2020-2021学年河南省南阳市高三（上）期终质量评估数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高三（上）期终质量评估数学（理）试卷北师大版，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设全集U=R，集合A=x|xcB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

5. 函数fx=x2+1sin2x,−π≤x≤π的图像可能是( )
A.B.
C.D.

6. 已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点Px0,2，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则|OP|等于( )
A.22B.23C.4D.25

7. 已知球面上A、B、C三点，O是球心．如果AB=BC=AC=3，且球的体积为2053π，则三棱锥O−ABC的体积为( )
A.1B.3C.32D.2

8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a ，b，c，若sinB+2sinAcsC=0，则csB的最小值为( )
A.2B.3C.32D.33

9. 记函数gx=ex−e−x+sinx，若不等式g2x+a+gx2−1>0对∀x∈−1,1恒成立，则a的取值范围为( )
A.[2,+∞）B.2,+∞C.−2,+∞D.[−2,+∞）

10. 先将函数fx=sinωxω>0的图象向左平移π2个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数gx的图象，若方程fx=gx有实根，则ω的值可以为( )
A.12B.1C.2D.4

11. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形x2+y2=4．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：
①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12 ；
②当a=−32时，直线y=ax+2a与白色部分有公共点；
③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点x,y，则x+y的最大值为2+1；
④若点P0,1，MN为圆x2+y2=4过点P的直径，线段AB是圆x2+y2=4所有过点P的弦中最短的弦，则AM→−BN→⋅AB→的值为12．
其中所有正确结论的序号是( )
A.①③B.③④C.①③④D.①②④

12. 已知A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF→⋅AC→=0，且AF→=14AC→，则该双曲线的离心率为( )
A.52B.23C.103D.102
二、填空题

已知实数x，y满足约束条件 x+y−2≥0,x−y+2≥0,x≤1, 则z=3x+2y的最小值为________.

随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，已知P(ξ2.
【解答】
解：由题设得g−x=e−x−ex−sinx=−g(x)，
所以g(x)为奇函数，
当x∈−1,1时，y=ex，y=−e−x，y=sinx都为增函数，
所以g(x)=ex−e−x+sinx在−1,1上为增函数，
则g2x+a+gx2−1>0等价于g(2x+a)>g(1−x2)，
即2x+a>1−x2，
所以a>−x2−2x+1=−x+12+2恒成立，
因为x∈[−1,1]，
所以当x=−1时，−x2−2x+1max=2，
所以a>2.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的图象
【解析】
由题意利用函数y=Asinωx+φ的图象变换规律，求得gx的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】
解：先将函数fx=sinωxω>0的图象向左平移π2个单位长度，可得y=sin[ω(x+π2)]=sinωx+ωπ2的图象；
再向上平移2个单位长度后得到函数gx=sinωx+ωπ2+2的图象，
若方程fx=gx有实根，即sinωx=sinωx+ωπ2+2能成立．
当ω=12时，方程即sinx2=sinx2+π4+2，它不会成立．
当ω=1时，方程即sinx=sinx+π2+2，它不会成立．
当ω=2时，方程即sin2x=sin2x+π+2=−sin2x+2，即sin2x=1，它能成立；
当ω=4时，方程即sin4x=sin4x+2π+2=sin4x+2，它不会成立．
故选C．
11.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
点到直线的距离公式
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①由对称性知黑色阴影部分和白色部分面积相等，因此在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12，故①正确；
对于②，当a=−32时，
直线y=ax+2a=ax+2=−32x+2=−32x−3，
过点−2,0,0,−3 ，
∴ 直线y=ax+2a与白色部分在第一和第四象限部分没有公共点．
圆x2+y+12=1的圆心为0,−1，半径为1，
圆心A0,−1到直线y=−32x−3，
即直线3x+2y+6=0的距离为|0+2×(−1)+6|32+22=413>1=r ，
∴ 直线y=ax+2a与白色部分在第三象限的部分没有公共点，
综上，直线y=ax+2a与白色部分没有公共点，故②错误；
③∵黑色阴影区域在y轴右侧部分的方程为x2+(y−1)2=1(x≥0)，
点(x, y)在半圆x2+(y−1)2=1(x≥0)上，
设x=csθ，y=1+sinθ，θ∈[−π2, π2]，
x+y=csθ+sinθ+1=2sin(θ+π4)+1，
由θ∈[−π2, π2]得θ+π4∈[−π4, 3π4]，
∴θ+π4=π2时，x+y取得最大值为2×1+1=2+1，故③正确；
④点P0,1，MN为圆x2+y2=4过点P的直径，
若M(0,2)，则N(0,−2).
线段AB是圆x2+y2=4所有过点P的弦中最短的弦，
当AB⊥y轴时，过点P的弦最短，
x2+y2=4，令y=1，则x=±3，
若A(−3,1)，则B(3,1)，
AM→=(3,1)，BN→=(−3,−3)，AB→=(23,0)，
AM→−BN→=(23,4)，
∴ AM→−BN→⋅AB→=12，故④正确.
即正确结论的序号是①③④.
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的定义
双曲线的离心率
【解析】
如上图，因为对角线互相平分且BF⊥AC，所以四边形AFBF1为矩形，可得△ACF1和△AFF1均为直角三角形，然后利用双曲线的定义和勾股定理，即可构造出齐次等式，进而即可求出该双曲线的离心率.
【解答】
解：如图，因为对角线互相平分且BF⊥AC，所以四边形AFBF1为矩形，
设|AF|=m，则AF1=2a+m，
又由AF→=14AC→，可得3AF=|CF|，
所以|FC|=3m ，|AC|=4m，CF1=3m+2a，
在Rt△ACF1中，2a+m2+4m2=3m+2a2，
得m=a，所以BF=|AF1|=3a，
又因为在Rt△AFF1中，|AF1|2+|AF|2=|FF1|2，
即3a2+a2=2c2，得5a2=2c2，
所以离心率e=ca=102.
故选D.
二、填空题
【答案】
4
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
首先画出可行域，关键目标函数的几何意义求最小值．
【解答】
解：由约束条件得到可行域（阴影部分），如图：
z=3x+2y变形为y=−32x+12z，
当此直线经过图中点A0,2时，在y轴上的截距最小，z最小，
所以z的最小值为3×0+2×2=4．
故答案为：4．
【答案】
0.7
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
随机变量c服从正态分布N1,a2，…曲线关于x=对称，
Pξ0 ,
b3⋅b5=b42=1256,
∴b4=116=b1q3=12q3 ,
∴q=12,
∴bn=12×12n−1=12n.
(2) 证明：由(1)知 cn=anbn=n⋅12n ,
Tn=1×12+2×122+3×123+⋯+n−12n−1+n2n ①，
12Tn=1×122+2×123+…+n−12n+n2n+1②，
①−②得12Tn=12+122+123+…+12n−n2n+1
=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−12n−n2n+1.
∴Tn=2−2+n2n ,
∴Tn0)，则E(1, −1, a)，
CA→=(2, 2, 0)，CP→=(0, 0, 2a)，CE→=(1, −1, a)．
取m→=(1, −1, 0)，
则m→⋅CA→=m→⋅CP→=0，
m→为平面PAC的法向量，
设n→=(x, y, z)为平面EAC的法向量，
则n→⋅CA→=n→⋅CE→=0，
即x+y=0，x−y+az=0，
取x=a，y=−a，z=−2，
则n→=(a, −a, −2)，
依题意，|cs|
=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=aa2+2=63，
则a=2．
于是n→=(2, −2, −2)，PA→=(2, 2, −4)，
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ=|cs|
=|PA→⋅n→||PA→|⋅|n→|=23，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23．
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
(Ⅰ)证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．
(Ⅱ)如图，以点C为原点，DA→，CD→，CP→分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通过二面角P−AC−E的余弦值为63，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可．
【解答】
(1)证明：∵ PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴ AC⊥PC．
∵ AB=4，AD=CD=2，
∴ AC=BC=22．
∴ AC2+BC2=AB2，
∴ AC⊥BC．
又BC∩PC=C，
∴ AC⊥平面PBC．
∵ AC⊂平面EAC，
∴ 平面EAC⊥平面PBC．
(2)解：如图，以点C为原点，DA→，CD→，CP→分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则C(0, 0, 0)，A(2, 2, 0)，B(2, −2, 0)．
设P(0, 0, 2a)(a>0)，则E(1, −1, a)，
CA→=(2, 2, 0)，CP→=(0, 0, 2a)，CE→=(1, −1, a)．
取m→=(1, −1, 0)，
则m→⋅CA→=m→⋅CP→=0，
m→为平面PAC的法向量，
设n→=(x, y, z)为平面EAC的法向量，
则n→⋅CA→=n→⋅CE→=0，
即x+y=0，x−y+az=0，
取x=a，y=−a，z=−2，
则n→=(a, −a, −2)，
依题意，|cs|
=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=aa2+2=63，
则a=2．
于是n→=(2, −2, −2)，PA→=(2, 2, −4)，
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ=|cs|
=|PA→⋅n→||PA→|⋅|n→|=23，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23．
【答案】
解：(1)设动点Px,y，则M−4,y，
由F1−1,0，则PF1→=−1−x,−y，PM→=−4−x,0，
∵ 2PF1→−PM→⋅2PF1→+PM→=0，
∴ 4|PF1→|2=|PM→|2，
∴ 4x+12+4y2=x+42，化简得：x24+y23=1．
∴ 所求曲线C的方程为x24+y23=1．
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，不妨令y1>0，y20恒成立，
则ft=3t+1t在[1,+∞)上单调递增，
∴ ft≥f1=4，即ft的最小值为4．
∴ S△F1AB≤3，即当t=1时，S△F1AB的面积最大为3，
此时，△F1AB的内切圆的最大半径为R=34，
所以，△F1AB的内切圆的面积取得最大值为S=πR2=9π16，
故直线n的方程为x=1，△F1AB的内切圆的面积最大值为9π16．
【考点】
轨迹方程
椭圆的标准方程
圆锥曲线的轨迹问题
直线与椭圆结合的最值问题
三角形的面积公式
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设动点Px,y，则M−4,y，
由F1−1,0，则PF1→=−1−x,−y，PM→=−4−x,0，
∵ 2PF1→−PM→⋅2PF1→+PM→=0，
∴ 4|PF1→|2=|PM→|2，
∴ 4x+12+4y2=x+42，化简得：x24+y23=1．
∴ 所求曲线C的方程为x24+y23=1．
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，不妨令y1>0，y20恒成立，
则ft=3t+1t在[1,+∞)上单调递增，
∴ ft≥f1=4，即ft的最小值为4．
∴ S△F1AB≤3，即当t=1时，S△F1AB的面积最大为3，
此时，△F1AB的内切圆的最大半径为R=34，
所以，△F1AB的内切圆的面积取得最大值为S=πR2=9π16，
故直线n的方程为x=1，△F1AB的内切圆的面积最大值为9π16．
【答案】
(1)解：由题意知，函数fx的定义域为0,+∞，
由已知得f′x=6x+6−a−ax
=6x2+6−ax−ax=6x−ax+1x，
当a≤0时，f′x>0，函数fx在0,+∞单调递增，
所以函数fx的单调递增区间为0,+∞；
当a>0时，由f′x>0，得x>a6，由f′x0即可．
令ℎx=ex−lnx−2，
则ℎ′x=ex−1x，可知函数ℎ′x在0,+∞单调递增，
而ℎ′13=e13−30，
所以方程ℎ′x=0在0,+∞上存在唯一实根x0，即ex0=1x0，
当x∈0,x0时，ℎ′x0，函数ℎx单调递增；
所以ℎxmin=ℎx0=ex0−lnx0−2，
由ex0=1x0可知x0=−lnx0，
所以ℎxmin=ℎx0=1x0+x0−2>0，
即ex−lnx−2>0在0,+∞上恒成立，
所以对任意x>0，fx+ex>3x2+5x+2成立．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：由题意知，函数fx的定义域为0,+∞，
由已知得f′x=6x+6−a−ax
=6x2+6−ax−ax=6x−ax+1x，
当a≤0时，f′x>0，函数fx在0,+∞单调递增，
所以函数fx的单调递增区间为0,+∞；
当a>0时，由f′x>0，得x>a6，由f′x0即可．
令ℎx=ex−lnx−2，
则ℎ′x=ex−1x，可知函数ℎ′x在0,+∞单调递增，
而ℎ′13=e13−30，
所以方程ℎ′x=0在0,+∞上存在唯一实根x0，即ex0=1x0，
当x∈0,x0时，ℎ′x0，函数ℎx单调递增；
所以ℎxmin=ℎx0=ex0−lnx0−2，
由ex0=1x0可知x0=−lnx0，
所以ℎxmin=ℎx0=1x0+x0−2>0，
即ex−lnx−2>0在0,+∞上恒成立，
所以对任意x>0，fx+ex>3x2+5x+2成立．
【答案】
解：(1)X的可能值为1和k+1，
PX=1=1−pk，PX=k+1=1−1−pk，
所以随机变量X的分布列为：
所以EX=1×1−pk+k+1×[1−1−pk]
=k+1−k1−pk.
(2)①设方案一总费用为Z，方案二总费用为Y，
则Y=aX+54a，
所以方案二总费用的数学期望为：
EY=aEX+54a=ak+1−k1−pk+54a，
又k=5，
所以EY=a6−51−p5+54a=−5a1−p5+294a，
又方案一的总费用为Z=5a，
所以Z−EY=a⋅51−p5−94，
当00，
f10=ln10−107−2ln3−ln2=1.5−107>0，
f11=ln11−117−2ln3−ln2=1.6−117>0，
f12=ln12−127−2ln3−ln2
=4ln2−ln3−127=1.7−1270，
f11=ln11−117−2ln3−ln2=1.6−117>0，
f12=ln12−127−2ln3−ln2
=4ln2−ln3−127=1.7−127