天津市宝坻区宝坻四中2020-2021学年高一下学期期末综合训练四（解析板）

这是一份天津市宝坻区宝坻四中2020-2021学年高一下学期期末综合训练四（解析板），共14页。
一、选择题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 复数的虚部为（ ）
A. －3B. 3C. 2D.
【答案】A
【分析】
根据复数的概念直接可得答案.
【解析】复数的虚部为
故选：A
【点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题.
2. 在△中，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】
直接利用正弦定理计算得到答案.
【解析】根据正弦定理：，故，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
3.已知一组数据为第百分位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
直接利用百分位数的定义求解.
【解析】因为有6位数，
所以，
所以第百分位数是第三个数6.
故选：C
4.已知直线平面，直线平面，则“直线”是“，且”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据线面垂直的性质及判定以及充分必要条件判断即可．
【解析】直线平面，直线平面，
则“直线”能推出“，且”，是充分条件，
反之“，且”，直线m与平面不一定垂直，不是必要条件，
故选：A
【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定以及充分必要条件，属于基础题．
5.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为 QUOTE ,身体关节构造合格的概率为 QUOTE ,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
【答案】D.
【解析】设“儿童体型合格”为事件A,“身体关节构造合格”为事件B,则P(A)= QUOTE ,P(B)= QUOTE .又A,B相互独立,则 QUOTE , QUOTE 也相互独立,则P( QUOTE QUOTE )=P( QUOTE )P( QUOTE )= QUOTE × QUOTE = QUOTE ,故至少有一项合格的概率为P=1-P( QUOTE QUOTE )= QUOTE .
6.已知样本数据2,4,6,a的平均数为4,则该样本的标准差是( )
A.B.C.2D.
【答案】B
【解析】因为2,4,6，a的平均数为4，所以,得，所以该样本的标准差，故选B.
7.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C.D.
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为,
则,所以.
所以正方体的体对角线长为
所以正方体外接球的半径为,
所以该球的表面积为,
故选A.
8. 已知向量与的夹角为，，，当时，实数为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【分析】
根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值.
【解析】向量与的夹角为，，，
由知，，
，
，
解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题
9.把边长为4的正方形，沿对角线折成空间四边形，使得平面平面，则空间四边形的对角线的长为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】A
【分析】
先利用正方形对角线垂直知对折后平面即，在求即可.
【解析】如图所示，正方形，对角线交于O点，则，沿对角线折成空间四边形后，有，，
而平面平面，交线是BD，故平面，即，
所以是等腰直角三角形，故.
故选：A.
【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，属于基础题.
第二部分（非选择题 共84分）
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
10.某中学共有教师300名，其中男教师有180名．现要用分层抽样的方法从教师中抽取一个容量为50的样本，应抽取的男教师人数为__________．
【答案】
【分析】
先求解出分层抽样的抽样比，然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比，由此可计算出结果.
【解析】因为分层抽样的抽样比为，
所以应抽取男教师人数为：人，
故答案为：.
【点睛】本题考查分层抽样的简单应用，涉及到抽样比的计算，难度较易.分层抽样的抽样比等于样本容量除以总体容量，也等于各层样本数量除以各层个体数量.
11.已知复数，则复数______.
【答案】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解析】由，得.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题型.
12.一个袋子中有5个红球,3个白球,4个绿球,8个黑球,如果随机地摸出一个球,记A={摸出黑球},B={摸出白球},C={摸出绿球},D={摸出红球},
则P(A)=________;P(B)=________; P(C∪D)=________.
【答案】 QUOTE QUOTE QUOTE
【解析】由古典概型的算法可得P(A)= QUOTE = QUOTE ,P(B)= QUOTE ,P(C∪D)=P(C)+ P(D)= QUOTE + QUOTE = QUOTE .
13在长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为__________．
【答案】
【分析】
作出图示，根据，先判断出异面直线所成角是哪个角，然后根据线段长度求解出异面直线所成角的大小.
【解析】如图所示：
因为，所以异面直线与所成角即为（为锐角），
又因为，所以且，所以，
所以异面直线与所成角的大小为，
故答案为：.
【点睛】本题考查求解异面直线所成角，难度较易.求解异面直线所成角，关键是能通过直线的平行关系，将直线平移至同一平面内，最后再进行求解.
14.已知，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数__________．
【答案】
【分析】
根据向量共线定理表示出与的关系，然后列出关于的方程组求解出的值即可.
【解析】因为与共线，设，
又因为不共线，所以，所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值，难度较易.向量与非零向量共线时，有且仅有一个实数使得.
15.在平地上有、两点，在山的正东，在山的东南，且在的南偏西距离点300米的地方，在测得山顶的仰角是，则山高为________米.
【答案】
【分析】
先设山高，依题意可得，由正弦定理可求得，在直角中，计算得出结果即可.
【解析】
设山高，，
，
由正弦定理得.
在直角中，
（米）.
故山高为米.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于较易题.
三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知，．
（1）若与同向，求；
（2）若与的夹角为，求．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）先设，再根据向量共线定理即可求解即可；
（2）由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解．
【解析】解：（1）设，由题意可得，存在实数，使得，
即，，，，所以，，
由可得，即或（舍，所以，
（2）设，所以，
又因为，
故即，
因为，所以，
故，
当，时，，
当，时，．
【点评】本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档试题．
17. 在中，角，，所对边分别为，，，，.
（1）若，求角；
（2）若，且的面积为，求.
【答案】（1）；（2）5.
【分析】
（1）由正弦定理直接求解即可；
（2）由三角形的面积公式结合三角形的面积求出，从而可得，再利用余弦定理可求出的值
【解析】（1）由已知条件可知，，，，
根据正弦定理可得，
∴，
∵，∴，∴，∴.
（2）因为的面积为，且，.
顶点到的距离为，
∴，
∴.
∴.
∵，∴，∴，
由余弦定理得，，
∴
【点睛】此题考查正弦、余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题
18. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．
（I）求a的值；
（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数；
（III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由．
【答案】（I）；（Ⅱ）；（III） kW·h.
【分析】
（1）根据频率和为计算出的值；
（2）根据频率分布直方图计算出“用电量大于250kW·h”的频率，再将该频率乘以对应的总户数即可得到结果；
（3）根据频率分布直方图计算出频率刚好为时对应的月用电量，由此可得到第一档用电标准.
【解析】（1）因为，所以；
（2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h”的频率为，
所以用电量大于250kW·h的户数为：，
故用电量大于250kW·h有户；
（3）因为前三组的频率和为：，
前四组的频率之和为，
所以频率为时对应的数据在第四组，
所以第一档用电标准为：kW·h.
故第一档用电标准为 kW·h.
【点睛】本题考查频率分布直方图的综合应用，主要考查利用频率分布直方图进行相关计算，对学生读取图表信息和计算能力有一定要求，难度一般.
19.某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.
（Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；
（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；
（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.
【答案】（Ⅰ）样本空间见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）给6名医护人员进行编号，使用列举法得出样本空间；
（Ⅱ）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率；
（Ⅲ）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率.
【解析】解：（Ⅰ）设2名医生记为，，3名护士记为，，，1名管理人员记为C，
则样本空间为：
.
（Ⅱ）设事件M：选中1名医生和1名护士发言，则，
∴，又，
∴
（Ⅲ）设事件N：至少选中1名护士发言，则，
∴，
∴.
【点睛】本题考查事件空间，考查古典概型，考查对立事件的概率公式．用列举法写出事件空间中的所有基本事件是解题关键，也是求古典概型的基本方法．
20如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面分别是PB、CD的中点.
（1）证明：平面PAD；
（2）证明：平面PAB；
（3）若平面AEF，求四棱锥的体积.
【解析】
（1）证明：如图，取AP的中点为M，连接MD，ME.
因为E，M，F分别是的中点，四边形ABCD是矩形，
所以，且，
所以，
所以四边形DMEF为平行四边形，所以，
(2)因为平面平面ABCD，
所以，
因为平面平面AEF，所以
,平面PAB；
(3)因为平面平面ABCD，
所以，又，所以，
因为平面平面AEF，所以，
又E是PB的中点，所以.
所以直角梯形ABCF的面积.
易知点E到平面ABCF的距离，
所以.