2021年江西省宜春市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年江西省宜春市九年级上学期数学期中试卷含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔  〕
A.       B.       C.       D. 
2. ， 是方程 的两个实数根，那么 的值是(   )
A. 2023                                   B. 2021                                   C. 2021                                   D. 2021
3.在平面直角坐标系中，点G的坐标是 ，连接 ，将线段 绕原点O旋转 ，得到对应线段 ，那么点 的坐标为〔   〕
A.                               B.                               C.                               D. 
4.如图，将 绕点 逆时针旋转70°到 的位置，假设 ，那么 〔   〕

A. 45°                                       B. 40°                                       C. 35°                                       D. 30°
5.将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为〔    〕.
A. ；      B. ；      C. ；      D. .
6.二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a〔a≠0〕，关于此函数的图象及性质，以下结论中不一定成立的是〔  〕
A. 该图象的顶点坐标为〔1，﹣4a〕                                   B. 该图象在x轴上截得的线段的长为4
C. 假设该图象经过点〔﹣2，5〕，那么一定经过点〔4，5〕     D. 当x＞1时，y随x的增大而增大
二、填空题
7.解方程：x〔x﹣2〕＝x﹣2       ．
8.抛物线 的对称轴为直线：       ．
9.中国古代数学家杨辉的?田亩比数乘除减法?中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，那么依题意列方程为________．
10.抛物线y=ax2+bx+c的局部图象如下列图，那么当y＞0时，x的取值范围是________

11.如图，将 的斜边AB绕点A顺时针旋转 得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转 得到AF，连结EF.假设 ， ，且 ，那么 ________.

12.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A〔0，3〕、B〔5，3〕，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α〔0°＜α＜180°〕，假设点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，那么点C的对应点C′的坐标为       ．
三、解答题
13.  
〔1〕解方程：2x2+1＝3x；
〔2〕将二次函数 配方成y＝a〔x﹣h〕2+k的形式．
14.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三点，求这个二次函数的解析式．
15.定义运算：m*n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4*2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．试判断方程1*x＝0的根的情况，并说明理由．
16.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量到达24200个．
〔1〕求口罩日产量的月平均增长率；
〔2〕按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
17.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC, 将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△DEF，点A,B,C的对应点分别是点D,E,F.请仅用无刻度直尺分别在下面图中按要求画出相应的点〔保存画图痕迹〕．

〔1〕如图1，当点O为AC的中点时，画出BC的中点N；
〔2〕如图2， 旋转后点E恰好落在点C,点F落在AC上,点N是BC的中点,画出旋转中心O.
18.关于x的方程 有实数根．
〔1〕求 的取值范围；
〔2〕假设该方程有两个实数根，分别为 和 ，当 时，求 的值．
19.如图，在正方形ABCD内部有一点P，假设∠APD＝135°，探究图中线段PA，PB，PD之间的数量关系．
解法探究：小慧同学通过思考，得到如下解题思路：将△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP'，连接PP'．先证明△APP'是等腰直角三角形，再证明△PP'B是直角三角形，从而可得结论．请先写出小慧同学得出的结论，并在小慧的解题思路的提示下，写出所得结论的理由．

20.抛物线 与 轴有两个不同的交点.
〔1〕求 的取值范围；
〔2〕假设抛物线 经过点 和点 ，试比较 与 的大小，并说明理由.
21.物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营．据了解，该超市每天调运一批本钱价为8元/千克的大蒜，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售大蒜的数量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕之间的关系如下列图．

〔1〕求出每天销售大蒜的数量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕之间的关系式；
〔2〕该超市将大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润可到达318元；
〔3〕求该超市大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润最大，并求出最大利润．
22.如图①，正方形ABCD的边长为4，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α〔0°＜α≤90°〕得到正方形AEFG，连接BE并延长交CF于点O，连接AC，AF．

〔1〕旋转角α与∠OBC的数量关系是________，∠OBC与∠OEF的数量关系是________；
〔2〕猜想：在旋转过程中，OC与OF的数量关系是什么？请证明你的结论；
〔3〕如图②，当α＝45°时，求△BCH的面积．
23.抛物线C1：y1＝x2﹣1﹣2t〔x﹣1〕〔t≠1〕与x轴交于A，B两点〔点A在点B的左侧〕．

〔1〕①填空：当t＝﹣2时，点A的坐标为________，点B的坐标为________；当t＝0时，点A的坐标为________ ，点B的坐标为________；
②随t值的变化，抛物线C1是否会经过某一个定点，假设会，请求出该定点的坐标；假设不会，请说明理由________；
〔2〕假设将抛物线C1经过适当平移后，得到抛物线C2：y2＝〔x﹣t〕2+t﹣1，A，B的对应点分别为D〔m，n〕，E〔m+2，n〕，求抛物线C2的解析式；
〔3〕设抛物线C1的顶点为P，当t＞0，△APB为直角三角形时，求方程x2﹣1﹣2t〔x﹣1〕＝0〔t≠1〕的根________．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。 在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可。
2.【答案】 A
【解析】【解答】 ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ， ，
∴ ；
故答案为：A．

【分析】根据题意即可通过解方程得到a和b的值，将a和b的值代入式子中进行求解即可得到答案。
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：根据题意可得， 与G关于原点对称，
∵点G的坐标是 ，
∴点 的坐标为 .
故答案为：A.
【分析】根据题意可得两个点关于原点对称，即可得到结果.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵ 绕点 逆时针旋转70°到 的位置，
∴ ，
而 ，
∴
故答案为：D．

【分析】根据旋转的性质，得到∠BOD的度数为70°，根据∠AOB的度数，计算得到∠AOD的值即可。
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减〞即可确定平移后的抛物线解析式.
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：y＝a〔x2﹣2x﹣3〕
＝a〔x﹣3〕〔x+1〕
令y＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为〔3，0〕与〔﹣1，0〕，
∴图象在x轴上截得的线段的长为4，故B成立；
∴抛物线的对称轴为：x＝1，
令x＝1代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
∴顶点坐标为〔1，﹣4a〕，故A成立；
由于点〔﹣2，5〕与〔4，5〕关于直线x＝1对称，
∴假设该图象经过点〔﹣2，5〕，那么一定经过点〔4，5〕，故C成立；
当x＞1，a＞0时，y随着x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；
故答案为：D．
【分析】先求出x＝3或x＝﹣1，再利用二次函数的图形与性质对每个选项一一判断即可。
二、填空题
7.【答案】 x1＝2，x2＝1
【解析】【解答】解：
，
，
解得： ， ．
故答案为： ， ．
【分析】利用因式分解法解方程即可。
8.【答案】
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴抛物线对称轴为直线 ．
故答案为： ．
【分析】根据二次函数的解析式求出， ，再计算求解即可。
9.【答案】 x(x+12)=864
【解析】【解答】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，
故答案：x(x+12)=864．
【分析】此题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
10.【答案】 -1＜x＜3
【解析】【解答】解：该函数的对称轴是x=1，那么x轴上与-1对应的点是3
观察图象，当y＞0时，-1＜x＜3.
故答案为：-1＜x＜3.
【分析】首先利用抛物线的对称性找出函数图象与x轴的另一个交点的坐标，求y＞0时x的取值范围就是求x轴上方图象相应的自变量的取值范围.
11.【答案】
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得 ， ，
，且 ，


。
故答案为： 。
【分析】根据旋转的性质得出 ， ，根据直角三角形的两锐角互余及等量代换得出即∠EAF=90°，从而根据勾股定理即可算出EF的长得出答案。
12.【答案】 〔7，4〕或〔5，﹣2〕或〔﹣1，﹣4〕
【解析】【解答】解：因为正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A〔0，3〕、B〔5，3〕，
所以画图如下：

当正方形ABCD绕点A顺时针旋转α〔0°＜α＜180°〕，
①点B的对应点B′恰好落在x轴正半轴上时，如图，
∵AB′＝AB＝5，OA＝3，
∴OB′＝ ＝4，

∵∠AB′O+∠OAB′＝90°，∠AB′O+∠C′B′E＝90°，
∴∠OAB′＝∠C′B′E，
在△AB′O和△EB′C′中，
，
∴△AB′O≌△EB′C′〔AAS〕，
∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，
∴OE＝OB′+B′E＝4+3＝7，
∴点C的对应点C′的坐标为〔7，4〕；
②点B的对应点B′恰好落在y轴负半轴上时，如图，

B′C′＝AB＝BC′＝5，
yC=3-5=-2，xC=AB=5，
∴点C的对应点C′的坐标为〔5，﹣2〕；
③点B的对应点B′恰好落在x轴负半轴上时，如图，

∵∠AB′O+∠OAB′＝90°，∠AB′O+∠C′B′E＝90°，
∴∠OAB′＝∠C′B′E，
在△AB′O和△EB′C′中，
，
△AB′O≌△EB′C′〔AAS〕，
∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，
∴OE＝OB′﹣B′E＝4﹣3＝1，
∴点C的对应点C′的坐标为〔﹣1，﹣4〕；
综上所述：点C的对应点C′的坐标为〔7，4〕或〔5，﹣2〕或〔﹣1，﹣4〕．
故答案为：〔7，4〕或〔5，﹣2〕或〔﹣1，﹣4〕．
【分析】分类讨论，利用旋转的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，计算求解即可。
三、解答题
13.【答案】 〔1〕解：∵2x2﹣3x+1＝0，
∴〔2x﹣1〕〔x﹣1〕＝0，
解得：x1＝ ，x2＝1；

〔2〕解： ，
，
＝ ．
【解析】【分析】〔1〕利用因式分解法解方程即可；
〔2〕将二次函数的一般式配方求解即可。
14.【答案】 解：∵y＝ax2+bx+c的图象经过A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，3〕三点，
∴ ，
解得： ．
因此，这个二次函数的解析式是y＝﹣x2+2x+3．
【解析】【分析】利用待定系数法求函数解析式即可。
15.【答案】 解：有两个不相等的实数根．理由如下：
∵1*x=0，
∴x2-x-1=0，
∴a=1，b=-1，c=-1，
∴△=b2-4ac=1-4×1×〔-1〕=5＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
【解析】【分析】先求出 x2-x-1=0， 再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
16.【答案】 〔1〕解：设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000〔1＋x〕2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1〔不合题意舍去〕，
∴x＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；

〔2〕解：依据题意可得：
24200〔1＋10%〕＝24200×1.1＝26620〔个〕，
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
【解析】【分析】〔1〕设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．〔2〕利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×〔1＋增长率〕即可得出答案．
17.【答案】 〔1〕解：如图1，点N即BC的中点


〔2〕解：如图2，点O即旋转中心.

【解析】【分析】〔1〕根据题意作图即可；
〔2〕根据旋转的性质作图即可。
18.【答案】 〔1〕解：当 时，方程是一元一次方程，有实根符合题意，
当 时，方程是一元二次方程，由题意得
，
解得： ，
综上， 的取值范围是 ；

〔2〕解： 和 是方程 的两根，
， ，
，
，
解得 ，
经检验： 是分式方程的解，且 ，
答： 的值为 .
【解析】【分析】(1)根据方程有实数根，可分为k=0与k≠0两种情况分别进行讨论即可得；(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，由此可得关于k的方程，解方程即可得.
19.【答案】 解：结论：2PA2+PD2＝PB2 ．
理由如下：如图，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP'，连接PP'，那么P'B＝PD，P'A＝PA，∠PAP'＝90°，
∴△APP'是等腰直角三角形，
由勾股定理PP'2＝PA2+P'A2＝2PA2 ， ∠PP'A＝45°．
∵∠APD＝135°，
∴∠AP'B＝∠APD＝135°，
∴∠PP'B＝135°﹣45°＝90°．
在Rt△PP'B中，由勾股定理得，PP'2+P'B2＝PB2 ，
∴2PA2+PD2＝PB2 ．

【解析】【分析】先求出 △APP'是等腰直角三角形， 再求出 ∠PP'B＝135°﹣45°＝90° ，最后利用勾股定理求解即可。
20.【答案】 〔1〕解： .
由题意，得 ，
∴
∴ 的取值范围是 .

〔2〕解： . 理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线 ，
又∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大.
∵ ，∴ .
【解析】【分析】〔1〕根据题意求出16-8c＞0，再求解即可；
〔2〕先求出 当  时，  随  的增大而增大 ，再求解即可。
21.【答案】 〔1〕解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将〔9，110〕，〔10，108〕代入，得 ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+128〔8≤x≤12〕

〔2〕解：根据题意得：〔x﹣8〕y＝〔x﹣8〕〔﹣2x+128〕＝318，
解得：x＝11或61〔舍去〕，
∴x＝11．
即：超市将大蒜销售单价定为11元时，每天销售大蒜的利润可到达318元；

〔3〕解：设每天的销售利润为W〔元〕，那么：
W＝〔x﹣8〕y，
＝〔x﹣8〕〔﹣2x+128〕，
＝﹣2〔x﹣8〕〔x﹣64〕，
∵a＝﹣2＜0，
∴当 即x＜36时，W随x的增大而增大，
∵8≤x≤12，
∴当x＝12时，W取得最大值，最大值为416．
答：当超市大蒜销售单价定为12元时，每天销售大蒜的利润最大，最大利润是416元．
【解析】【分析】〔1〕利用待定系数法求函数解析式即可；
〔2〕根据题意求出 〔x﹣8〕y＝〔x﹣8〕〔﹣2x+128〕＝318， 再求解即可；
〔3〕先求出W ＝﹣2〔x﹣8〕〔x﹣64〕， 再根据函数的性质求解即可。
22.【答案】 〔1〕α＝2∠OBC；∠OBC＝∠OEF
〔2〕解：OC＝OF，
理由如下：如图①，过点F作FM⊥BO交BO的延长线于M，过点C作CN⊥BO于N，

在△BCN和△EFM中，
，
∴△BCN≌△EFM〔AAS〕，
∴NC＝FM，
在△OCN和△OFM中，
，
∴△OCN≌△OFM〔AAS〕，
∴OC＝OF；

〔3〕解：当α＝45°时，AF与AD在同一条直线上，

∵正方形的边长为4，
∴AF＝ 4 ，
∴DF＝4 ﹣4，
∴△CDF的面积＝ ×DF×CD＝8 ﹣8，
∵AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝∠ACD＝45°，
∴∠ABE＝∠ACF＝67.5°，
∴∠OBC＝90°﹣∠ABE＝22.5°，∠DCF＝∠ACF﹣45°＝22.5°．
∴∠OBC＝∠DCF．
在△BCH和△CDF中，
，
∴△BCH≌△CDF〔ASA〕，
∴△BCH的面积＝△CDF的面积＝8 ﹣8．
【解析】【解答】解：〔1〕如图，作AK⊥BE于K，
 

∴∠ABK+∠BAK＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABK+∠OBC＝90°，
∴∠BAK＝∠OBC，
由旋转的性质可知，AB＝AE，
∵AK⊥BE，∠ABE＝∠AEB，
∴∠BAK＝ α，
∴α＝2∠OBC，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠OEF＝90°，
∴∠OBC＝∠OEF，
故答案为：α＝2∠OBC，∠OBC＝∠OEF；
【分析】〔1〕先求出∠BAK＝∠OBC，再求出∠BAK＝ α，最后求解即可；
〔2〕利用AAS证明 △BCN≌△EFM ，再求出 △OCN≌△OFM ，最后求解即可；
〔3〕利用勾股定理、三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质求解即可。
23.【答案】 〔1〕〔﹣5，0〕；〔1，0〕；〔﹣1，0〕；〔1，0〕；会．由x﹣1＝0得x＝1，代入得y1＝0， ∴抛物线C1会经过一个定点，定点为〔1，0〕．
〔2〕解：由x2﹣1﹣2t〔x﹣1〕＝0得x1＝1，x2＝2t﹣1，
∴AB＝|〔2t﹣1〕﹣1|＝|2t﹣2|，
∵A，B的对应点分别为D〔m，n〕，E〔m+2，n〕，
∴AB＝DE＝m+2﹣m＝2，
|2t﹣2|＝2，
解得t＝0或t＝2．
∴抛物线C2的解析式为：y＝x2﹣1或y＝〔x﹣2〕2+1．

〔3〕x＝1或x＝5
【解析】【解答】解：〔1〕解：①当t＝﹣2时，抛物线y＝x2+4x﹣5，
 
令y＝0，得到x2+4x﹣5＝0，
∴x＝﹣5或1，
∴A〔﹣5，0〕，B〔1，0〕．
当t＝0时，抛物线的解析式为y＝x2﹣1，
令y＝0，得到x2﹣1＝0，
∴x＝1或﹣1，
∴A〔﹣1，0〕，B〔1，0〕．
 
〔3〕∵抛物线C1：y＝〔x﹣t〕2﹣〔t﹣1〕2 ，

∴顶点P为〔t，﹣〔t﹣1〕2〕，
∵△APB为直角三角形，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∴〔t﹣1〕2＝ |2t﹣2|，
解得，t＝3或﹣1，
∵t＞0，
∴t＝3，
∴方程为：x2﹣6x+5＝0，
∴方程的根为：x＝1或5．
故答案为：x＝1或x＝5．
【分析】〔1〕根据二次函数的解析式，列方程计算求解即可；
〔2〕根据题意求出 AB＝DE＝m+2﹣m＝2， 再求出 |2t﹣2|＝2， 最后计算求解即可；
〔3〕先求出△PAB是等腰直角三角形，再求出〔t﹣1〕2＝ |2t﹣2|，最后计算求解即可。