专题12 空间向量与立体几何 专项练习-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

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专题十二  《空间向量与立体几何》专项练习一．选择题（共8小题）1．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，则异面直线AC1与CD1所成角的余弦值为（　　）A． B． C． D．2．如图，已知圆柱OO1的轴截面是边长为2的正方形，A1，B1，C1是圆O1的三等分点，BB1∥AA1∥OO1，那么异面直线AC1与OB所成角的大小为（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°3．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB+BC＝4．BB1＝3，∠ABC＝90°．当三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积最大时．其外接球球的表面积为（　　）A． B．17π C． D．4．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（　　）（容器壁的厚度忽略不计）A．36π B．40π C．41π D．44π5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，AD＝2，，点Q为正方形ABCD所在平面内的一个动点，且满足．则线段BQ的长度的最大值是（　　）A．2    B．4    C．6    D．前三个答案都不对6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20π，则三棱柱的体积为（　　）A．6 B．12 C．12 D．187．已知在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为（　　）A． B． C． D．8．底面为正方形的四棱锥S﹣ABCD，且SD⊥平面ABCD，SD，AB＝1，线段SB上一M点满足，N为线段CD的中点，P为四棱锥S﹣ABCD表面上一点，且DM⊥PN，则点P形成的轨迹的长度为（　　）A． B． C． D．2二．多选题（共4小题）9．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的是（　　）A．若m∥β，n∥β，m，n⊂α，则α∥β B．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n C．若m⊥α，α⊥β，α∩β＝n，那么m∥n D．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，那么m∥n10．如图，在棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论正确的有（　　）A．PD∥平面OMN B．平面PCD∥平面OMN C．直线PD与直线MN所成角的大小为90° D．ON⊥PB11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的有（　　）A．平面PB1D⊥平面ACD1 B．A1P∥平面ACD1 C．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是（0，] D．三棱锥D1﹣APC的体积不变12．如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点P，得到如图2所示的三棱锥P﹣DEF．则下列结论正确的是（　　）A．PD⊥EF B．平面PDE⊥平面PDF C．二面角P﹣EF﹣D的余弦值为 D．点P到平面DEF的距离为三．填空题（共4小题）13．在所有棱长都相等的三棱锥P﹣ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个命题：①BC∥平面PDF；②DF∥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PDF⊥平面PAE，其中正确命题的序号为　   　．14．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB的长分别为1，3，正广AD长为2，PD⊥平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为　 　；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为　 　．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝2，P是棱DD1上的动点，则△PA1C的面积最小值是　                　．16．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为　            　．四．解答题（共6小题）17．如图，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥平面ABD，BC＝4，E，F分别为AC，DC的中点，G为线段AD上的一个动点．（Ⅰ）当G为线段AD中点时，证明：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）判断三棱锥E﹣BGF的体积是否为定值？（若是，需求出该定值；若不是，需说明理由．）     18．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝2，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中点．（1）求证：BE⊥平面PAD；（2）求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．    19．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC＝6；如图2，将图1中△DAC沿AC折起，使得点D在面ABC上的正投影G在△ABC内部，点E为AB的中点，连接DB，DE，三棱锥D一ABC的体积为12．对于图2的几何体：（1）求证：DE⊥AC；（2）求DB与面DAC所成角的余弦值．      20．如图所示，半圆弧所在平面与平面ABCD垂直，且M是上异于A，D的点，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2CD＝2BC．（1）求证：AM⊥平面BDM；（2）若M为AD的中点，求二面角B﹣MC﹣D的余弦值．         21．如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．      22．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．