max{min{6ex，x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}＝（　　）
A． B．4 C．3 D．
14．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（　　）
A． B．﹣1 C．±1 D．±
15．已知函数y＝x2﹣6|x|+2，a﹣2≤x≤a+2时，函数的最大值为M（a），则M（a）的最值为（　　）
A．2 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣3
16．函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥ B．a＞ C．a≤ D．a＜
二．多选题（共1小题）
17．已知函数f（x）＝ex+e﹣x，给出以下四个结论正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小值为2
C．当f（x）取到最小值时对应的x＝0
D．f（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减
三．填空题（共14小题）
18．已知函数f（x）＝|x+t|（x∈R），其中表示对于x∈R，当t∈[1，3]时表达式|x+t|的最大值，则f（x）的最小值为　 　
19．已知函数f（x）＝x|x﹣a|+2x，a∈R，当a＝　 　时，函数f（x）为奇函数；当x∈[0，2]时，f（x）的最大值为6，则a＝　 　．
20．函数，x∈（1，e]的最小值为　 　．
21．如图，A，B为某市的两个旅游中心，海岸线l可看做一条直线，且与AB所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以AB为直径的半圆上选定一点P，修建PA，PB，PQ三段公路，其中PQ⊥l，AB＝20km，两平行直线AB与l之间的距离为20km，公路PA和PB段的造价均为6千万元/km，公路PQ段的造价为5千万元/km，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为　 　千万．

22．已知向量、满足||＝1，||＝2，则|+|+|﹣|的最小值是　 　，最大值是　 　．
23．已知实数若x，y满足x＞y＞0，则的取值范围是　 　．
24．函数，x∈（﹣1，1）的最小值是　 　．
25．函数的最小值是 　 　．
26．设a∈（﹣∞，]，b∈R，g（x）＝ax3﹣x，x∈[﹣1，1]，则g（x）的值域是　 　，函数f（x）＝|g（x）﹣b|在[﹣1，1]的最大值是，则a2+b2的值是　 　．
27．已知a，b为正实数，且a+b＝2，则+的最小值为　 　．
28．设函数f（x）＝|x3﹣|x+a|+3|，若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是　 　．
29．已知a＞0，函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则a＝　 　．
30．已知x，y∈[1，3]，x+y＝4，则的最大值为　 　．
31．已知函数h（x）＝xlnx与函数g（x）＝kx﹣1的图象在区间上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是　 　．
四．解答题（共7小题）
32．（1）已知不等式ax2﹣3x+2＜0的解集为A＝{x|1＜x＜b}，求函数f（x）＝（2a+b）x+（x∈A）的最小值．
（2）设＝（1，﹣2），＝（a，﹣1），＝（﹣b，0），a＞0，b＞0，O为坐标原点，设A，B，C三点共线，求+的最小值．
33．已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）（其中a为参数），求F（x）的最大值g（a）．
34．已知函数f（x）＝．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
35．已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．
（Ⅰ）若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，2]上的值域；
（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在[1，a]上的最大值．
36．（1）已知函数y＝logax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，求实数a的值．
（2）当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝x2+2x+1﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．
37．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）＝0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，试求k的取值范围；
（3）若a＞0，f（x）为偶函数，实数m，n满足mn＜0，m+n＞0，定义函数F（x）＝，试判断F（m）+F（n）值的正负，并说明理由．
38．若函数f（x）＝x|x﹣m|+m2，m∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求m的值；
（2）若函数f（x）在x∈[1，2]上是增函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值为7，求实数m的值．

2021届一轮复习 必修一 函数最值及其几何意义 打地基练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．已知命题p：函数在x＝a处取到最大值；命题q：直线x﹣y+2＝0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2＝8相切；则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据三角函数的图象和性质，可得命题p：a＝1+4k，k∈Z；根据直线与圆的位置关系，可得命题q：a＝1，或a＝9，进而根据充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：当＝+2kπ，k∈Z，即x＝1+4k，k∈Z时，函数取到最大值；
故命题p：a＝1+4k，k∈Z；
若直线x﹣y+2＝0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2＝8相切，
则＝2，
解得：a＝1，或a＝9，
即命题q：a＝1，或a＝9，
故p是q的必要不充分条件，
故选：B．
2．已知函数f（x）＝ax3﹣x2+4x+3，若在区间[﹣2，1]上，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣6，﹣2] B． C．[﹣5，﹣3] D．[﹣4，﹣3]
【分析】分x＝0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集
【解答】解：当x＝0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，
令f（x）＝﹣，则f′（x）＝﹣+＝﹣（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max＝f（1）＝﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）min＝f（﹣1）＝﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．
故选：A．
3．函数f（x）＝，∀a，b∈R，x∈[1，2]上f（x）最大值M（a，b）的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知函数解析式特点考虑换元，则f（x）＝g（t）＝|t2﹣（at+b﹣2）|，可得M（a，b）≥g（0）①，M（a，b）≥g（）②，M（a，b）≥g（）③，由①+②+③×2，结合绝对值不等式的性质，计算可得最小值．
【解答】解：＝|（x﹣）2﹣a（x﹣）﹣b+2|，
设t＝x﹣，x∈[1，2]，则t∈[0，]，
f（x）＝g（t）＝|t2﹣at﹣b+2|，t∈[0，]，
由题意M（a，b）≥g（0）＝|2﹣b|，①
M（a，b）≥g（）＝|﹣a﹣b|，②
M（a，b）≥g（）＝|﹣a﹣b|，③
由①+②+③×2，
可得M（a，b）+M（a，b）+2M（a，b）≥|2﹣b|+|﹣a﹣b|+|﹣a﹣b|≥|2﹣b+﹣a﹣b+a+2b﹣|＝，
∴M（a，b）≥，当且仅当b＝，a＝时，等号同时成立，
∴M（a，b）的最小值为．
故选：B．
4．已知函数f（x）＝（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】函数f（x）可变形为f（x）＝1+，令g（x）＝，则g（﹣x）＝＝﹣g（x），进而求解；
【解答】解：函数f（x）可变形为f（x）＝1+，令g（x）＝，则g（﹣x）＝＝﹣g（x），
∴g（x）为奇函数，
当x＝a时，g（x）有最大值g（a），当x＝﹣a时，g（x）有最小值g（﹣a）＝﹣g（a），
∵f（x）＝1+g（x），
∴当x＝a时，f（x）有最大值g（a）+1，则当x＝﹣a时，f（x）有最小值﹣g（a）+1，
即M＝g（a）+1，m＝﹣g（a）+1，
∴M+m＝2
故选：C．
5．已知a∈R，函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值是3，则a的取值范围是（　　）
A．[1，3] B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，1] D．[0，1]
【分析】根据二次函数y＝f（x）＝x2﹣4x+3﹣a的对称轴，可得函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值只可能是f（0），f（4），f（2）中的某一个值，（其中f（0）＝f（4）），分类讨论即可．
【解答】解：根据二次函数y＝f（x）＝x2﹣4x+3﹣a的对称轴x＝2，
可得函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值只可能是f（0），f（4），f（2）中的某一个值，
其中f（0）＝f（4）＝|3﹣a|+a，f（2）＝|1+a|+a，
当|3﹣a|+a≥|1+a|+a时，|3﹣a|+a＝3，
解得a≤1．
当|3﹣a|+a＜|1+a|+a时，|1+a|+a＝3，a∈∅．
综上，则a的取值范围是（﹣∞，1]．
故选：C．
6．已知a，b，c∈R，对任意x∈[﹣1，1]，均有|ax2+bx+c|≤1，则当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）＝|（ax2+bx+c）（cx2+bx+a）|的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意得到f（x）≤|cx2+bx+a|，然后利用|cx2+bx+a|＝|cx2﹣c+c+bx+a|进行变形，结合函数y＝bx+a+c的单调性可以求出结果．
【解答】解：因为f（x）＝|（ax2+bx+c）（cx2+bx+a）|＝|ax2+bx+c|•|cx2+bx+a|，
又有|ax2+bx+c|≤1，
所以f（x）≤|cx2+bx+a|＝|cx2﹣c+c+bx+a|≤|c|•|x2﹣1|+|bx+（a+c）|
当x＝0时，可得|c|≤1，
同理当x＝1或x＝﹣1时，可得|a+b+c|≤1，|a﹣b+c|≤1
当x∈[﹣1，1]时，f（x）≤1+|bx+a+c|，
由于h（x）＝bx+a+c是关于x的一次函数，其最大值、最小值在区间端点处取得，
所以|bx+a+c|小于等于|a+b+c|和|a﹣b+c|的较大的一个，
即|bx+a+c|≤1，
所以f（x）≤2，
故选：B．
7．设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1、S2、…、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si＝{ai，bi}，Sj＝{aj，bj}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有min≠min（min{x，y}表示两个数x、y中的较小者）．则k的最大值是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】根据题意，首先分析出M的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对min≠min（min{x，y}表示两个数x、y中的较小者）的把握，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对于M，含2个元素的子集有15个，
但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；
{1，3}、{2，6}只能取一个；
{2，3}、{4，6}只能取一个，
故满足条件的两个元素的集合有11个；
故选：B．
8．若x，a，b均为任意实数，且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（　　）
A．3 B．18 C．3﹣1 D．19﹣6
【分析】由题意可得（a，b）在（﹣2，3）为圆心，1为半径的圆上，（x﹣a）2+（lnx﹣b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，设过切点（m，lnm）的切线与过（﹣2，3）的法线垂直，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程求得切点，圆心和切点的距离d，可得距离的最小值为d﹣r，可得所求值．
【解答】解：（a+2）2+（b﹣3）2＝1，
可得（a，b）在（﹣2，3）为圆心，1为半径r的圆上，
（x﹣a）2+（lnx﹣b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，
设过切点（m，lnm）的切线与过（﹣2，3）的法线垂直，
可得•＝﹣1，
即有lnm+m2+2m＝3，
由f（m）＝lnm+m2+2m在m＞0递增，且f（1）＝3，
可得切点为（1，0），
圆心与切点的距离为d＝＝3，
可得（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（3﹣1）2＝19﹣6，
故选：D．
9．已知函数f（x）＝（x＜﹣1），则（　　）
A．f（x）有最小值4 B．f（x）有最小值﹣4
C．f（x）有最大值4 D．f（x）有最大值﹣4
【分析】先把函数f（x）进行化简得到，结合基本不等式即可求出函数f（x）的最值．
【解答】解：
＝
因为 x＜﹣1，所以 x+1＜0，﹣（x+1）＞0，
所以 ，
当且仅当，即 x＝﹣2 时，等号成立．
故 f（x） 的最小值为 4．
故选：A．
10．已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n＝6，3a+4b＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】将问题转化为求两平行线间的距离，利用公式直接计算得答案．
【解答】解：此题可理解为点A（m，n）与点B（a，b）分别在直线l1：3x+4y＝6与直线l2：3x+4y＝1上，求A、B两点间的距离的最小值，
∵l1∥l2，
∴．
故选：C．
11．函数f（x）＝在区间[0，3]上的最大值为（　　）
A．0 B． C． D．
【分析】f（x）＝，x∈[0，3]，求出导函数，可得其单调性，即得出极值与最值．
【解答】解：f（x）＝，x∈[0，3]．
f′（x）＝，
可得函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减．
可得x＝1时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（1）＝．
故选：B．
12．函数，则f（x）的最大值是（　　）
A．0 B．2 C．1 D．3
【分析】讨论当x＞0时，运用一次函数的单调性，可得f（x）的范围；当x≤0时，求出f（x）的导数，单调区间和极大值，也为最大值，即可得到所求最大值．
【解答】解：当x＞0时，f（x）＝1﹣2x递减，
可得f（x）＜1；
当x≤0时，f（x）＝x3﹣3x，
导数f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
可得x＝﹣1处f（x）取得极大值，且为最大值﹣1+3＝2．
则f（x）的最大值为2．
故选：B．
13．记实数x1，x2，x3，…，xn中的最大数为max{x1，x2，x3，…，xn}，最小数为min{x1，x2，x3，…，xn}，则max{min{6ex，x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}＝（　　）
A． B．4 C．3 D．
【分析】在同一坐标系中作出四个函数y＝6ex，y＝x+1，y＝x2﹣x+1与y＝﹣x+6的图象，数形结合即可得答案．
【解答】解：在同一坐标系中作出四个函数y＝6ex，y＝x+1，y＝x2﹣x+1与y＝﹣x+6的图象如图：

由图可知，y＝min{6ex，x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}的图象为图中实线部分，
则max{min{6ex，x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}＝．
故选：A．
14．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（　　）
A． B．﹣1 C．±1 D．±
【分析】设，解得g（x），h（x）的解析式，通过图象的特点，结合f（x）的最小值为0，可得所求值．
【解答】解：设，所以，
则f（x）＝g（x）+h（x）+|g（x）﹣h（x）|＝，
由于g（x）＝x（x+a）的图象恒过（0，0），（﹣a，0），h（x）的图象为开口向下，
且过（﹣1，0），（1，0）的抛物线，
且f（x）的最小值为0，结合图象可得﹣a＝1或﹣a＝﹣1，即有a＝±1．
故选：C．


15．已知函数y＝x2﹣6|x|+2，a﹣2≤x≤a+2时，函数的最大值为M（a），则M（a）的最值为（　　）
A．2 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣3
【分析】化简y＝x2﹣6|x|+2＝（|x|﹣3）2﹣7，从而作其图象，结合图象分类讨论可得，当a≤﹣3时，M（a）＝（|a﹣2|﹣3）2﹣7＝（a+1）2﹣7；从而可得M（a）有最小值4﹣7＝﹣3，没有最大值；且在其他区间上的最小值都不小于﹣3，从而解得．
【解答】解：y＝x2﹣6|x|+2＝（|x|﹣3）2﹣7，
作其图象如下，
结合图象分类讨论可得，
当区间[a﹣2，a+2]的中点a在x＝﹣3的左侧，
即a≤﹣3时，
M（a）＝（|a﹣2|﹣3）2﹣7＝（a+1）2﹣7；
故M（a）有最小值4﹣7＝﹣3，没有最大值；
结合图象可知，
M（a）的最小值为﹣3，
故选：D．

16．函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥ B．a＞ C．a≤ D．a＜
【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围
【解答】解：函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），
则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，
则3a﹣2＜0，解得a＜，
当a＝时，f（x）＝，在在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2）＝，
综上所述：a≤
故选：C．
二．多选题（共1小题）
17．已知函数f（x）＝ex+e﹣x，给出以下四个结论正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小值为2
C．当f（x）取到最小值时对应的x＝0
D．f（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减
【分析】由函数的定义域即f（﹣x）的解析式可得函数为偶函数，可判断A正确，再由均值不等式可得BC正确，求导，由导函数的正负可得函数的单调区间，判断出D不正确．
【解答】解：A：函数f（x）＝ex+e﹣x的定义域R，所以定义域关于原点对称；
f（﹣x）＝e﹣x+ex＝f（x），所以函数f（x）为偶函数；所以A正确；
B：因为ex＞0，e﹣x＞0，所以f（x）＝ex+e﹣x＝2，当且仅当ex＝e﹣x，即x＝0时取等号，所以B正确；
C：由B的分析可得C正确；
D：f'（x）＝ex﹣e﹣x＝，令f'（x）＝0，可得ex＝1，解得x＝0，
f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，所以D不正确．
故选：ABC．
三．填空题（共14小题）
18．已知函数f（x）＝|x+t|（x∈R），其中表示对于x∈R，当t∈[1，3]时表达式|x+t|的最大值，则f（x）的最小值为　1　
【分析】求得f（t）＝|x+t|，t∈[1，3]的对称轴，讨论对称轴与区间的关系，结合单调性可得最大值f（x），再由一次函数的单调性，可得最小值．
【解答】解：设f（t）＝|x+t|，t∈[1，3]，
可得t＝﹣x为对称轴，
当﹣x≥3，即x≤﹣3，[1，3]为减区间，则f（x）＝﹣1﹣x；
当1＜﹣x＜3即﹣3＜x＜﹣1，
若﹣2≤x＜﹣1，即f（1）≤f（3），可得f（x）＝f（3）＝3+x；
当﹣3＜x＜﹣2，f（1）＞f（3），可得f（x）＝f（1）＝﹣1﹣x；
当﹣x≤1即x≥﹣1时，区间[1，3]为增区间，可得f（x）＝f（3）＝3+x．
则f（x）＝，
当x≤﹣3，f（x）≥3﹣1＝2；
当﹣2≤x＜﹣1时，f（x）≥1；
当﹣3＜x＜﹣2，f（x）＞1；
x≥﹣1时，f（x）≥3﹣1＝2．则f（x）的最小值为1．
故答案为：1．
19．已知函数f（x）＝x|x﹣a|+2x，a∈R，当a＝　0　时，函数f（x）为奇函数；当x∈[0，2]时，f（x）的最大值为6，则a＝　1或3　．
【分析】利用奇函数的定义列式求解a的值即可；分a＜0，0≤a≤2，a＞2三种情况，分别研究分段函数的单调性，求出f（x）的最大值，列式求解a的值即可．
【解答】解：函数f（x）＝x|x﹣a|+2＝，
因为函数f（x）为奇函数，
当x＞a时，﹣x＜﹣a，则f（﹣x）＝﹣x2﹣（2+a）x＝﹣f（x）＝﹣x2﹣（2﹣a）x，
则2+a＝2﹣a，所以a＝0，
同理可得当x＜a时，求得a＝0，
所以当a＝0时，f（x）为奇函数；
①当a＜0时，若x∈[0，2]时，则f（x）＝x2+（2﹣a）x，
其对称轴为，
故函数f（x）在[0，2]上单调递增，
又f（x）的最大值为6，
所以f（x）的最大值为f（2）＝4+2（2﹣a）＝6，解得a＝1（舍）；
②当0≤a≤2时，当x∈[0，a]时，f（x）＝﹣x2+（2+a）x，
其对称轴为，
故f（x）在[0，a]上单调递增，
当x∈（a，2]时，f（x）＝x2+（2﹣a）x，
其对称轴为＜a，
故f（x）在（a，2]上单调递增，
又f（x）的最大值为6，
所以f（x）的最大值为f（2）＝4+2（2﹣a）＝6，解得a＝1；
③当a＞2时，当x∈[0，2]时，则f（x）＝﹣x2+（2+a）x，
其对称轴为＞2，
故f（x）在[0，2]上单调递增，
所以f（x）的最大值为f（2）＝﹣4+2（2+a）＝6，解得a＝3．
综上所述，a的值为1或3．
故答案为：0；1或3．
20．函数，x∈（1，e]的最小值为　　．
【分析】利用换元法，结合对勾函数的单调性的性质，转化求解函数的最小值即可．
【解答】解：令lnx＝t，因为x∈（1，e]，所以t∈（0，1]，
，
令g（t）＝，
由对勾函数的性质易知，g（t）在（0，1]单调递减，
即，
所以函数f（x）在（1，e]上的最小值为．
故答案为：．
21．如图，A，B为某市的两个旅游中心，海岸线l可看做一条直线，且与AB所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以AB为直径的半圆上选定一点P，修建PA，PB，PQ三段公路，其中PQ⊥l，AB＝20km，两平行直线AB与l之间的距离为20km，公路PA和PB段的造价均为6千万元/km，公路PQ段的造价为5千万元/km，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为　222　千万．

【分析】根据题意，设∠PAD＝θ，则0≤θ≤，过点P作PD⊥AB，则P、D、Q三点共线，设这三段公路总造价为y，用θ表示PA、PB和PQ的长，进而可得y＝6×（20sinθ+20cosθ）+5×（20﹣20cosθsinθ）＝120（sinθ+cosθ）+100（1﹣sinθcosθ），设sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ＝，进而可得y＝120t+100（1﹣），结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设∠PAD＝θ，则0≤θ≤，
过点P作PD⊥AB，则P、D、Q三点共线，设这三段公路总造价为y，
又由AB＝20km，则AP＝20cosθkm，BP＝20sinθkm，则PD＝20cosθsinθkm，
又由两平行直线AB与l之间的距离为20km，则PQ＝（20﹣20cosθsinθ）km，
则y＝6×（20sinθ+20cosθ）+5×（20﹣20cosθsinθ）＝120（sinθ+cosθ）+100（1﹣sinθcosθ），
设sinθ+cosθ＝t，则t＝sin（θ+），则有1≤t≤，
则sinθcosθ＝，
则y＝120t+100（1﹣）＝120t+100（）＝﹣50t2+120t+150，1≤t≤，
分析可得：t＝时，y取得最大值，且ymax＝222；
故答案为：222．

22．已知向量、满足||＝1，||＝2，则|+|+|﹣|的最小值是　4　，最大值是　　．
【分析】通过记∠AOB＝α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|＝、|﹣|＝，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
|+|＝，
|﹣|＝，
令x＝，y＝，
则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z＝x+y，则y＝﹣x+z，
则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为zmin＝1+3＝3+1＝4，
当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，
由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，
所以zmax＝×＝．
综上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是．
故答案为：4、．


23．已知实数若x，y满足x＞y＞0，则的取值范围是　（5，+∞）　．
【分析】令＝t∈（0，1），将转化为t的关系式，结合函数的性质求解函数的取值范围即可．
【解答】解：令＝t∈（0，1），
则＝＝1＝1+，
因为t∈（0，1），
所以1﹣t2∈（0，1），
所以＞4，
可得：1+＞5．
则的取值范围是：（5，+∞）．
故答案为：（5，+∞）．
24．函数，x∈（﹣1，1）的最小值是　　．
【分析】利用构造法，通过基本不等式转化求解函数的最值即可．
【解答】解：函数，x∈（﹣1，1），∴，
可知：函数＝（）（1+x+1﹣x）＝（5+）≥（5+）＝．
当且仅当x＝时取等号．
故答案为：．
25．函数的最小值是 　　．
【分析】利用导函数判断单调性即可求解最小值．
【解答】解：函数，（x≠1）
则f′（x）＝，
令f′（x）＝0，
可得x＝﹣1，
其f（﹣1）＝，
当x∈（﹣1，1）时，f（x）单调递增；
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递减；
当x趋近1时，f（x）的值趋近于+∞；当x趋近于+∞，f（x）的值趋近于0；
所以得f（x）的最小值为；
故答案为．
26．设a∈（﹣∞，]，b∈R，g（x）＝ax3﹣x，x∈[﹣1，1]，则g（x）的值域是　[a﹣1，1﹣a]　，函数f（x）＝|g（x）﹣b|在[﹣1，1]的最大值是，则a2+b2的值是　　．
【分析】求出导数g′（x），由已知条件得g′（x）≤0，从而确定g（x）的单调性，得函数g（x）值域，由最大值得恒成立，进一步求出a2+b2．
【解答】解：由题意，g′（x）＝3ax2﹣1，
∵a∈（﹣∞，]，x∈[﹣1，1]，
∴g′（x）＝3ax2﹣1≤0，则g（x）在[﹣1，1]上递减，
∴g（x）max＝g（﹣1）＝1﹣a，g（x）min＝g（1）＝a﹣1，
∴g（x）的值域为[a﹣1，1﹣a]；
函数f（x）＝|g（x）﹣b|在[﹣1，1]的最大值是，即在[﹣1，1]上恒成立，
∴，两式相加，得，
又|﹣a+1﹣b|+|a﹣1﹣b|≥|2a﹣2|，故，解得，
又，∴，
可得，即，
解得，∴b＝0，
∴．
故答案为：[a﹣1，1﹣a]；．
27．已知a，b为正实数，且a+b＝2，则+的最小值为　　．
【分析】由a，b为正实数，且a+b＝2，变形为：＝a++＝++1＝（a+b+1）（+）+1，利用基本不等式的性质即可得出．
另解：由a，b为正实数，且a+b＝2，变形可得＝+a+b﹣1+＝+1＝f（a），0＜a＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：∵a，b为正实数，且a+b＝2，
∴＝a++＝+a+b﹣1+＝++1＝（a+b+1）（+）+1
＝（3++）+1≥（3+2）+1＝．当且仅当a＝6﹣3，b＝3﹣4时取等号．
另解：∵a，b为正实数，且a+b＝2，
∴＝a++＝+a+b﹣1+＝+1＝f（a），0＜a＜2．
f′（a）＝+＝，
令f′（a）＞0，解得，此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0，解得，此时函数f（a）单调递减．
∴当且仅当a＝6﹣3时函数f（a）取得极小值即最小值，
＝．

故答案为：．
28．设函数f（x）＝|x3﹣|x+a|+3|，若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是　　．
【分析】依题意，x3+1≤|x+a|≤x3+5，x∈[﹣1，1]，作出图象，通过数形结合思想得解．
【解答】解：依题意，|x3﹣|x+a|+3|≤2，即x3+1≤|x+a|≤x3+5，x∈[﹣1，1]，
设g（x）＝x3+1，x∈[﹣1，1]，h（x）＝x3+5，x∈[﹣1，1]，则g′（x）＝3x2，h′（x）＝3x2，
如图，分为三种情况：
（1）设切点，则，解得；
（2）设切点，则，解得；
（3）由g（1）＝2，h（﹣1）＝4得，，解得a＝﹣3．
综上所述，实数a所有可能的取值组成的集合是．
故答案为：．

29．已知a＞0，函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则a＝　3或　．
【分析】由题意可得f（0）≤2，求得a的范围，去掉一个绝对值，再由最值的取得在顶点和端点处，计算可得a的值，检验可得a的值．
【解答】解：a＞0，函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，
可得f（0）≤2，即|a﹣3|≤2，解得1≤a≤5，
即有f（x）＝|x2﹣x+a﹣3|，﹣1≤x≤1，
由f（x）的最大值在顶点或端点处取得，
即f（﹣1）＝2，即|a﹣1|＝2，解得a＝3或﹣1（舍去）；
f（1）＝2，即|a﹣3|＝2，解得a＝5或a＝1；
f（）＝2，即|a﹣|＝2，解得a＝或（舍去）．
当a＝1时，f（x）＝|x2﹣x﹣2|，
当x＝时，f（x）＝＞2，不符题意；
当a＝5时，f（x）＝|x2﹣x+2|，显然当x＝﹣1时，取得最大值4，不符题意；
当a＝3时，f（x）＝|x2﹣x|，显然当x＝﹣1时，取得最大值2，符合题意；
当a＝时，f（x）＝|x2﹣x﹣|，f（1）＝，f（﹣1）＝，f（）＝2，符合题意．
故答案为：3或．
30．已知x，y∈[1，3]，x+y＝4，则的最大值为　　．
【分析】求，把x+y＝4代入，然后令t＝xy＝x（4﹣x），t∈[3，4]，化为关于t的函数，再由函数的单调性求最值，开方得答案．
【解答】解：∵x，y∈[1，3]，x+y＝4，
∴
＝（*）
令t＝xy＝x（4﹣x），t∈[3，4]，
则（*）式＝，其在t∈[3，4]上单调递减，
∴当t＝3时，即x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，（*）式取得最大值，
∴的最大值为，
故答案为：．
31．已知函数h（x）＝xlnx与函数g（x）＝kx﹣1的图象在区间上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是　　．
【分析】先将两个函数有两个交点转化为相应的方程xlnx﹣kx+1＝0有两个根，再分离参数转化为在上有两个根，等价于y＝k与y＝有两个不同的交点，然后求导研究出函数y＝的极值与端点值，从而得出实数k的取值范围．
【解答】解：令xlnx﹣kx+1＝0，即，则函数h（x）＝xlnx与函数g（x）＝kx﹣1的图象在区间上有两个不同的交点，等价于在上有两个根，
等价于y＝k与y＝有两个不同的交点，
令，则f'（x）＝＝，令f'（x）＞0，可得1＜x＜e，令f'（x）＜0，可得＜x＜1，
可得f（x）在上单调递减，在[1，e）单调递增，函数的最小值为f（1）＝1，
又f（）＝﹣1+e，f（e）＝1+，故函数的最大值为e﹣1，
故1＜k≤1+，
故答案为：（1，1+]，
四．解答题（共7小题）
32．（1）已知不等式ax2﹣3x+2＜0的解集为A＝{x|1＜x＜b}，求函数f（x）＝（2a+b）x+（x∈A）的最小值．
（2）设＝（1，﹣2），＝（a，﹣1），＝（﹣b，0），a＞0，b＞0，O为坐标原点，设A，B，C三点共线，求+的最小值．
【分析】（1）由题意可得1，b是方程ax2﹣3x+2＝0的两根，运用韦达定理，可得a＝1，b＝2，再由换元法和基本不等式，即可得到最小值16；
（2）由三点共线可得斜率相等，求得2a+b＝1，再由乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：（1）由题意可得1，b是方程ax2﹣3x+2＝0的两根，（a＞0），
可得1+b＝，1•b＝，解得a＝1，b＝2，
函数f（x）＝（2a+b）x+，即为
f（x）＝4x+（1＜x＜2），
令t＝x+1（2＜t＜3），则x＝t﹣1，
函数即为y＝4t+﹣4≥2﹣4＝16，
当且仅当4t＝即t＝，即有x＝时，取得最小值16；
（2）A，B，C三点共线，可得kAB＝kAC，
即为＝，
即有2a+b＝1，a＞0，b＞0，
则+＝（2a+b）（+）＝4++4≥4+4＝8．
当且仅当a＝，b＝时，取得最小值8．
33．已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）（其中a为参数），求F（x）的最大值g（a）．
【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求得函数的定义域；把函数解析式两边平方，求出f2（x）的范围后得函数值域；
（2）令t＝f（x）＝+换元，化为关于t的二次函数，然后结合二次函数的性质分类求得F（x）的最大值g（a）．
【解答】解：（1）由得﹣1≤x≤1．所以函数f（x）定义域为[﹣1，1]．
又，由f（x）≥0得值域为．
（2）因为，
令，则，．
①当a＝0时，m（t）＝t，所以g（a）＝2．
②当a≠0时，
由题意知g（a）记为函数的最大值.是抛物线的对称轴．
当a＞0时，在单调递增，g（a）＝m（2）＝a+2．
当a＜0时，
①t＝﹣∈（0，]，即a≤﹣，则；
②t＝﹣∈（，2），即﹣＜a＜﹣，则g（a）＝m（﹣）＝﹣a﹣；
③t＝﹣∈[2，+∞），即﹣≤a＜0，则g（a）＝m（2）＝a+2，
综上有：．
34．已知函数f（x）＝．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
【分析】（1）用单调性的定义来判断f（x）在[3，5]上的单调性即可；
（2）根据f（x）在[3，5]上的单调性，求出f（x）在[3，5]上的最值．
【解答】解：（1）f（x）在[3，5]上为增函数，
证明：任取x1，x2∈[3，5]，有x1＜x2
∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝
∵x1＜x2
∴x1﹣x2＜0；
又∵x1，x2∈[3，5]，
∴（x1+2）（x2+2）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在[3，5]上的是增函数；
（2）∵f（x）在[3，5]上的是增函数，
∴f（x）在[3，5]上的最大值为f（5）＝＝，
f（x）在[3，5]上的最小值为f（3）＝＝
35．已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．
（Ⅰ）若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，2]上的值域；
（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在[1，a]上的最大值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴，由偶函数的性质分析可得a﹣1＝0，解可得a＝1，即可得函数的解析式，由二次函数的性质分析可得答案；
（Ⅱ）根据题意，由二次函数的性质分析可得a﹣1≥2，则a≥3；分析函数f（x）在区间[1，a]上的单调性，求出并比较f（1）、f（a）的值，即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4，为二次函数，其对称轴为x＝a﹣1，
若f（x）为偶函数，则a﹣1＝0，解可得a＝1；
则f（x）＝x2+4，
又由﹣1≤x≤2，则有4≤f（x）≤8，
即函数f（x）的值域为[4，8]；
（Ⅱ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4，为二次函数，其对称轴为x＝a﹣1，
若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，则a﹣1≥2，则a≥3；
又由1＜a﹣1＜a，则f（x）在区间[1，a﹣1]上递减，在[a﹣1，a]递增，
且f（1）＝7﹣2a，f（a）＝﹣a2+2a+4，
f（1）﹣f（a）＝（7﹣2a）﹣（﹣a2+2a+4）＝a2﹣4a+3＝（a﹣2）2﹣1，
又由a≥3，则f（1）≥f（a），
则f（x）在[1，a]上的最大值为f（1）＝7﹣2a．
36．（1）已知函数y＝logax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，求实数a的值．
（2）当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝x2+2x+1﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．
【分析】（1）通过讨论a的范围，求出函数的最值，得到关于a的方程，解出即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论导函数的符号，得到关于k的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）0＜a＜1时，y＝logax在[1，2]递减，
则loga1﹣loga2＝2，解得：a＝；
a＞1时，y＝logax在[1，2]递增，
则loga2﹣loga1＝2，解得：a＝；
综上：a＝或；
（2）g（x）＝x2+2x+1﹣kx，
g′（x）＝2x+2﹣k，
若g（x）在[﹣2，2]递增，则g′（x）≥0在[﹣2，2]恒成立，
即k≤（2x+2）min＝﹣2，
若g（x）在[﹣2，2]递减，则g′（x）≤0在[﹣2，2]恒成立，
即k≥（2x+2）max＝6，
综上，k≥6或k≤﹣2．
37．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）＝0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，试求k的取值范围；
（3）若a＞0，f（x）为偶函数，实数m，n满足mn＜0，m+n＞0，定义函数F（x）＝，试判断F（m）+F（n）值的正负，并说明理由．
【分析】（1）由已知a﹣b+1＝0，且﹣＝﹣1，解二者联立的方程求出a，b的值即可得到函数的解析式．
（2）将f（x）＞x+k，在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，转化成k＜x2+x+1在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，问题变为求x2+x+1在区间
[﹣3，﹣1]上的最小值问题，求出其最小值，令k 小于其最小值即可解出所求的范围．
（3）f（x）是偶函数，可得b＝0，求得f（x）＝ax2+1，由mn＜0，m+n＞0，可得m、n异号，设m＞0，则n＜0，故可得
m＞﹣n＞0，代入F（m）+F（n），化简成关于m，n的代数式，由上述条件判断其符号即可．
【解答】解：（1）由已知a﹣b+1＝0，且﹣＝﹣1，解得a＝1，b＝2，
∴函数f（x）的解析式是f（x）＝x2+2x+1；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k，即k＜x2+x+1在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，
由于函数y＝x2+x+1在区间[﹣3，﹣1]上是减函数，且其最小值为1，
∴k的取值范围为（﹣∞，1）；
（3）∵f（x）是偶函数，∴b＝0，∴f（x）＝ax2+1，
由mn＜0知m、n异号，不妨设m＞0，则n＜0，又由m+n＞0得m＞﹣n＞0，
F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝am2+1﹣（an2+1）＝a（m2﹣n2），
由m＞﹣n＞0得m2＞n2，又a＞0，得F（m）+F（n）＞0，
∴F（m）+F（n）的值为正．
38．若函数f（x）＝x|x﹣m|+m2，m∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求m的值；
（2）若函数f（x）在x∈[1，2]上是增函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值为7，求实数m的值．
【分析】（1）由奇函数的性质可得f（0）＝0，解方程可得m；
（2）讨论m＜0，m＝0，0＜m＜1，m＝1，1＜m＜2，2≤m＜4，m≥4时，去掉绝对值，结合二次函数的单调性，可得结论；
（3）由（2）的结论，由单调性，可得最小值，解方程即可得到所求m的值．
【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，
∴f（0）＝m2＝0，解得m＝0；
（2）∵f（x）＝，
∵函数f（x）在x∈[1，2]上是增函数，
当m≤0时，f（x）＝x2﹣mx+m2的对称轴为x＝，
由≤1，即f（x）在[1，2]递增；
当0＜m≤1时，f（x）＝x2﹣mx+m2的对称轴为x＝，
由≤1，即f（x）在[1，2]递增；
当1＜m＜2时，f（x）在（1，m）递减，（m，2）递增；
当m≥2时，f（x）＝﹣x2+mx+m2的对称轴为x＝，
若2≤m＜4，可得f（x）在（1，）递增；在（，2）递减；
若m≥4，可得f（x）在（1，2）递增，
综上可得，m的范围是（﹣∞，1]∪[4，+∞）；
（3）由（2）可得m≤1时，f（x）在[1，2]递增，
可得f（1）＝1﹣m+m2＝7，解得m＝﹣2（3舍去），
当1＜m＜2时，f（x）在（1，m）递减，（m，2）递增，
可得f（m）＝m2＝7，解得m＝，不符合条件，舍去；
当2≤m＜4，可得f（x）在（1，）递增；在（，2）递减，
若f（1）＝m﹣1+m2，f（2）＝2（m﹣2）+m2，f（1）﹣f（2）＝3﹣m，
当2≤m≤3，令f（2）＝7，解得m＝2﹣1，成立；
若3＜m＜4，可令f（1）＝7，解得m＝，不符合条件，舍去；
当m≥4，可得f（x）在（1，2）递增，令f（1）＝7，
即m﹣1+m2＝7，解得m＝，不符合条件，舍去．
综上可得m的值为﹣2或2﹣1．