2020-2021学年重庆外国语学校八年级（上）第一次月考数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆外国语学校八年级（上）第一次月考数学试卷，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆外国语学校八年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷，上对应题目的正确答案标号涂黑)
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．＝±6 B．±＝6 C．＝5 D．＝2
3．（4分）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（4分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．9
5．（4分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（　　）

A．14 B．18 C．23 D．28
6．（4分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2019的值（　　）
A．1 B．﹣1 C．72019 D．﹣72019
7．（4分）若等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（　　）
A．30° B．50° C．80° D．50°或80°
8．（4分）下列说法：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2019A2019A2020，则点A2020的纵坐标为（　　）

A．（）2018 B．（）2019 C．（）2020 D．（）2021
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是（　　）

A．AD∥BC B．∠ACB＝2∠ADB
C．∠ADC＝90°﹣∠ABD D．BD平分∠ADC
11．（4分）若整数a使得关于x的不等式组，有且只有7个整数解，且使得关于y的一元一次方程＝1的解为非负整数，则满足条件的整数a的值有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝70°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠AFO的度数是（　　）

A．40° B．60° C．70° D．80°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卷上）
13．（4分）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为　 　．

14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AB＝4，∠A＝30°，则BD＝　 　．

15．（4分）若一条长为24cm的细线能围成一边长等于6cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为　 　cm．
16．（4分）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8．若S△ABC＝28，则DE＝　 　．

17．（4分）如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝　 　时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．

18．（4分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝6，BC＝4，则AF＝　 　．

三、解答题：（本大题共6个小题，每题10分），解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）计算：
（1）﹣+|﹣2|；
（2）+﹣（﹣）3．
20．（10分）（1）解二元一次方程组；
（2）解不等式组．
21．（10分）如图，点D是△ABC的边BC上的一点，并且BD＝AD＝AC＝CD，求∠BAC的度数．

22．（10分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝EC，AC＝DF，AC∥DF．
求证：∠A＝∠D．

23．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A（﹣1，4）、B（4，3）、C（1，1）．
（1）利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1、B1、C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．

24．（10分）阅读题
一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为m，十位上和个位上的数之和为n，如果m＝n，那么称这个四位数为“和谐数”．
例如：1524，m＝1+5，n＝2+4，因为m＝n，所以1524是“和谐数”．
（1）请判断：1625　 　“和谐数”，3729　 　“和谐数”．（填是或不是）
直接写出：最小的四位“和谐数”是　 　，最大的四位“和谐数”是　 　．
（2）如果一个四位“和谐数”的千位数字为x，百位数字为y，且个位上的数字是千位上的数字的两倍，十位上的数字与百位上的数字之和是15的倍数，请求出x与y的关系式，并求出满足条件的所有“和谐数”．
四、解答题：（本大题共2个小题，其中25题10分，26题8分，共18分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
25．（10分）如图所示，在△ABC中（AB＞AC），D、E分别在BC和BC的延长线上，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点K、H分别在BA上，点D、G分别在BC上，且BK＝BD，BH＝BG，连接KG并延长与AC延长线交于点F，且CF＝CE．
（1）求证：DH＝KG；
（2）求证：G为KF中点．

26．（8分）如图，B（0，2），在x轴的正半轴上取两点C、D使得△BOC的面积为2，且∠BDC＝30°，连接BD．
（1）如图1，已知：O点关于直线BD的对称点为O'，求O'到x轴的距离；
（2）如图2，若P为y轴上的动点，作直线DP交直线BC于点Q，是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形，若存在，求出∠BPQ的度数，若不存在，说明理由．


2020-2021学年重庆外国语学校八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷，上对应题目的正确答案标号涂黑)
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（4分）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．＝±6 B．±＝6 C．＝5 D．＝2
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根以及二次根式的性质，逐个进行判断即可．
【解答】解：A.＝6，即36的算术平方根是6，因此选项A不符合题意；
B．±＝±6，即36的平方根是±6，因此选项B不符合题意；
C.＝|﹣5|＝5，因此选项C符合题意；
D.＝﹣2，即﹣8的立方根为﹣2，因此选项D不符合题意；
故选：C．
3．（4分）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】设边数为n，由多边形内角和公式可列方程，可求得边数．
【解答】解：
设这个多边形的边数为n，
由题意可得：（n﹣2）×180°＝1260°，
解得n＝9，
∴这个多边形的边数为9，
故选：D．
4．（4分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．9
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG＝EB，DF＝DC即可求得结果．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4，
故选：B．
5．（4分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（　　）

A．14 B．18 C．23 D．28
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB+AC，再求出BC＝2BC解答即可．
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC，
∵BE＝5，
∴BC＝10，
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝13，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝13+10＝23，
故选：C．
6．（4分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2019的值（　　）
A．1 B．﹣1 C．72019 D．﹣72019
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，
∴a＝4，b＝﹣3，
∴（a+b）2019＝1．
故选：A．
7．（4分）若等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（　　）
A．30° B．50° C．80° D．50°或80°
【分析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，
∴等腰三角形的一个内角为80°，
①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，
②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，
所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°
故选：D．
8．（4分）下列说法：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外心等知识一一判断即可．
【解答】解：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；正确．
②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；正确．
③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；正确．
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形；错误．
故选：C．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2019A2019A2020，则点A2020的纵坐标为（　　）

A．（）2018 B．（）2019 C．（）2020 D．（）2021
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O1A1＝OA1＝1，O2A2＝O1A2＝（）1，O3A3＝O2A3＝（）2，即点A1的纵坐标为1；点A2的纵坐标为（），点A3的纵坐标为（）2，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．
【解答】解：∵三角形OAA1是等边三角形，
∴OA1＝OA＝2，∠AOA1＝60°，
∴∠O1OA1＝30°．
在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1＝90°，∠O1OA1＝30°，
∴O1A1＝OA1＝1，即点A1的纵坐标为1，
同理，O2A2＝O1A2＝（）1，O3A3＝O2A3＝（）2，
即点A2的纵坐标为（）1，
点A3的纵坐标为（）2，
…
∴点A2020的纵坐标为（）2019．
故选：B．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是（　　）

A．AD∥BC B．∠ACB＝2∠ADB
C．∠ADC＝90°﹣∠ABD D．BD平分∠ADC
【分析】A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD＝∠DAC，由三角形外角得∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，得出∠EAD＝∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确．
B、由AD∥BC，得出∠ADB＝∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC，∠ABC＝2∠ADB，得出结论∠ACB＝2∠ADB，
C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，得出结论∠ADC＝90°﹣∠ABD；
D、用排除法可得结论．
【解答】解：A、∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
故A正确．
B、由（1）可知AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABC＝2∠ADB，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ADB，
故B正确．
C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°
∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，
故C正确；
不妨设，D选项正确，可以推出AB＝AD＝AC，推出∠ACB＝∠ACD＝∠DCF＝60°，显然不可能，故D错误．
故选：D．


11．（4分）若整数a使得关于x的不等式组，有且只有7个整数解，且使得关于y的一元一次方程＝1的解为非负整数，则满足条件的整数a的值有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别表示出方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数a的值即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
∵关于x的不等式组，有且只有7个整数解，
∴＜x≤5，
其整数解为：5，4，3，2，1，0，﹣1，
∴﹣2≤＜﹣1，
∴﹣7≤a＜﹣4，
方程去分母得：2y+a+2＝3，
解得：y＝，
由方程的解为非负整数，解得：a＝﹣7或﹣5，共2个
故选：B．
12．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝70°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠AFO的度数是（　　）

A．40° B．60° C．70° D．80°
【分析】连接OB，根据线段垂直平分线的性质可证OA＝OB＝OC，由点C沿EF折叠后与点O重合，则∠ACO＝∠FOC＝35°，再根据∠AFO是△OCF的外角，即可解决问题．
【解答】解：连接OB，

∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴直线AO是BC的垂直平分线，∠OAC＝∠BAC＝＝35°，
∴OB＝OC，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝35°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴∠ACO＝∠FOC＝35°，
∵∠AFO是△OCF的外角，
∴∠AFO＝∠FOC+∠FCO＝70°，
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卷上）
13．（4分）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为　4　．

【分析】根据△ABC≌△ADE，得到AE＝AC，由AB＝7，AC＝3，根据BE＝AB﹣AE即可解答．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，
∵AB＝7，AC＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AB＝4，∠A＝30°，则BD＝　1　．

【分析】求出∠BCD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出BC＝AB＝2，再根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝BC，即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，
所以BC＝AB＝2，∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD是高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∴BD＝BC＝1，
故答案为：1．
15．（4分）若一条长为24cm的细线能围成一边长等于6cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为　9　cm．
【分析】分6是底边和腰长两种情况，分别列出方程，求解即可得到结果．
【解答】解：若6cm为底时，腰长应该是（24﹣6）＝9cm，
故三角形的三边分别为6cm、9cm、9cm，
∵6+9＝15＞9，
故能围成等腰三角形，
若6cm为腰时，底边长应该是24﹣6×2＝12，
故三角形的三边为6cm、6cm、12cm，
∵6+6＝12，
∴以6cm、6cm、12cm为三边不能围成三角形，
综上所述，腰长是9cm，
故答案为：9．
16．（4分）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8．若S△ABC＝28，则DE＝　4　．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DF，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，
∴S△ABC＝AB•DE+BC•DF＝×6DE+×8DE＝28，
即3DE+4DE＝28，
解得DE＝4．
故答案为：4．
17．（4分）如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝　10或20　时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．

【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝10时；②当AP＝CA＝20时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
【解答】解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝10时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝20时，
在△ABC和△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：10或20．
18．（4分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝6，BC＝4，则AF＝　5　．

【分析】连接AE、BE，过点E作EG⊥BC于G，根据角平分线的性质以及中垂线的性质得出EF＝EG，AE＝BE，进而判定Rt△AEF≌Rt△BEG，即可得到AF＝BG，据此列出方程，解方程即可得到AF长．
【解答】解：连接AE、BE，过点E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，
∴∠ACE＝∠ECG，
∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF＝CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），
∴AF＝BG，
设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝6﹣x，BG＝BC+CG＝4+x，
∴6﹣x＝4+x，
解得x＝1，
∴AF＝6﹣1＝5，
故答案为：5．

三、解答题：（本大题共6个小题，每题10分），解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）计算：
（1）﹣+|﹣2|；
（2）+﹣（﹣）3．
【分析】（1）直接利用算术平方根的定义以及立方根的定义、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用算术平方根的定义以及立方根的定义、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝7﹣1+2﹣
＝8﹣；

（2）原式＝﹣3++
＝﹣2．
20．（10分）（1）解二元一次方程组；
（2）解不等式组．
【分析】（1）利用加减消元法求解可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
①×2﹣②，得：3x＝15，即x＝5，
将x＝5代入②，得：5+2y＝﹣3，
解得：y＝﹣4，
所以方程组的解为；

（2）解不等式6﹣3x＞﹣2（x﹣2），得：x＜2，
解不等式﹣1＜x得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜2．
21．（10分）如图，点D是△ABC的边BC上的一点，并且BD＝AD＝AC＝CD，求∠BAC的度数．

【分析】根据等边三角形的性质∠ADC＝∠DAC＝60°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得到∠BAD＝30°，进而即可求得结果．
【解答】解：∵AD＝AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝∠DAC＝60°，
∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝60°，
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝30°+60°＝90°．
22．（10分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝EC，AC＝DF，AC∥DF．
求证：∠A＝∠D．

【分析】先由平行线的性质得∠ACB＝∠DFE，再证BC＝EF，然后由SAS证△ABC≌△DEF，即可得出结论．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
又∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
23．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A（﹣1，4）、B（4，3）、C（1，1）．
（1）利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1、B1、C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可解决问题．
（2）利用分割法求三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（1，4），B1（﹣4，3），C1（﹣1，1）．
（2）＝3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝6.5

24．（10分）阅读题
一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为m，十位上和个位上的数之和为n，如果m＝n，那么称这个四位数为“和谐数”．
例如：1524，m＝1+5，n＝2+4，因为m＝n，所以1524是“和谐数”．
（1）请判断：1625　是　“和谐数”，3729　不是　“和谐数”．（填是或不是）
直接写出：最小的四位“和谐数”是　1001　，最大的四位“和谐数”是　9999　．
（2）如果一个四位“和谐数”的千位数字为x，百位数字为y，且个位上的数字是千位上的数字的两倍，十位上的数字与百位上的数字之和是15的倍数，请求出x与y的关系式，并求出满足条件的所有“和谐数”．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）设这个“和谐数”为，于是得到d＝2a，1≤x≤9，0sy，a，b≤9，a+y＝15，当x＝1，y＝8时，得到a＝7则b＝2，②当x＝3，y＝9时，得到a＝6则b＝6于是得到结论．
【解答】解：（1）1+6＝2+5＝7，
1625是“和谐数”，
3+7＝10，2+9＝11，且10＝11，
3729不是“和谐数”，
最小的四位“和谐数”为1001，
最大的四位“和谐数”为9999；
故答案为：是，不是，1001，9999．
（2）设这个“和谐数”为为，
1≤x≤9，0≤y，a，b≤9，
由已知有，k为整数，
a与y均为非负整数，
∴a+y＝15，
由“和谐数”定义有x+y＝a+b，
∴x+y＝2x+（15﹣y）
整理得2y＝x+15，
1≤x≤9，0≤y≤9，
∴
当时，
则＝1872，
当时，，
则＝3966，
综上所述，x与y的关系式为：2y＝x+15，满足条件的“和谐数”有：1872，3966．
四、解答题：（本大题共2个小题，其中25题10分，26题8分，共18分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
25．（10分）如图所示，在△ABC中（AB＞AC），D、E分别在BC和BC的延长线上，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点K、H分别在BA上，点D、G分别在BC上，且BK＝BD，BH＝BG，连接KG并延长与AC延长线交于点F，且CF＝CE．
（1）求证：DH＝KG；
（2）求证：G为KF中点．

【分析】（1）由“SAS”可证△BDH≌△BKG，可得结论；
（2）连接EF，在AB上截取AP＝AF，连接PD，由“SAS”可证△ADP≌△AEF，可得PD＝EF，∠APD＝∠AFE，由“AAS”可证△PDH≌△EFG，可得KG＝DH＝FG，即可求解．
【解答】证明：（1）在△BDH和△BKG中，
，
∴△BDH≌△BKG（SAS），
∴DH＝KG；
（2）如图，连接EF，在AB上截取AP＝AF，连接PD，

∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠EAF，
在△ADP和△AEF中，
，
∴△ADP≌△AEF（SAS），
∴PD＝EF，∠APD＝∠AFE，
∵CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴∠APD＝∠CEF，
∵△BDH≌△BKG，
∴∠BHD＝∠BGK＝∠EGF，
在△PDH和△EFG中，
，
∴△PDH≌△EFG（AAS），
∴DH＝FG，
∴KG＝DH＝FG，
∴点G是KF的中点．
26．（8分）如图，B（0，2），在x轴的正半轴上取两点C、D使得△BOC的面积为2，且∠BDC＝30°，连接BD．
（1）如图1，已知：O点关于直线BD的对称点为O'，求O'到x轴的距离；
（2）如图2，若P为y轴上的动点，作直线DP交直线BC于点Q，是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形，若存在，求出∠BPQ的度数，若不存在，说明理由．

【分析】（1）如图1中，连接OO′，O′D，过点O′作O′N⊥OD于N．证明△ODO′是等边三角形，求出ON，O′N即可解决问题．
（2）分三种情形：如图2﹣1中，当直线PD与x轴重合时，PB＝PQ，如图2﹣2中，当BP＝BQ时，如图2﹣3中，当QB＝QP时，利用等腰三角形的性质分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，连接OO′，O′D，过点O′作O′N⊥OD于N．

∵B（0，2），
∴OB＝2，
在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，∠ODB＝30°，
∴OD＝OB＝2，
∵O，O′关于直线BD对称，
∴OD＝DO′，∠BDO＝∠BDO′＝30°，
∴∠ODO′＝60°，
∴△ODO′是等边三角形，
∵O′N⊥OD，
∴ON＝ND＝，O′N＝ON＝3，
∴O′（，3）．

（2）如图2﹣1中，当直线PD与x轴重合时，PB＝PQ，此时∠BPQ＝90°．

如图2﹣2中，当BP＝BQ时，

∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠BPQ＝∠BQP＝（180°﹣∠PBQ）＝67.5°．
如图2﹣3中，当QB＝QP时，∠BPQ＝∠QBP＝45°．

综上所述，满足条件的∠BPQ的值为90°或67.5°或45°．
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日期：2021/8/10 22:52:24；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298