2022版新高考数学人教版一轮课件：第5章 第4讲 数列求和

这是一份2022版新高考数学人教版一轮课件：第5章 第4讲 数列求和，共60页。PPT课件主要包含了第四讲数列求和，n2＋3n＋1等内容，欢迎下载使用。

1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点二　分组求和法一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和．知识点三　倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
知识点四　错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．知识点五　裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
知识点六　并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和．如{an}是等差数列，求数列{(－1)nan}的前n项和，可用并项求和法求解．形如an＝(－1)nf(n)类型，可考虑采用两项合并求解．
6．(2020·课标Ⅰ，16,5分)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝____.[解析]　令n＝2k(k∈N*)，则有a2k＋2＋a2k＝6k－1(k∈N*)，∴a2＋a4＝5，a6＋a8＝17，a10＋a12＝29，a14＋a16＝41，∴前16项的所有偶数项和S偶＝5＋17＋29＋41＝92，∴前16项的所有奇数项和S奇＝540－92＝448，令n＝2k－1(k∈N*)，则有a2k＋1－a2k－1＝6k－4(k∈N*)．
(2)因为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，所以S15＝(1－5)＋(9－13)＋…＋(49－53)＋57＝(－4)×7＋57＝29，S22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44，S31＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(113－117)＋121＝－4×15＋121＝61，所以S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变．在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{an}的通项公式，达到求解的目的．(1)直接考查裂项相消法求和．解决此类问题应注意以下两点：①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和．第二步：(乘公比)设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对齐，然后两边同时作差．第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出Tn.
用错位相减法求和应注意的问题(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．(3)“Sn－qSn”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是n－1项，一般是n－1项．(4)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解．
〔变式训练3〕(1)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝_________________________.(2)(2020·课标Ⅰ，17,12分)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．①求{an}的公比；②若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
倒序相加法应用的条件与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解．
[解析]　解法一：设第n个图有宝石an颗，则a1＝6，a2＝6＋5＋4×1，a3＝a2＋5＋4×2＝6＋2×5＋(1＋2)×4，a4＝a3＋5＋4×3＝6＋3×5＋(1＋2＋3)×4，a5＝a4＋5＋4×4＝6＋4×5＋(1＋2＋3＋4)×4＝66，……，an＝6＋(n－1)·5＋(1＋2＋3＋…＋(n－1))·4＝2n2＋3n＋1.
解法二：设第n个图有an颗宝石，则a1＝6，an－an－1＝5＋4(n－1)，即an－an－1＝4n＋1，∴an－1－an－2＝4(n－1)＋1……a2－a1＝4×2＋1，a1＝6累加得an＝4(1＋2＋…＋n)＋n＋1＝2n(n＋1)＋n＋1＝2n2＋3n＋1.
逐项研究是解决问题的基本方法．
〔变式训练5〕小时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2 019时对应的指头是_______.(各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)．