2020-2021学年湖南省常德市高二（上）11月段考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省常德市高二（上）11月段考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若a，b为非零实数，且a0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为( )
A.1617B.41717C.45D.255

3. 下列函数中，最小值为4的是( )
A.y=x+4xB.y=sinx+4sinx(00，y>0，且2x+1y=1，若x+2y>m2−2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.(−2, 1)B.(1, 2)C.(2, 4)D.(−2, 4)

7. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120∘的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则|AF||BF|的值等于( )
A.13B.23C.34D.43

8. 直线y=kx+1与椭圆x24+y2=1相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k=( )
A.−2B.−1C.−12D.1

9. 已知椭圆C :x216+y212=1 的左、右焦点分别为 F1， F2 ，点P在椭圆上且异于长轴端点.点 M，N在 △PF1F2 所围区域之外,且始终满足 MP→⋅MF1→=0,NP→⋅NF2→=0，则 |MN| 的最大值为( )
A.6B.8C.12D.14

10. 若a>1，设函数f(x)=ax+x−4的零点为m，g(x)=lgax+x−4的零点为n，则1m+1n的取值范围是( )
A.(72,+∞)B.(92,+∞)C.(1, +∞)D.(4, +∞)
二、多选题

以下说法正确的有( )
A.命题“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定为“∃x∉R，x2+x+1≤0“
B.设a>0，b>1，若a+b=2，则3a+1b−1的最小值为4+23
C.设a>0，b>0，且a+b=1，则a+b有最大值2
D.已知−10，则不等式fx≥0的解集是________.

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过原点的直线与双曲线C相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AF|=6,|BF|=8,∠AFB=π2，则该双曲线的离心率为________.

设O为坐标原点，F1，F2是x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60∘，|OP|=7a，则该双曲线的离心率为________.
四、解答题

设命题p：实数x满足x2−2ax−3a20，命题q：实数x满足|x−3|0，求1a+4b的最小值；

(3)若对∀x∈1,4, fx≥−a−1恒成立，求实数a的取值范围．

椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点与抛物线y2=43x的焦点重合，短轴的一个端点与两焦点围成的三角形面积为3.
(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点0,4的直线l与椭圆C交于A，B两点，且坐标原点O在以AB为直径的圆上，求直线l的斜率．

已知P为圆F1:x+32+y2=16上一动点，点F2坐标为3,0，线段F2P的垂直平分线交直线F1P于点Q．
(1)求点Q的轨迹C方程；

(2)已知B0,−1，过点0,2作与y轴不重合的直线1交轨迹C于E，F两点，直线BE，BF分别与x轴交于M，N两点．试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由．

如图，已知点E(m,0)(m>0)为抛物线y2=4x内的一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点.

(1)若m=1，k1k2=−1，求△EMN面积的最小值；

(2)若k1+k2=1，求证：直线MN过定点.

平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是32，抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P(x0, y0)是E上的动点，且位于第一象限，
E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
(i)求证：点M在定直线上；
(ii)直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省常德市高二（上）11月段考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
A．取a=−3，b=−2，即可判断出正误；
B．令f(x)=x3，(x∈R)，利用导数研究其单调性即可判断出正误
C．取a=−2，b=1，即可判断出正误；
D．取c=0，即可判断出正误．
【解答】
解：A，取a=−3，b=−2，不成立；
B，正确；
C，取a=−2，b=−1，不成立；
D，取c=0，不成立．
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
抛物线的性质
【解析】
先求出抛物线的焦点坐标，依据条件列出比例式，得到c、b间的关系，从而求离心率．
【解答】
解：∵ c+b2c−b2=53，a2−b2=c2，c=2b，
∴5c2=4a2，
∴e=ca=25=255．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由基本不等式的使用范围和取等号的条件逐个选项验证可得．
【解答】
解：对于①y=x+4x，若x为负数显然不成立，故错误；
对于②y=sinx+4sinx需当sinx=2时才可取到等号，而当002≤0，解出k的范围即可．
【解答】
解：y=kx2−6x+k+8的定义域R，
则不等式kx2−6x+k+8≥0的解集为R，
当k=0，显然不合题意，
则k>0，Δ=36−4kk+8≤0，
解得k≥1，
k的取值范围是[1,+∞).
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
函数恒成立问题
基本不等式及其应用
【解析】
先把x+2y转化为(x+2y)(2x+1y)展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y>m2−2m求得m2−2m0，
∴ x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy≥4+24=8，
当且仅当x=2y时成立.
∵ x+2y>m2+2m恒成立，
∴ m2−2m1，a+b=2，则a+b−1=1，
则3a+1b−1=3a+1b−1a+b−1=3+3b−1a+ab−1+1，
=3b−1a+ab−1+4≥23+4，当且仅当3(b−1)a=ab−1时取等号，
则3a+1b−1的最小值为4+23，故B正确；
C，由a+b2≥a+b22可得：a+b≤2，当且仅当a=b时取等号，
则a=b的最大值为2，故C正确；
D，设2x−3y=λx+y+μx−y=λ+μx+λ−μy，对应系数相等，
则λ+μ=2，λ−μ=−3，解得λ=−12，μ=52，
从而2x−3y=−12x+y+52x−y∈3,8，故D错误.
故选BC.
【答案】
C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
圆锥曲线的综合问题
【解析】
本题对于A选项通过举特殊例子进行说明，B选项双曲线的性质进行求解，C选项考查点差法的运用，D选项考查椭圆的性质
【解答】
解：A，当x=3，23=80满足x>0，x>4或x≤2⇒x>4或0