人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时课后复习题

8.6.3 平面与平面垂直

第1课时 平面与平面垂直的判定

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1．在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（    ）个

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】如图

在长方体中，侧棱与底面都是垂直的，所以侧面与底面ABCD垂直.

平面、平面、平面、平面均与平面ABCD垂直.

故选：D

2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是（    ）

A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定

【答案】D

【解析】如图所示，在正方体中，二面角与二面角的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，

所以这两个二面角不一定相等或互补.

例如：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是，所以这两个二面角不一定相等或互补.

3．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的个数是（    ）

①面面②面面

③面面④面面

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】证明：对于①,因为底面为正方形

所以

由题意可知平面

所以,

而

所以平面

又因为平面

所以平面平面,所以①正确;

对于②,因为

故由①可得平面,

而平面

所以平面平面,所以②正确

③④错误,不垂直.

综上可知,正确的为①②

故选：B

4．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　)

A．60°    B．120°

C．60°或120°    D．不确定

【答案】C

【解析】∠EPF=60°就是两个平面α和β的法向量的夹角，
它与二面角的平面角相等或互补，
故二面角的平面角的大小为60°或120°．
故选：C．

5．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（　　）

①AC∥平面BEF；

②B、C、E、F四点可能共面；

③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；

④平面BCE与平面BEF可能垂直

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

对①，在图②中，连接交于点，取中点，连接MO，易证AOMF为平行四边形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正确；

对②，如果B、C、E、F四点共面，则由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；

对③，在梯形ADEF中，由平面几何知识易得EFFD，又EFCF，∴EF平面CDF，

即有CDEF，∴CD平面ADEF，则平面ADEF平面ABCD，故③正确；

对④，在图②中，延长AF至G，使得AF=FG，连接BG，EG，易得平面BCE平面ABF，BCEG四点共面．过F作FNBG于N，则FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，

则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．

故选：C．

6．设α，β是空间内两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．

【答案】①③④⇒②

【解析】将①③④作为条件，

因为所以 或，

又因为 ，所以

故①③④⇒②；

7．如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上异于点A,,直线PA垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点有以下四个命题：

①∥平面；

②∥平面；

③平面；

④平面平面．

其中正确的命题的序号是______．

【答案】①④

【解析】对①,因为为的中点,故为三角形的中位线,故∥平面.

故①正确.

对②,因为平面,故②错误.

对③,因为,故不会垂直于,故不垂直于平面.故③错误

对④, 因为,面,故.又.

故平面,又平面,故平面平面.故④正确.

故答案为①④

8．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，

E是CD的中点，PA底面ABCD，．

（I）证明：平面PBE平面PAB；

（II）求二面角A—BE—P和的大小．

【答案】（I）同解析（II）二面角的大小为

【解析】（I）如图所示, 连结由是菱形且知，

△BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以

又所以

又因为PA平面ABCD，平面ABCD，

所以而因此平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB, 所以

又所以是二面角的平面角．

在Rt△PAB中,．

故二面角的大小为

能力提升

9．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为1，则二面角的平面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由已知可得AD⊥DC

又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD

在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角

∵EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）

∴cos∠BEF=

故选C．

10．如图所示，正方形的边长为，已知，将△ABE沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：①与所成角的正切值为；②AB//CE；③；④平面平面，其中正确的命题序号为___________．

【答案】③④

【解析】

作出折叠后的几何体直观图如图所示：

∵AB=a,BE=a,∴AE=a.

∴.

∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，

在Rt△ABC中, ,故①不正确；

连结BD，CE，则CE⊥BD，

又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，

∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，

∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，

∴CE⊥AB.故②错误．

三棱锥B−ACE的体积.

故③正确．

∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，

∴BC⊥AD，又BC⊥CD，

∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ACD.

故答案为③④．

11．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求证：

（1）平面；

（2）平面平面；

（3）二面角的平面角的大小.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】（1），.

.

同理可证.

平面.

（2）由（1）知平面，平面，.

∵四边形是正方形，.

又，平面.

又平面，∴平面平面.

（3）由（1）知平面，平面，.

又，平面.

平面，.

为二面角的平面角.

在中，.

∴二面角的平面角的大小为45°.

素养达成

12．如图，矩形所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，是CD上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

【答案】（1）证明见解析.（2）存在，理由见解析.

【解析】（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．

因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．

又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．

而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．

证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．

连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．

MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．