专题03导数及其应用（选择题、填空题）——三年（2019-2021）高考数学（文）真题分项汇编（解析版）

这是一份专题03导数及其应用（选择题、填空题）——三年（2019-2021）高考数学（文）真题分项汇编（解析版），共14页。试卷主要包含了【2021年全国高考乙卷数学等内容，欢迎下载使用。
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
2．【2021年全国新高考Ⅰ卷数学】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
3．【2021年天津高考数学】设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】
最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y=2sinx+csx在点(π，-1)处的切线方程为
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
则在点处的切线方程为，
即．
故选C．
【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
5．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A． B．a=e，b=1
C． D．，
【答案】D
【解析】∵
∴切线的斜率，，
将代入，得.
故选D．
【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.
6．【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则
A．a0
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1−a，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：
∴b1−a＜0且−b＞013(a+1)3−12(a+1)(a+1)2−b＜0，
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞−16（a+1）3，
则a>–1，b