2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之一次函数的综合应用

这是一份2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之一次函数的综合应用，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之一次函数的综合应用
一、选择题（共8小题）
1．（2021•陆川县模拟）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　）

A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x
2．（2021秋•雨城区校级期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t
（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了30分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有320米
其中正确的结论有（　　）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．（2021秋•修武县期中）一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一个城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论：
①摩托车比汽车晚到1h；
②A、B两地的路程为20km；
③摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为60km/h；
④汽车出发1h后与摩托车相遇，此时距B地40km．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021秋•市北区期中）首条贯通丝绸之路经济带的高铁线进入全线拉通试验阶段，试运行期间，一列动车匀速从西安开往西宁，一列普通列车匀速从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法：①西宁到西安两地相距1000千米，两车出发后3小时相遇；②普通列车到达终点共需12小时；③普通列车的速度是千米/小时；④动车的速度是250千米/小时，其中正确的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．0
5．（2021秋•南部县校级期中）如图四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均为正方形．点A1，A2，A3和点C1，C2，C3分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，点B3的坐标是（，），则k+b＝（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．3.5
6．（2021•玉林模拟）如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．6﹣ D．3﹣1
7．（2015•重庆）今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（　　）

A．小明中途休息用了20分钟
B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C．小明在上述过程中所走的路程为6600米
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
8．（2015•南安市校级质检）如图是某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，则下列结论中正确的共有（　　）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
（4）当通话时间为170分钟时，A方案与B方案的费用相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共4小题）
9．（2021•浙江自主招生）如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是　 　．

10．（2021秋•南岸区校级期中）甲骑自行车从A地到B地，甲出发1分钟后乙骑平衡车从A地沿同一条路线追甲，追上甲时，平衡车电量刚好耗尽，乙立即手推平衡车返回A地，速度变为原速度的，甲继续向B地骑行，结果甲、乙同时到达各自的目的地并停止行进，整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的部分关系如图所示，则A，B两地相距的路程为　 　米．

11．（2021春•沙坪坝区校级期中）一辆客车和一辆货车沿着同一条线路以各自的速度匀速从甲地行驶到乙地，货车出发3小时后客车再出发，客车行驶一段时间后追上货车并继续向乙地行驶，客车到达乙地休息1小时后以原速按原路匀速返回甲地，途中与货车相遇．客车和货车之间的距离y（千米）与客车出发的时间x（小时）之间的关系的部分图象如图所示．当客车返回与货车相遇时，客车与甲地相距　 　千米．

12．（2021春•方城县期中）星期天晚饭后，小红从家里出去散步，如图描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用时间t（min）之间的函数关系，依据图象，下面描述中符合小红散步情景的有　 　（填序号）
①从家里出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段然后回家了
②小红家距离公共阅报栏300m
③从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
④小红本次散步共用时18min

三、解答题（共8小题）
13．（2021秋•瑶海区期中）如图，某花园护栏是由若干个直径50cm的半圆形条钢组合而成，且每增加一个半圆条钢，护栏长度就增加acm，设半圆形条钢为x个，护栏总长度为ycm．
（1）若a＝30cm．
①当x＝4时，y＝　 　cm；
②写出y与x的函数关系式为　 　；
（2）若护栏的总长度不变，当a＝30时，用了n个半圆形条钢；当a＝20时，用了（n+k）个半圆形条钢，求n，k之间满足的关系式（其中n，k均为正整数）．

14．（2021秋•沭阳县校级期中）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在x轴的正半轴上，OA边在直线y＝x上，AB边在直线y＝﹣x+2上．
（1）直接写出：线段OA＝　 　，∠AOC＝　 　；
（2）在对角线OB上有一动点P，以O为圆心，OP为半径画弧MN，分别交菱形的边OA、OC于点M、N，作⊙Q与边AB、BC、弧MN都相切，⊙Q分别与边AB、BC相切于点D、E，设⊙Q的半径为r，OP的长为y，求y与r之间的函数关系式，并写出自变量r的取值范围；
（3）若以O为圆心、OA长为半径作扇形OAC，请问在菱形OABC中，在除去扇形OAC后的剩余部分内，是否可以截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥，若可以，求出这个圆的半径，若不可以，说明理由．

15．（2021秋•成都期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣3，0）、B（0，3）两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C（0，1）为y轴上一点，D为x轴上一点，直线AB上是否存在点E，使得以点D、E、C、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）P、Q是直线AB上的一条动线段，（P在Q的下方）且PQ＝2，点M（，2）、N（，1），连接MQ、PN，是否存在最大值，若存在，求出这个值，若不存在，请说明理由．

16．（2021秋•岑溪市期中）公安人员在破案时常根据案发现场作案人员留下的脚印推断犯人的身高，如果用a（cm）表示脚印长，b（cm）表示身高，其关系类似于b＝7a+3.04．某次案件侦破中，抓获了两个可疑人员，甲的身高为1.87m，乙的身高为1.75m，犯罪现场留下的脚印经测量长为26.3cm，请你帮助侦察一下，哪个可疑人员的可能性更大？
17．（2021春•天心区校级期中）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求点H到x轴的距离；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

18．（2021春•浦东新区期中）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．根据图中信息：
（1）求线段AB所在直线的函数解析式；
（2）可求得甲乙两地之间的距离为　 　千米；
（3）已知两车相遇时快车走了180千米，则快车从甲地到达乙地所需时间为　 　小时．

19．（2021•竞秀区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的解析式为：y＝kx+x﹣k+1，若将直线l绕A点旋转．如图所示，当直线l旋转到l1位置时，k＝2且l1与y轴交于点B，与x轴交于点C；当直线l旋转到l2位置时，k＝﹣且l2与y轴交于点D
（1）求点A的坐标；
（2）直接写出B、C、D三点的坐标，连接CD计算△ADC的面积；
（3）已知坐标平面内一点E，其坐标满足条件E（a，a），当点E与点A距离最小时，直接写出a的值．

20．（2013•南宁）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地之间的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．


2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之一次函数的综合应用
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1．（2021•陆川县模拟）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　）

A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x
【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边分别是4，
∴三角形ABO面积是5，
∴OB•AB＝5，
∴AB＝，
∴OC＝，
由此可知直线l经过（，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝k，
k＝，
∴直线l解析式为y＝x，
故选：C．

【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．
2．（2021秋•雨城区校级期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t
（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了30分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有320米
其中正确的结论有（　　）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；一次函数及其应用．
【答案】B
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4＝60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故②正确，
乙追上甲用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故③错误，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3．（2021秋•修武县期中）一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一个城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论：
①摩托车比汽车晚到1h；
②A、B两地的路程为20km；
③摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为60km/h；
④汽车出发1h后与摩托车相遇，此时距B地40km．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【答案】C
【分析】根据题意和图象中的数据，可以判断各个小题是否正确，本题得以解决．
【解答】解：摩托车比汽车晚到：4﹣3＝1h，故①正确，
A、B两地的路程为20km，故②正确，
摩托车的速度为（180﹣20）÷4＝40km/h，汽车的速度为180÷3＝60km/h，故③错误，
设汽车出x小时与摩托车相遇，则60x＝20+40x，得x＝1，此时距离B地40×1＝40km，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
4．（2021秋•市北区期中）首条贯通丝绸之路经济带的高铁线进入全线拉通试验阶段，试运行期间，一列动车匀速从西安开往西宁，一列普通列车匀速从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法：①西宁到西安两地相距1000千米，两车出发后3小时相遇；②普通列车到达终点共需12小时；③普通列车的速度是千米/小时；④动车的速度是250千米/小时，其中正确的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．0
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【答案】C
【分析】由x＝0时y＝1000及x＝3时y＝0的实际意义可得答案；根据x＝12时的实际意义可得，由速度＝路程÷时间，可得答案；设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列出3小时行驶的路程＝1000”列方程求解可得；
【解答】解：①由x＝0时，y＝1000知，西宁到西安两地相距1000千米，由x＝3时，y＝0知，两车出发后3小时相遇，正确；
②由图象知x＝t时，动车到达西宁，
∴x＝12时，普通列车到达西安，
即普通列车到达终点共需12小时，正确；
③普通列车的速度是千米/小时，正确；
④设动车的速度为x千米/小时，
根据题意，得：3x+3×＝1000，
解得：x＝250，
动车的速度为250千米/小时，正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键．
5．（2021秋•南部县校级期中）如图四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均为正方形．点A1，A2，A3和点C1，C2，C3分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，点B3的坐标是（，），则k+b＝（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．3.5
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【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】首先设C1的坐标为（a，0），由四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均为正方形，点B3的坐标是（，），可求得A3的坐标是（，），易证得△A2A1B1∽△A3A2B2，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得a的值，又由点A1，A2，A3在直线y＝kx+b（k＞0）上，利用待定系数法即可求得k与b的值，继而求得答案．
【解答】解：设C1的坐标为（a，0），
∵四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均为正方形，点B3的坐标是（，），
∴A3的坐标是：（﹣，），即（，），
∴A1B1＝a，A2B2＝﹣a，A2B1＝﹣a﹣a＝﹣2a，A3B2＝﹣（﹣a）＝a﹣，
∵A3在直线y＝kx+b（k＞0）上，
∴k+b＝①，
∵A2C1∥A3C2，
∴∠A2A1B1＝∠A3A2B2，
∵∠A2B1A1＝∠A3B2A2＝90°，
∴△A2A1B1∽△A3A2B2，
∴，
∴，
整理得：4a2﹣29a+25＝0，
解得：a＝（舍去），a＝1，
∴点A1（0，1），
∴b＝1②，
把②代入①得：k＝0.5，
∴k+b＝1.5．
故选：B．
【点评】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
6．（2021•玉林模拟）如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．6﹣ D．3﹣1
【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【答案】B
【分析】由P在直线y＝﹣x+6上，设P（m，6﹣m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在直角三角形OPQ中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵P在直线y＝﹣x+6上，
∴设P坐标为（m，6﹣m），
连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2＝PQ2+OQ2，
∴PQ2＝m2+（6﹣m）2﹣2＝2m2﹣12m+34＝2（m﹣3）2+16，
则当m＝3时，切线长PQ的最小值为4．
故选：B．

【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：切线的性质，勾股定理，配方法的应用，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
7．（2015•重庆）今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（　　）

A．小明中途休息用了20分钟
B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C．小明在上述过程中所走的路程为6600米
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
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【答案】C
【分析】根据函数图象可知，小明40分钟爬山2800米，40～60分钟休息，60～100分钟爬山（3800﹣2800）米，爬山的总路程为3800米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可．
【解答】解：A、根据图象可知，在40～60分钟，路程没有发生变化，所以小明中途休息的时间为：60﹣40＝20分钟，故正确；
B、根据图象可知，当t＝40时，s＝2800，所以小明休息前爬山的平均速度为：2800÷40＝70（米/分钟），故B正确；
C、根据图象可知，小明在上述过程中所走的路程为3800米，故错误；
D、小明休息后的爬山的平均速度为：（3800﹣2800）÷（100﹣60）＝25（米/分），小明休息前爬山的平均速度为：2800÷40＝70（米/分钟），
70＞25，所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故正确；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，获取信息，进行解决问题．
8．（2015•南安市校级质检）如图是某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，则下列结论中正确的共有（　　）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
（4）当通话时间为170分钟时，A方案与B方案的费用相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据图象知道：在通话170分钟收费一样，在通话120时A收费30元，B收费50元，其中A超过120分钟后每分钟加收0.4元，B超过200分钟加收每分钟0.4元，由此即可确定有几个正确．
【解答】解：依题意得
A：（1）当0≤x≤120，yA＝30，
（2）当x＞120，yA＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
B：（1）当0≤x＜200，yB＝50，
当x＞200，yB＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确；
当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确；
当y＝60时，A：60＝0.4x﹣18，∴x＝195，
B：60＝0.4x﹣30，∴x＝225，故（3）正确；
当A方案与B方案的费用相等，通话时间为170分钟，故（4）正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象和性质，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题．
二、填空题（共4小题）
9．（2021•浙江自主招生）如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是　　．

【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】过点C作CD⊥AB于D，延长DC交⊙C于另一点P′，此时△P′AB的面积最大，将x＝0、y＝0代入y＝x﹣3中求出与之相对应的y、x的值，进而可得出点A、B的坐标，由∠ABO＝∠CBD、∠AOB＝∠CDB＝90°即可证出△AOB∽△CDB，再根据相似三角形的性质求出CD的长度，将其+1即可得出DP′的长度，利用三角形的面积公式即可求出△PAB面积的最大值．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，延长DC交⊙C于另一点P′，连接P′A、P′B，此时△P′AB的面积最大，如图所示．
当x＝0时，y＝﹣3，
∴点B（0，﹣3）；
当y＝x﹣3＝0时，x＝4，
∴点A（4，0）．
∵点C（0，1），
∴BC＝1﹣（﹣3）＝4，AO＝4，BO＝3，AB＝＝5．
∵∠ABO＝∠CBD，∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴△AOB∽△CDB，
∴，
∴CD＝＝，
∴DP′＝CD+CP′＝+1＝．
∴S△P′AB＝AB•P′D＝×5×＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，找出△PAB面积取最大值时点P的位置是解题的关键．本题属于中档题，难度不大，利用相似三角形的性质或者面积法求出CD的长度是解决此题的突破点．
10．（2021秋•南岸区校级期中）甲骑自行车从A地到B地，甲出发1分钟后乙骑平衡车从A地沿同一条路线追甲，追上甲时，平衡车电量刚好耗尽，乙立即手推平衡车返回A地，速度变为原速度的，甲继续向B地骑行，结果甲、乙同时到达各自的目的地并停止行进，整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的部分关系如图所示，则A，B两地相距的路程为　2040　米．

【考点】一次函数的应用；两点间的距离．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，可知甲出发1分钟后甲、乙两人相距120米，由此求出甲骑自行车的速度为120米/分．再根据甲出发3.5分钟时，两人相距45米，求出乙的速度，然后求出乙追上甲的时间，乙返回的时间，进而求出A，B两地相距的路程．
【解答】解：由图可知，甲骑自行车的速度为120米/分．
设乙的速度为v米/分，则有（3.5﹣1）（v﹣120）＝120﹣45，
解得v＝150．
设乙用x分钟追上了甲，则有（150﹣120）x＝120，
解得x＝4．
乙追上甲行驶的路程为：150×4＝600（米），
乙返回的速度为150×＝50（米/分），
乙返回的时间：＝12（分），
A，B两地相距的路程为120×（1+4+12）＝2040（米）．
故答案为2040．
【点评】本题考查了一次函数的应用，路程、速度与时间的关系，以及追击问题的相等关系．求出甲的速度是本题的突破口，得到乙的速度是本题的关键．
11．（2021春•沙坪坝区校级期中）一辆客车和一辆货车沿着同一条线路以各自的速度匀速从甲地行驶到乙地，货车出发3小时后客车再出发，客车行驶一段时间后追上货车并继续向乙地行驶，客车到达乙地休息1小时后以原速按原路匀速返回甲地，途中与货车相遇．客车和货车之间的距离y（千米）与客车出发的时间x（小时）之间的关系的部分图象如图所示．当客车返回与货车相遇时，客车与甲地相距　2160　千米．

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【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意和函数图象可以求得客车和货车的速度，根据图象可知客车19个小时到达乙地，从而可以求得甲乙两地的距离，再根据题意即可求得当客车返回与货车相遇时，客车与甲地的距离．
【解答】解：设货车的速度为a千米/小时，客车的速度为b千米/小时，
则3a＝270，（3+9）a＝9b，得a＝90，b＝120，
∴甲乙两地的距离为19×120＝2280，
设客车返回与货车相遇时的时刻为t小时，
则90（t+3）+（t﹣19﹣1）×120＝2280，
解得，t＝21，
∴当客车返回与货车相遇时，客车与甲地的距离为：2280﹣120×（21﹣19﹣1）＝2160千米，
故答案为：2160．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
12．（2021春•方城县期中）星期天晚饭后，小红从家里出去散步，如图描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用时间t（min）之间的函数关系，依据图象，下面描述中符合小红散步情景的有　①②④　（填序号）
①从家里出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段然后回家了
②小红家距离公共阅报栏300m
③从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
④小红本次散步共用时18min

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【专题】函数及其图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】由图象可得①②④正确
【解答】解：由图象可得小红从家4分钟后到公共阅报栏，6分钟后继续前进2分钟，然后回家，所花时间为18分钟
∴①②④正确
故答案为①②④
【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是理解一次函数图象的点表示的意义．
三、解答题（共8小题）
13．（2021秋•瑶海区期中）如图，某花园护栏是由若干个直径50cm的半圆形条钢组合而成，且每增加一个半圆条钢，护栏长度就增加acm，设半圆形条钢为x个，护栏总长度为ycm．
（1）若a＝30cm．
①当x＝4时，y＝　50+3a　cm；
②写出y与x的函数关系式为　y＝50+a（x﹣1）　；
（2）若护栏的总长度不变，当a＝30时，用了n个半圆形条钢；当a＝20时，用了（n+k）个半圆形条钢，求n，k之间满足的关系式（其中n，k均为正整数）．

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【专题】常规题型；方程思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）（2）①由图可以直接列出关系式，②给定的条件为两个常数，直接代入x、y关系式即可求解．
【解答】（1）①x＝4时，y＝50+3a，
故答案为：50+3a；
②由题意得：y＝50+a（x﹣1），
故答案为：y＝50+a（x﹣1）；
（2）由题意得：
a＝30时，x＝n；当a＝20时，x＝n+k
将上述a、x分别代入方程y＝50+a（x﹣1）得：
化简得：n＝2k+1．
答：n，k之间满足的关系式为n＝2k+1．
【点评】此题为一次函数的应用，列出表达式后，把条件代入即可求解．
14．（2021秋•沭阳县校级期中）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在x轴的正半轴上，OA边在直线y＝x上，AB边在直线y＝﹣x+2上．
（1）直接写出：线段OA＝　2　，∠AOC＝　60°　；
（2）在对角线OB上有一动点P，以O为圆心，OP为半径画弧MN，分别交菱形的边OA、OC于点M、N，作⊙Q与边AB、BC、弧MN都相切，⊙Q分别与边AB、BC相切于点D、E，设⊙Q的半径为r，OP的长为y，求y与r之间的函数关系式，并写出自变量r的取值范围；
（3）若以O为圆心、OA长为半径作扇形OAC，请问在菱形OABC中，在除去扇形OAC后的剩余部分内，是否可以截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥，若可以，求出这个圆的半径，若不可以，说明理由．

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【专题】代数几何综合题；数形结合；待定系数法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）令y＝﹣x+2＝0，则x＝2，即：OB＝2，AO＝＝＝＝2，即可求解；
（2）OABC是菱形，故：点Q在OB上，在Rt△QDB中，∠QBD＝30°，则：QB＝2QD＝2r，即y+3r＝2，y＝2﹣3r，其中；
（3）可以．理由：弧AC的长为，设截下的⊙G符合条件，其半径为R，则2πR＝，则R＝，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝﹣x+2＝0，则x＝2，即：OB＝2，
由直线y＝x和AB直线y＝﹣x+2的表达式知，∠AOB＝∠ABO＝30°，
AO＝＝＝＝2，
∠AOC＝2∠AOB＝60°，
故：答案为2，60°；
（2）连接QD、QE，则QD⊥AB，QE⊥BC，

由（1）知：O（0，0），A（，1），B（2，0），C（，﹣1），
∵QD＝QE，∴点Q在∠ABC的平分线上，
又∵OABC是菱形，∴点Q在OB上．
∴⊙Q与弧MN相切于点P，
在Rt△QDB中，∠QBD＝30°，
∴QB＝2QD＝2r，
∴y+3r＝2，
y＝2﹣3r，
其中
（3）可以，
理由：弧AC的长为．
设截下的⊙G符合条件，其半径为R，
则2πR＝，
∴R＝，
由（2）知，此时OA＝y＝2，
则⊙Q的半径r＝，
∴能截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到解三角形、菱形的基本性质、圆的基本知识等，是一道代数几何综合性的题目，难度适中．
15．（2021秋•成都期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣3，0）、B（0，3）两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C（0，1）为y轴上一点，D为x轴上一点，直线AB上是否存在点E，使得以点D、E、C、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）P、Q是直线AB上的一条动线段，（P在Q的下方）且PQ＝2，点M（，2）、N（，1），连接MQ、PN，是否存在最大值，若存在，求出这个值，若不存在，请说明理由．

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【专题】压轴题；数形结合；分类讨论；创新意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把点A、B坐标代入一次函数表达式即可求解；
（2）分BC为平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解解；
（3）作点C关于直线AB的对称点H，连接HN交直线AB于点P，连接CP，过点M作MQ∥PC交直线AB于点Q，则此时PN+QM最小，即可求解．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式：y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式：y＝x+3；

（2）①当BC为平行四边形的边时，
则ED＝BC，则y＝x+3＝±2，
解得：x＝﹣或﹣5，
故点E（﹣，2）或（﹣5，﹣2）；
②当BC是平行四边形的对角线时，
设点D（m，0），点N（n，n），
由中点坐标公式得：n+3＝3+1，
解得：n＝，
故点E（，4），
综上，点E（﹣，2）或（﹣5，﹣2）或E（，4）；

（3）作点C关于直线AB的对称点H，交AB于点S，连接HN交AB于点P，连接PC、CM、CN、MN，

过点M作MQ∥PC交直线AB于点Q，则此时PN+QM最小，
∵PQ是定值，则最大，
在△CNM中，MN＝1，CN＝，则∠MCN＝30°，CM＝2，
则CM∥PQ，CM＝PQ，
故四边形CMQP为平行四边形，故QM＝PC，
则MQ+PN＝PC+PN＝HN，过点H作HK⊥y轴于点K，
在△SCB中，BC＝2，则SC＝BCsin60°＝，则HC＝2，
则点H的坐标为（﹣，4），点N（，1），
则HN＝，QP＝2，
则最大值为：．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到点的对称性、平行四边形性质、解直角三角形等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
16．（2021秋•岑溪市期中）公安人员在破案时常根据案发现场作案人员留下的脚印推断犯人的身高，如果用a（cm）表示脚印长，b（cm）表示身高，其关系类似于b＝7a+3.04．某次案件侦破中，抓获了两个可疑人员，甲的身高为1.87m，乙的身高为1.75m，犯罪现场留下的脚印经测量长为26.3cm，请你帮助侦察一下，哪个可疑人员的可能性更大？
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【答案】见试题解答内容
【分析】将b＝187代入b＝7a+3.04中得出a的值，再将b＝175代入b＝7a+3.04中得出a的值，进而得出答案即可．
【解答】解：方法一：将b＝187代入b＝7a+3.04中得：
187＝7a+3.04，
a＝26.28，
将b＝175代入b＝7a+3.04中得
175＝7a+3.04，
a≈24.57，
由于26.28更接近于26.3，所以甲嫌疑的可能性更大．

方法二：当a＝26.3cm时，b＝7a+3.04
＝7×26.3+3.04，
＝187.14（cm）≈1.87（m），
所以甲嫌疑的可能性更大．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据已知将b的值代入求出是解题关键．
17．（2021春•天心区校级期中）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求点H到x轴的距离；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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【专题】压轴题；一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，故BC＝1，OC＝3，即点C（0，3）、点A（﹣1，0），则点B（﹣1，3），点D（3，0），即可求解；
（2）直线OE的表达式为：y＝x，联立直线OE和BD的函数表达式，即可求解；
（3）分当FD是矩形的一条边、FD是矩形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，
故BC＝1，OC＝3，即点C（0，3）、点A（﹣1，0），
则点B（﹣1，3），点D（3，0），点E（3，1），
将B、D点的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线BD的表达式为：y＝﹣x+…①；

（2）同理可得：直线OE的表达式为：y＝x…②，
联立①②并解得：y＝，
即点H到x轴的距离为：；

（3）直线BD的表达式为：y＝﹣x+，则点F（0，），
①当FD是矩形的一条边时，
当点M在x轴上时，

∵MF⊥BD，则直线MF的表达式为：y＝x+，
当y＝0，x＝﹣，即点M（﹣，0），
点F向右平移3个单位向下平移单位得到D，
则点M向右平移3个单位向下平移单位得到N，
则点N（，﹣）；
当点M在y轴上时，
同理可得：点N（﹣3，﹣）；
②当FD是矩形的对角线时，
此时点M在原点O，则点N（3，）；
综上，点N的坐标为：（，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到图象的平移知识、矩形的基本性质、解一元二次方程等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
18．（2021春•浦东新区期中）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．根据图中信息：
（1）求线段AB所在直线的函数解析式；
（2）可求得甲乙两地之间的距离为　280　千米；
（3）已知两车相遇时快车走了180千米，则快车从甲地到达乙地所需时间为　　小时．

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【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段AB所在直线的函数解析式；
（2）根据函数图象可以求得和（1）中的函数解析式即可解答本题；
（3）根据题意可以得到快车的速度，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设线段AB所对的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即线段AB所在直线的函数解析式为y＝﹣140x+280；
（2）当x＝0时，y＝﹣140×0+280＝280，
故答案为：280；
（3）由题意可得，
快车的速度为：180÷2＝90千米/小时，
则快车从甲地到达乙地所需时间为：280÷90＝（小时），
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
19．（2021•竞秀区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的解析式为：y＝kx+x﹣k+1，若将直线l绕A点旋转．如图所示，当直线l旋转到l1位置时，k＝2且l1与y轴交于点B，与x轴交于点C；当直线l旋转到l2位置时，k＝﹣且l2与y轴交于点D
（1）求点A的坐标；
（2）直接写出B、C、D三点的坐标，连接CD计算△ADC的面积；
（3）已知坐标平面内一点E，其坐标满足条件E（a，a），当点E与点A距离最小时，直接写出a的值．

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【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将k＝和k＝﹣代入直线的解析式，得到关于x、y的方程组，然后解方程组可求得点A的坐标；
（2）连接DC．先求得点B、C、D的坐标，然后依据S△ADC＝S△ADB﹣S△BDC求解即可；
（3）过点A作直线y＝x的垂线垂足为E，过点A作AF∥y轴，过点E作EG⊥AF，垂足为G．先求得AF的值，然后由△AEF为等腰直角三角形，从而可求得点E的坐标，故此可得到a的值．
【解答】解：（1）当k＝2时，y＝3x﹣1，
当k＝﹣时，y＝x+．
解方程组，得：，
∴A点的坐标为（1，2）．
（2）连接DC．

将x＝0代入y＝3x﹣1得：y＝﹣1，
∴B（0，﹣1）．
将y＝0代入y＝3x﹣1得：3x﹣1＝0，解得：x＝．
∴C（，0）．
将x＝0代入y＝x+得：y＝，
∴D（0，）．
∴BD＝，OC＝．
∴S△ADC＝S△ADB﹣S△BDC＝××1﹣×＝．
（3）∵E（a，a），
∴点E在直线y＝x上．
如图所示：过点A作直线y＝x的垂线垂足为E，过点A作AF∥y轴，过点E作EG⊥AF，垂足为G．

将x＝1代入y＝x得：y＝1，
∴AF＝2﹣1＝1．
∵点E在直线y＝x上，
∴∠AFE＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
∵EG⊥AF，
∴AG＝FG＝，
∴E的纵坐标＝1+＝．
∴a＝．
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了方程与函数的关系，等腰直角三角形的性质，得到当点AE取得最小值的条件是解题的关键．
20．（2013•南宁）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地之间的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．

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【答案】见试题解答内容
【分析】（1）x＝0时甲的y值即为A、B两地的距离；
（2）根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程即可得到点M的坐标以及实际意义；
（3）分相遇前和相遇后两种情况求出x的值，再求出最后两人都到达B地前两人相距3千米的时间，然后写出两个取值范围即可．
【解答】解：（1）x＝0时，甲距离B地30千米，
所以，A、B两地的距离为30千米；

（2）由图可知，甲的速度：30÷2＝15千米/时，
乙的速度：30÷1＝30千米/时，
30÷（15+30）＝，
×30＝20千米，
所以，点M的坐标为（，20），表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米；

（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，
①若是相遇前，则15x+30x＝30﹣3，
解得x＝，
②若是相遇后，则15x+30x＝30+3，
解得x＝，
③若是到达B地前，则15x﹣30（x﹣1）＝3，
解得x＝，
所以，当≤x≤或≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，难点在于（3）要分情况讨论．

考点卡片
1．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
2．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
3．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离