作业21－双曲线与抛物线小题（含答案解析）学案

这是一份作业21－双曲线与抛物线小题（含答案解析）学案，共15页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．(2020·浙大附中高考全真模拟考试)已知双曲线C：eq \f(y2,2)－x2＝1，则焦点坐标为( )
A．(±eq \r(3)，0) B．(0，±eq \r(3))
C．(±1，0) D．(0，±1)
答案 B
解析 ∵eq \f(y2,2)－x2＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3，∴c＝eq \r(3).
又∵eq \f(y2,2)－x2＝1，焦点在y轴上，∴焦点坐标为(0，±eq \r(3))．故选B.
2．(2020·河南省濮阳市二模)若双曲线C1与双曲线C2：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1有共同的渐近线，且C1过点(2，3)，则双曲线C1的方程为( )
A.eq \f(y2,2)－eq \f(x2,\r(3))＝1 B.eq \f(x2,\r(3))－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(y2,3)－eq \f(x2,2)＝1
答案 D
解析 设双曲线C1的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝λ，将(2，3)代入，可得λ＝－eq \f(1,2)，
故双曲线C1的方程为eq \f(y2,3)－eq \f(x2,2)＝1.故选D.
3．(2020·贵州铜仁市高三第二次模拟)设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为eq \f(π,3)的直线与y轴和双曲线的右支分别交于点A，B，若eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OF1,\s\up6(→)))，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B.eq \r(5)
C．2＋eq \r(3) D.eq \r(3)
答案 C
解析 ∵eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OF1,\s\up6(→)))，∴A为BF1的中点，由题意可得直线方程为y＝eq \r(3)(x＋c)，当x＝0时，y＝eq \r(3)c，∴A(0，eq \r(3)c)，∵F1(－c，0)，设B(x，y)，∴2×0＝x－c，2eq \r(3)c＝y＋0，∴x＝c，y＝2eq \r(3)c，∴B(c，2eq \r(3)c)，∴eq \f(c2,a2)－eq \f(12c2,b2)＝1，即eq \f(12c2,b2)＝eq \f(c2,a2)－1＝eq \f(a2＋b2,a2)－1＝eq \f(b2,a2)，∴b4＝12a2c2，即(c2－a2)2＝12a2c2，整理可得e4－14e2＋1＝0，即e2＝7＋4eq \r(3)＝(2＋eq \r(3))2，解得e＝2＋eq \r(3).故选C.
4．(2020·石家庄市综合训练)过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右焦点F的直线l交C的右支于A，B两点，直线AO(O是坐标原点)交C的左支于点D.若DF⊥AB，且|BF|＝2|DF|，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(\r(10),2) B.eq \r(10)
C.eq \f(\r(29),3) D.eq \f(\r(87),3)
答案 C
解析 如图，取左焦点F′，连接DF′，AF′，BF′，设|AF|＝x，则|AF′|＝2a＋x，
由题意可得DF′∥AF，所以DF′⊥DF，所以|DF′|＝x，|DF|＝|AF′|＝2a＋x，
而|BF|＝2|DF|，所以|BF|＝4a＋2x，|AB|＝4a＋3x，进而可得|BF′|＝4a＋2x＋2a＝6a＋2x，在直角三角形BAF′中，|BF′|2＝|AB|2＋|AF′|2，
所以(6a＋2x)2＝(4a＋3x)2＋(2a＋x)2，解得x＝eq \f(4,3)a，
所以|AF|＝eq \f(4,3)a，|DF′|＝eq \f(4,3)a，|DF|＝eq \f(10,3)a，|FF′|＝2c，
在直角三角形DFF′中，eq \f(16,9)a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)a))eq \s\up12(2)＝(2c)2，所以可得e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)＝eq \f(29,9)，
所以e＝eq \f(\r(29),3)，故选C.
5．(2020·天一大联考)已知F1，F2为双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点M为E右支上一点．若MF1恰好被y轴平分，且∠MF1F2＝30°，则E的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(\r(2),2)x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \r(3)x D．y＝±2x
答案 B
解析 由MF1恰好被y轴平分，得MF2垂直于x轴，
在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°，|MF1|＝2|MF2|，
又|MF1|－|MF2|＝2a，得到|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c＝eq \r(3)|MF2|＝eq \r(3)×2a，即c＝eq \r(3)a，
得b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a，故渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.故选B.
6．(2020·河北省正中实验中学模拟)已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)右焦点为F1，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线y2＝－16x的焦点为F，若△ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(13),2)，＋∞)) B．(eq \r(13)，＋∞)
C．(1，3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1＋\r(13),2)))
答案 D
解析 在抛物线y2＝－16x中，F(－4，0)，
在双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1中，当x＝c时，y＝±eq \f(b2,2)，取Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,2))).
因为△ABF是锐角三角形，所以∠AFF10，b>0)的两条渐近线均与圆x2＋y2－6y＋5＝0相切，则双曲线C的离心率为________．
答案 eq \f(3,2)
解析 双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即±bx－ay＝0，圆x2＋y2－6y＋5＝0化为标准方程是x2＋(y－3)2＝4，若渐近线与此圆相切，则eq \f(3a,\r(a2＋b2))＝eq \f(3a,c)＝2，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
18．(2020·泸州市高三第三次教学质量诊断性考试)已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)的焦距为4eq \r(2)，且它的渐近线与圆x2＋(y－m)2＝16有交点，连接所有交点的线段围成了几何图形M，则该几何图形M的面积为________．
答案 16
解析 由双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，得eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m)＝1，
则c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(2m)，则eq \r(2m)＝2eq \r(2)，得m＝4.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
圆x2＋(y－m)2＝16化为x2＋(y－4)2＝16，
如图：
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x，,x2＋（y－4）2＝16，))解得B(4，4)；
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x，,x2＋（y－4）2＝16，))解得A(－4，4)．
∴几何图形M的面积为eq \f(1,2)×8×4＝16.
19．(2020·辽宁省抚顺市六校高三联考)已知点P在抛物线y2＝12x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，点M(6，0)，令t＝eq \f(|MP|2,|PQ|)，则t的最小值为________，此时点P的横坐标为________．
答案 4eq \r(13)－8 2eq \r(13)－4
解析 如图，设抛物线的焦点F(3，0)，点P(x0，y0)，则y02＝12x0，
∴|MP|2＝(x0－6)2＋y02＝x02＋36，
又抛物线的焦点与圆心重合，故要使t取得最小值，则|PQ|应取最大值，
由抛物线的定义可知，
|PQ|max＝|PF|＋1＝x0＋4，∴t＝eq \f(x02＋36,x0＋4)＝eq \f(（x0＋4）2－8（x0＋4）＋52,x0＋4)＝(x0＋4)＋eq \f(52,x0＋4)－8≥4eq \r(13)－8，
当且仅当x0＋4＝eq \f(52,x0＋4)，即x0＝2eq \r(13)－4时，等号成立．
20．(2020·5月湖北省七市联考)已知斜率为k(k>0)的直线l过抛物线C：y2＝6x的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，过A，B作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，若eq \f(S△ABB1,S△ABA1)＝2，则k的值为________．
答案 2eq \r(2)
解析 依题意可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，直线l：y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(x1，0)，B1(x2，0)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，,y2＝6x，))消去y并整理得k2x2－(3k2＋6)x＋eq \f(9,4)k2＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(3k2＋6,k2)＝3＋eq \f(6,k2)，x1x2＝eq \f(9,4)，
设A1，B1到直线l的距离分别为d1，d2，
则d1＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(kx1－\f(3,2)k)),\r(k2＋1))＝eq \f(k\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(3,2))),\r(k2＋1))，d2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(kx2－\f(3,2)k)),\r(k2＋1))＝eq \f(k\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x2－\f(3,2))),\r(k2＋1))，
所以eq \f(S△ABB1,S△ABA1)＝eq \f(d2,d1)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x2－\f(3,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(3,2))))＝2，因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(3,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(3,2)))0，所以k＝2eq \r(2).
1．(2020·石家庄市高中毕业班综合训练)已知P(1，4)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|＝( )
A．3 B．5
C．7 D．8
答案 B
解析 P(1，4)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，
即42＝2p.
可得p＝8，所以F(4，0)，则|PF|＝5.故选B.
2．(2020·山东济宁市第五次模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是双曲线x2－y2＝p的一个焦点，则p＝( )
A．2eq \r(2) B．8
C．4 D．1
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
双曲线x2－y2＝p，化为eq \f(x2,p)－eq \f(y2,p)＝1，
则c2＝2p，c＝eq \r(2p)，焦点为(eq \r(2p)，0)或(－eq \r(2p)，0)，
所以有eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，解得p＝0或p＝8，又因为p>0，
所以p＝8.故选B.
3．【多选题】已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则( )
A．x1x2＝－4
B．|AB|＝y1＋y2＋1
C．∠A1FB1＝eq \f(π,2)
D．AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2
答案 ACD
解析 抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，A正确；|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2，B错误；eq \(FA1,\s\up6(→))＝(x1，－2)，eq \(FB1,\s\up6(→))＝(x2，－2)，所以eq \(FA1,\s\up6(→))·eq \(FB1,\s\up6(→))＝x1x2＋4＝0，所以eq \(FA1,\s\up6(→))⊥eq \(FB1,\s\up6(→))，∠A1FB1＝eq \f(π,2)，C正确；AB的中点到抛物线的准线的距离d＝eq \f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq \f(1,2)(y1＋y2＋2)＝eq \f(1,2)(kx1＋1＋kx2＋1＋2)＝eq \f(1,2)(4k2＋4)≥2，当k＝0时等号成立，所以D正确．故选ACD.
4．(2020·拉萨市高三第二次模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，则a＝________．
答案 1
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的渐近线方程为eq \f(x,a)±y＝0，
由于该双曲线的一条渐近线方程为x＋y＝0，∴eq \f(1,a)＝1，解得a＝1.
5．(2020·潍坊高密市高三模拟)已知双曲线C过点(3，eq \r(2))且渐近线为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则双曲线C的标准方程为________．
答案 eq \f(x2,3)－y2＝1
解析 根据题意，双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，
可化为：x±eq \r(3)y＝0，
则可设双曲线方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)，
将点(3，eq \r(2))代入x2－3y2＝λ(λ≠0)，
得32－3(eq \r(2))2＝λ(λ≠0)，即λ＝3，
故双曲线方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
6．(2020·石家庄市高考数学模拟八)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线上一点，若△PAB为等腰三角形，∠PAB＝120°，则双曲线的离心率为____．
答案 eq \r(2)
解析 设P(m，n)在第二象限，由△PAB为等腰三角形，∠PAB＝120°，可得|PA|＝|AB|＝2a，
可得m＝2acs120°－a＝－2a，n＝2asin60°＝eq \r(3)a，即P(－2a，eq \r(3)a)，
由P在双曲线上，可得eq \f(4a2,a2)－eq \f(3a2,b2)＝1，
即有eq \f(b2,a2)＝1，即a＝b，
可得e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2).
7．(2020·山东师范附中模拟)已知双曲线x2－eq \f(y2,8)＝1，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为________，若F1到圆M上点的最大距离为4eq \r(3)，则△F1PF2的面积为________．
答案 1 24eq \r(3)
解析 双曲线的方程为x2－eq \f(y2,8)＝1，则a＝1，b＝2eq \r(2)，c＝eq \r(1＋8)＝3.
设圆M分别与PF1，PF2，F1F2相切于B，C，A，
根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2，根据内切圆的性质可知|PF1|－|PF2|＝|PB|＋|F1B|－(|PC|＋|F2C|)＝|F1B|－|F2C|＝|F1A|－|F2A|＝2 ①，
而|F1A|＋|F2A|＝|F1F2|＝6 ②.
由①②得：|F1A|＝4，|F2A|＝2，所以A(1，0)，
所以直线MA的方程为x＝1，即M的横坐标为1.
设M的坐标为M(1，r)(r>0)，则F1到圆M上点的最大距离为|MF1|＋r＝4eq \r(3)，
即eq \r(42＋r2)＋r＝4eq \r(3)，解得r＝eq \f(4\r(3),3).
设直线PF1的方程为y＝k(x＋3)(k>0)，即kx－y＋3k＝0.
M到直线PF1的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k－\f(4\r(3),3)＋3k)),\r(1＋k2))＝eq \f(4\r(3),3)，解得k＝eq \r(3).
所以直线PF1的方程为y＝eq \r(3)(x＋3)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)（x＋3），,x2－\f(y2,8)＝1，))且P在第一象限，解得P(5，8eq \r(3))．
所以|PF1|＝eq \r(（5＋3）2＋（8\r(3)）2)＝16，|PF2|＝|PF1|－2a＝14.
所以△F1PF2的面积为eq \f(1,2)×(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·r＝eq \f(1,2)×(16＋14＋6)×eq \f(4\r(3),3)＝24eq \r(3).
8．(2020·山东省高考统一模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)与直线l：4x－3y－2p＝0在第一、四象限分别交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则λ＝________．
答案 4
解析 直线l：当y＝0时，x＝eq \f(p,2)，
∴直线l过抛物线的焦点，A，F，B三点共线，
联立直线与抛物线方程，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,4x－3y－2p＝0，))得8x2－17px＋2p2＝0，
解得：xA＝2p，xB＝eq \f(p,8)，∴|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝eq \f(5,2)p，|BF|＝xB＋eq \f(p,2)＝eq \f(5,8)p，λ＝eq \f(|\(AF,\s\up6(→))|,|\(FB,\s\up6(→))|)＝4.
9．(2019·洛阳统考)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－3eq \(OF,\s\up6(→))＝0，则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________．
答案 eq \f(9,4)
解析 方法一：依题意，得抛物线的焦点F(0，1)，准线方程是y＝－1，因为2(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OF,\s\up6(→)))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OF,\s\up6(→)))＝0，即2eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＝0，所以F，A，B三点共线．设直线AB：y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4.①
又2eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＝0，因此2x1＋x2＝0.②
由①②解得x12＝2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为eq \f(1,2)[(y1＋1)＋(y2＋1)]＝eq \f(1,2)(y1＋y2)＋1＝eq \f(1,8)(x12＋x22)＋1＝eq \f(5x12,8)＋1＝eq \f(9,4).
方法二：依题意，得抛物线的焦点F(0，1)，准线方程是y＝－1，因为2(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OF,\s\up6(→)))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OF,\s\up6(→)))＝0，即2eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＝0，所以F，A，B三点共线．不妨设直线AB的倾斜角为θ，0