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2021年重庆市中考数学真题（A卷）
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这是一份2021年重庆市中考数学真题（A卷），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年重庆市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．计算3a6÷a的结果是（ ）
A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5
3．不等式x≤2在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
6．计算×﹣的结果是（ ）
A．7 B．6 C．7 D．2
7．如图，点B，F，C，E共线，BF＝EC，添加一个条件（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接OM，过点O作ON⊥OM，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
10．如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝，点C，B，E，F在同一水平线上（参考数据：≈1.41，≈1.73）（ ）
A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
11．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，AB∥x轴，AO⊥AD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y＝（x＞0），与边AB交于点F，连接OE，EF．若S△EOF＝，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．计算：|3|﹣（π﹣1）0＝ ．
14．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ．
15．若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为 ．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，C为圆心，AO长为半径画弧，CD于点E，F．若BD＝4，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
17．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，AC，BC上，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 ．
18．某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）.请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；
（2）（1﹣）÷．
20．（10分）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，1.1，1.1，1.7，1.9
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.2．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
1.3
1.1
a
0.26
40%
八年级
1.3
b
1.0
0.23
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
21．如图，在▱ABCD中，AB＞AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，并证明你的结论．
22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
0
4
0
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质；
（3）已知函数y＝﹣x+3的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式﹣的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
24．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，称为“合分解”．
例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234＝18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）（M）＝，当G（M）能被4整除时
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，当BD＞CD，∠AEC＝150°时的值．
2021年重庆市中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】根据相反数的表示方法：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：2的相反数是﹣2．
故选：A．
2．计算3a6÷a的结果是（ ）
A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5
【分析】直接利用单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式，计算得出答案．
【解答】解：3a6÷a＝2a5．
故选：D．
3．不等式x≤2在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先在数轴上找出表示数2的点，再向数轴的负方向画出即可．
【解答】解：不等式x≤2的解集在数轴上表示为：
，
故选：D．
4．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【分析】根据位似图形的概念得到BC∥EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，即△ABC与△DEF的相似比为3：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，
故选：A．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝100°，
故选：B．
6．计算×﹣的结果是（ ）
A．7 B．6 C．7 D．2
【分析】根据二次根式的乘法法则和减法法则运算．
【解答】解：原式＝×﹣
＝××﹣
＝2﹣
＝2．
故选：B．
7．如图，点B，F，C，E共线，BF＝EC，添加一个条件（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，
∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS）；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS）；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF；
当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故选项D不符合题意；
故选：C．
8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
5s时，甲无人机上升了40m，故选项A错误；
甲无人机的速度为：40÷5＝7（m/s），乙无人机的速度为：（40﹣20）÷5＝4（m/s）；
则10s时，两架无人机的高度差为：（8×10）﹣（20+4×10）＝20（m）；
10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10＝80（m）；
故选：B．
9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接OM，过点O作ON⊥OM，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是8，
∵AB2＝4，
∴AB＝8，
故选：C．
10．如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝，点C，B，E，F在同一水平线上（参考数据：≈1.41，≈1.73）（ ）
A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
【分析】根据正切的定义求出MB，根据坡度的概念求出DE，进而求出ND，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△MCB中，∠MCB＝60°，tan∠MCB＝，
∴MB＝CB•tan∠MCB＝30×≈51.9（m），
∵山坡DF的坡度i＝3：1.25，EF＝50m，
∴DE＝40（m），
∵ND＝DE，
∴ND＝25（m），
∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差＝40+25﹣51.9＝13.1（m），
故选：C．
11．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴6，
∴a＜7；
分式方程两边都乘（y﹣8）得：y+2a﹣3y+7＝2（y﹣1），
解得：y＝，
∵方程的解是正整数，
∴＞0，
∴a＞﹣5；
∵y﹣3≠0，
∴1，
∴a≠﹣3，
∴﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，
∴能使是正整数的a是：﹣1，8，3，5，
∴和为2，
故选：B．
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，AB∥x轴，AO⊥AD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y＝（x＞0），与边AB交于点F，连接OE，EF．若S△EOF＝，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，可得AG⊥x轴；利用AO⊥AD，AO＝AD可得△ADE≌△OAG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四边形ABCD是菱形，可得AD＝CD＝DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA＝3a，EG＝AE+AG＝7a，可得E点坐标为（3a，7a），所以k＝21a2．由于AGHF为矩形，FH＝AG＝4a，可得点F的坐标为（，4a），这样OH＝a，GH＝OH﹣OG＝；利用S△OEF＝S△OEG+S梯形EGHF﹣S△OFH，列出关于a的方程，求得a的值，k的值可求．
【解答】解：延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，
∵AB∥x轴，AE⊥CD，
∴AG⊥x轴．
∵AO⊥AD，
∴∠DAE+∠OAG＝90°．
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠D＝90°．
∴∠D＝∠OAG．
在△DAE和△AOG中，
．
∴△DAE≌△AOG（AAS）．
∴DE＝AG，AE＝OG．
∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，
∴AD＝CD＝DE．
设DE＝4a，则AD＝OA＝5a．
∴OG＝AE＝．
∴EG＝AE+AG＝3a．
∴E（3a，7a）．
∵反比例函数y＝（x＞4）的图象经过点E，
∴k＝21a2．
∵AG⊥GH，AH⊥GH，
∴四边形AGHF为矩形．
∴HF＝AG＝4a．
∵点F在反比例函数y＝（x＞7）的图象上，
∴y＝．
∴F（）．
∴OH＝a．
∴GH＝OH﹣OG＝．
∵S△OEF＝S△OEG+S梯形EGHF﹣S△OFH，S△EOF＝，
∴．
××﹣＝．
解得：a2＝．
∴k＝21a2＝21×＝．
故选：A．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．计算：|3|﹣（π﹣1）0＝ 2 ．
【分析】首先计算零指数幂和绝对值，然后计算减法，求出算式的值即可．
【解答】解：|3|﹣（π﹣1）5
＝3﹣1
＝7．
故答案为：2．
14．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，
∴两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率为＝，
故答案为：．
15．若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为 3 ．
【分析】把x＝2代入方程+a＝4得出+a＝4，再求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝2代入方程+a＝4得：，
解得：a＝3，
故答案为：2．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，C为圆心，AO长为半径画弧，CD于点E，F．若BD＝4，则图中阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO和扇形CFO的面积之和．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝OB＝OD
∴OA＝OC＝2，∠ACD＝∠CAB＝36°，
∴图中阴影部分的面积为：4×＝π，
故答案为：π．
17．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，AC，BC上，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 5 ．
【分析】由沿直线DE翻折，点A与点F重合可知：DE垂直平分AF，因为DE∥BC，所以DE为△ABC的中位线，DE＝BC＝5；由折叠可得AE＝EF，因为AF＝EF，可得△AEF为等边三角形，∠FAC＝60°；在Rt△AFC中，解直角三角形可得AF的长，四边形ADFE的面积为DE×AF，结论可得．
【解答】解：∵纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，
∴DE垂直平分AF．
∴AD＝DF，AE＝EF．
∵DE∥BC，
∴DE为△ABC的中位线．
∴DE＝BC＝（4+6）＝6．
∵AF＝EF，
∴△AEF为等边三角形．
∴∠FAC＝60°．
在Rt△AFC中，
∵tan∠FAC＝，
∴AF＝＝2．
∴四边形ADFE的面积为：DE×AF＝＝5．
故答案为：5．
18．某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3 9：10 ．
【分析】根据三种饮料的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即五月份A、B、C三种饮料的销售的数量和单价分别为3a、2a、4a；b、2b、b．可以表示出五月份各种饮料的销售额和总销售额．因问题中涉及到A的五月销售数量，因此可以设六月份A的销售量为x，再根据A六月份的单价求出六月份A的销售额，和B的销售额．可以根据饮料增加的销售额占六月份销售总额比，用未知数列出等式关键即可求解出．
【解答】解：由题意可设五月份A、B、C三种饮料的销售的数量为3a、4a、3b、b．
∴A饮料的六月销售额为b（1+20%）x＝1.6bx，B饮料的六月销售额为1.2bx÷4×3＝1.3bx．
∴A、B饮料增加的销售额为分别1.2bx﹣4ab．
又∵B、C饮料增加的销售额之比为2：1，
∴C饮料增加的销售额为（4.8bx﹣4ab）÷7＝0.9bx﹣3ab，
∴C饮料六月的销售额为0.9bx﹣5ab+4ab＝0.7bx+2ab．
∵A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，
∴（8.2bx﹣3ab）÷＝1.2bx+5.8bx+0.8bx+2ab，
∴18bx﹣45ab＝3.3bx+2ab，
∴＝．
即A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为9：10．
故答案为9：10．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）.请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；
（2）（1﹣）÷．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；
（2）括号内先通分，然后根据分式的减法法则和除法法则计算即可．
【解答】解：（1）（x﹣y）2+x（x+2y）
＝x6﹣2xy+y2+x8+2xy
＝2x4+y2；
（2）（1﹣）÷
＝（）
＝
＝
＝．
20．（10分）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，1.1，1.1，1.7，1.9
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.2．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
1.3
1.1
a
0.26
40%
八年级
1.3
b
1.0
0.23
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求解．
（2）用抽测的百分比乘总体即可求解．
（3）从众数，中位数、A等级的百分比、方差进行评论即可．
【解答】解：（1）由题可知：a＝0.8，b＝4.0．
（2）∵八年级抽测的10个班级中，A等级的百分比是20%．
∴估计该校八年级共30个班这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6（个）．
答：该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为5个．
（3）七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数0.8，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数7.0．
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的20%．
八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.2低于七年级各班餐厨质量垃圾的中位数1.1．
②八年级各班餐厨垃圾质量的方差8.23低于七年级各班餐厨质量垃圾的方差0.26．
21．如图，在▱ABCD中，AB＞AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，并证明你的结论．
【分析】（1）利用基本作图画出对应的几何图形；
（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，则∠CDE＝∠AED，∠ADC+∠BCD＝180°，再证明∠CDE＝∠ADC，∠FCD＝∠BCD，从而得到∠CDE+∠FCD＝90°，于是可判断△CDP为直角三角形．
【解答】解：（1）如图，AE；
（2）△CDP为直角三角形．
理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CDE＝∠AED，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，
∵CF平分∠BCD，
∴∠FCD＝∠BCD，
∴∠CDE+∠FCD＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴△CDP为直角三角形．
22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
0
4
0
﹣
﹣
﹣
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质；
（3）已知函数y＝﹣x+3的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式﹣的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可；
（2）观察图象可知当x＜0时，y随x值的增大而增大；
（3）利用图象即可解决问题．
【解答】解：（1）把下表补充完整如下：
x
…
﹣5
﹣4
﹣6
﹣2
﹣1
6
1
2
5
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
3
6
7
﹣
﹣
…
函数y＝的图象如图所示：
（2）①该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，函数取得最大值4；
③当x＜0时，y随x的增大而增大：当x＞4时；
（3）由图象可知，不等式﹣的解集为x＜﹣0.3或6＜x＜2．
23．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
【分析】（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据1件A产品与1件B产品售价和为500元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据总销售额＝销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，
依题意得：x+100+x＝500，
解得：x＝200，
∴x+100＝300．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，
依题意得：300（1+a%）t+200（1+7a%）（1﹣a%）t＝500t（1+a%），
设a%＝m，则原方程可化简为3m2﹣m＝0，
解得：m4＝，m4＝0（不合题意，舍去），
∴a＝20．
答：a的值为20．
24．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，称为“合分解”．
例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234＝18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）（M）＝，当G（M）能被4整除时
【分析】（1）根据“合和数”的定义直接判定即可；
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，得出P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|，当G（M）能被4整除时，设值为4k，对m+5＝8或12进行讨论．
【解答】解：（1）∵168＝12×14，2+4≠10，
∴168不是“合和数”．
∵621＝23×27，十位数字相同，
∴621是“合和数”．
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，n为自然数，6≤n≤9），
则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，
∴P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|6n﹣10|．
∴G（M）＝＝＝＝4k（k是整数）．
∵8≤m≤9，
∴8≤m+3≤14，
∵k是整数，
∴m+5＝8或m+8＝12，
①当m+5＝8时，
或，
∴M＝36×34＝1224或M＝37×33＝1221，
②当m+5＝12时，
或，
∴M＝76×74＝5624或M＝78×72＝5616．
综上，满足条件的M有：1224，5624．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标
【分析】（1）利用待定系数法将A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝x2+bx+c，即可求得答案；
（2）先运用待定系数法求出AB的函数表达式，设P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，根据点E在直线y＝x﹣1上，PE∥x轴，可得出PE＝﹣2（t﹣2）2+8，再根据△PDE∽△AOC，即可得到△PDE的周长l＝﹣（t﹣2）2++8，运用二次函数最值方法即可求出答案；
（3）分两种情况：①若AB是平行四边形的对角线，②若AB是平行四边形的边，分别进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣6），1），
∵，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣1；
（2）如图7，设直线AB的函数表达式为y＝kx+n，
∵A（0，﹣1），6），
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣5，
令y＝0，得x﹣1＝0，
解得：x＝3，
∴C（2，0），
设P（t，t8﹣t﹣7），
∵点E在直线y＝x﹣3上，
∴t2﹣t﹣1＝，
∴x＝2t2﹣8t，
∴E（2t2﹣5t，t2﹣t﹣1），
∴PE＝t﹣（2t7﹣7t）＝﹣2t8+8t＝﹣2（t﹣8）2+8，
∵PD⊥AB，
∴△PDE∽△AOC，
∵AO＝7，OC＝2，
∴AC＝，
∴△AOC的周长为6+，
令△PDE的周长为l，则＝，
∴l＝•[﹣2（t﹣5）2+8]＝﹣（t﹣2）2++8，
∴当t＝2时，△PDE周长取得最大值+8．
此时，点P的坐标为（2．
（3）如图2，满足条件的点M坐标为（2，（7，（﹣2．
由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x，对称轴为直线x＝2，
①若AB是平行四边形的对角线，
当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，
即MN经过AB的中点C（2，6），
∵点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（5，﹣4），
②若AB是平行四边形的边，
Ⅰ．当MN∥AB且MN＝AB时，
∵A（0，﹣3），1），
∴点M的横坐标为2﹣7＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，12）；
Ⅱ．当NM∥AB且NM＝AB时，
∵A（2，﹣1），1），
∴点M的横坐标为3+4＝6，
∴点M的坐标为（4，12）；
综上所述，点M的坐标为（2，12）或（6．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，当BD＞CD，∠AEC＝150°时的值．
【分析】（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，判断出FA＝FQ，再判断出∠BAD＝∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，再判断出CF＝CE＝2，即可得出结论；
（2）延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，得出AG＝ME，再判断出△ADC≌△AEM（SAS），得出CD＝CM，即可得出结论；
（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，先判断出△ADE是等边三角形，得出AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，∠ACB＝∠ABC＝30°，进而判断出点A，B，C，E四点共圆，得出∠BEC＝∠BAC＝120°，再判断出BE是AD的垂直平分线，也是∠ABC的角平分线，设AG＝a，则DG＝a，进而得出CD＝2a，CE＝DE＝a，AD＝a，再构造直角三角形求出AC，即可得出结论．
【解答】解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，
∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，
∴FA＝FQ，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴FQ＝CF，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
由旋转知，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝7，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BEC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF+∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BEC，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠BEC＝∠CFE，
∴CF＝CE＝2，
∴AF＝FQ＝CF＝；
（2）AG＝CD，
理由：延长BA至点M，使AM＝AB，
∵G是BE的中点，
∴AG＝ME，
∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠DAE＝∠CAM，
∴∠DAC＝∠EAM，
∵AB＝AM，AB＝AC，
∴AC＝AM，
∵AD＝AE，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴CD＝CM，
∴AG＝CD；
（3）如图3，连接DE，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，
在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∴点A，B，C，E四点共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，
∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，
∵AE＝DE，
∴AN＝DN，
∴BD是AD的垂直平分线，
∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴∠ACE＝∠ABE＝15°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝45°＝∠DCE，
∴DE＝CE，
∴AD＝DE，
设AG＝a，则DG＝a，
由（2）知，AG＝，
∴CD＝2AG＝2a，
∴CE＝DE＝CD＝a，
∴AD＝a，
∴DN＝AD＝a，
过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△AHC中，∠ACB＝30°，
∴DH＝a，
根据勾股定理得，CH＝a，
在Rt△AHD中，根据勾股定理得＝a，
∴AC＝AH+CH＝a+a，
∴BD＝a+a，
∴＝＝．
2021年重庆市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．计算3a6÷a的结果是（ ）
A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5
3．不等式x≤2在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
6．计算×﹣的结果是（ ）
A．7 B．6 C．7 D．2
7．如图，点B，F，C，E共线，BF＝EC，添加一个条件（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接OM，过点O作ON⊥OM，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
10．如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝，点C，B，E，F在同一水平线上（参考数据：≈1.41，≈1.73）（ ）
A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
11．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，AB∥x轴，AO⊥AD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y＝（x＞0），与边AB交于点F，连接OE，EF．若S△EOF＝，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．计算：|3|﹣（π﹣1）0＝ ．
14．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ．
15．若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为 ．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，C为圆心，AO长为半径画弧，CD于点E，F．若BD＝4，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
17．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，AC，BC上，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 ．
18．某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）.请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；
（2）（1﹣）÷．
20．（10分）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，1.1，1.1，1.7，1.9
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.2．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
1.3
1.1
a
0.26
40%
八年级
1.3
b
1.0
0.23
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
21．如图，在▱ABCD中，AB＞AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，并证明你的结论．
22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
0
4
0
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质；
（3）已知函数y＝﹣x+3的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式﹣的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
24．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，称为“合分解”．
例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234＝18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）（M）＝，当G（M）能被4整除时
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，当BD＞CD，∠AEC＝150°时的值．
2021年重庆市中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】根据相反数的表示方法：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：2的相反数是﹣2．
故选：A．
2．计算3a6÷a的结果是（ ）
A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5
【分析】直接利用单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式，计算得出答案．
【解答】解：3a6÷a＝2a5．
故选：D．
3．不等式x≤2在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先在数轴上找出表示数2的点，再向数轴的负方向画出即可．
【解答】解：不等式x≤2的解集在数轴上表示为：
，
故选：D．
4．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【分析】根据位似图形的概念得到BC∥EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，即△ABC与△DEF的相似比为3：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，
故选：A．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝100°，
故选：B．
6．计算×﹣的结果是（ ）
A．7 B．6 C．7 D．2
【分析】根据二次根式的乘法法则和减法法则运算．
【解答】解：原式＝×﹣
＝××﹣
＝2﹣
＝2．
故选：B．
7．如图，点B，F，C，E共线，BF＝EC，添加一个条件（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，
∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS）；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS）；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF；
当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故选项D不符合题意；
故选：C．
8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
5s时，甲无人机上升了40m，故选项A错误；
甲无人机的速度为：40÷5＝7（m/s），乙无人机的速度为：（40﹣20）÷5＝4（m/s）；
则10s时，两架无人机的高度差为：（8×10）﹣（20+4×10）＝20（m）；
10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10＝80（m）；
故选：B．
9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接OM，过点O作ON⊥OM，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是8，
∵AB2＝4，
∴AB＝8，
故选：C．
10．如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝，点C，B，E，F在同一水平线上（参考数据：≈1.41，≈1.73）（ ）
A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
【分析】根据正切的定义求出MB，根据坡度的概念求出DE，进而求出ND，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△MCB中，∠MCB＝60°，tan∠MCB＝，
∴MB＝CB•tan∠MCB＝30×≈51.9（m），
∵山坡DF的坡度i＝3：1.25，EF＝50m，
∴DE＝40（m），
∵ND＝DE，
∴ND＝25（m），
∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差＝40+25﹣51.9＝13.1（m），
故选：C．
11．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴6，
∴a＜7；
分式方程两边都乘（y﹣8）得：y+2a﹣3y+7＝2（y﹣1），
解得：y＝，
∵方程的解是正整数，
∴＞0，
∴a＞﹣5；
∵y﹣3≠0，
∴1，
∴a≠﹣3，
∴﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，
∴能使是正整数的a是：﹣1，8，3，5，
∴和为2，
故选：B．
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，AB∥x轴，AO⊥AD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y＝（x＞0），与边AB交于点F，连接OE，EF．若S△EOF＝，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，可得AG⊥x轴；利用AO⊥AD，AO＝AD可得△ADE≌△OAG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四边形ABCD是菱形，可得AD＝CD＝DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA＝3a，EG＝AE+AG＝7a，可得E点坐标为（3a，7a），所以k＝21a2．由于AGHF为矩形，FH＝AG＝4a，可得点F的坐标为（，4a），这样OH＝a，GH＝OH﹣OG＝；利用S△OEF＝S△OEG+S梯形EGHF﹣S△OFH，列出关于a的方程，求得a的值，k的值可求．
【解答】解：延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，
∵AB∥x轴，AE⊥CD，
∴AG⊥x轴．
∵AO⊥AD，
∴∠DAE+∠OAG＝90°．
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠D＝90°．
∴∠D＝∠OAG．
在△DAE和△AOG中，
．
∴△DAE≌△AOG（AAS）．
∴DE＝AG，AE＝OG．
∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，
∴AD＝CD＝DE．
设DE＝4a，则AD＝OA＝5a．
∴OG＝AE＝．
∴EG＝AE+AG＝3a．
∴E（3a，7a）．
∵反比例函数y＝（x＞4）的图象经过点E，
∴k＝21a2．
∵AG⊥GH，AH⊥GH，
∴四边形AGHF为矩形．
∴HF＝AG＝4a．
∵点F在反比例函数y＝（x＞7）的图象上，
∴y＝．
∴F（）．
∴OH＝a．
∴GH＝OH﹣OG＝．
∵S△OEF＝S△OEG+S梯形EGHF﹣S△OFH，S△EOF＝，
∴．
××﹣＝．
解得：a2＝．
∴k＝21a2＝21×＝．
故选：A．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．计算：|3|﹣（π﹣1）0＝ 2 ．
【分析】首先计算零指数幂和绝对值，然后计算减法，求出算式的值即可．
【解答】解：|3|﹣（π﹣1）5
＝3﹣1
＝7．
故答案为：2．
14．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，
∴两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率为＝，
故答案为：．
15．若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为 3 ．
【分析】把x＝2代入方程+a＝4得出+a＝4，再求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝2代入方程+a＝4得：，
解得：a＝3，
故答案为：2．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，C为圆心，AO长为半径画弧，CD于点E，F．若BD＝4，则图中阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO和扇形CFO的面积之和．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝OB＝OD
∴OA＝OC＝2，∠ACD＝∠CAB＝36°，
∴图中阴影部分的面积为：4×＝π，
故答案为：π．
17．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，AC，BC上，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 5 ．
【分析】由沿直线DE翻折，点A与点F重合可知：DE垂直平分AF，因为DE∥BC，所以DE为△ABC的中位线，DE＝BC＝5；由折叠可得AE＝EF，因为AF＝EF，可得△AEF为等边三角形，∠FAC＝60°；在Rt△AFC中，解直角三角形可得AF的长，四边形ADFE的面积为DE×AF，结论可得．
【解答】解：∵纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，
∴DE垂直平分AF．
∴AD＝DF，AE＝EF．
∵DE∥BC，
∴DE为△ABC的中位线．
∴DE＝BC＝（4+6）＝6．
∵AF＝EF，
∴△AEF为等边三角形．
∴∠FAC＝60°．
在Rt△AFC中，
∵tan∠FAC＝，
∴AF＝＝2．
∴四边形ADFE的面积为：DE×AF＝＝5．
故答案为：5．
18．某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3 9：10 ．
【分析】根据三种饮料的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即五月份A、B、C三种饮料的销售的数量和单价分别为3a、2a、4a；b、2b、b．可以表示出五月份各种饮料的销售额和总销售额．因问题中涉及到A的五月销售数量，因此可以设六月份A的销售量为x，再根据A六月份的单价求出六月份A的销售额，和B的销售额．可以根据饮料增加的销售额占六月份销售总额比，用未知数列出等式关键即可求解出．
【解答】解：由题意可设五月份A、B、C三种饮料的销售的数量为3a、4a、3b、b．
∴A饮料的六月销售额为b（1+20%）x＝1.6bx，B饮料的六月销售额为1.2bx÷4×3＝1.3bx．
∴A、B饮料增加的销售额为分别1.2bx﹣4ab．
又∵B、C饮料增加的销售额之比为2：1，
∴C饮料增加的销售额为（4.8bx﹣4ab）÷7＝0.9bx﹣3ab，
∴C饮料六月的销售额为0.9bx﹣5ab+4ab＝0.7bx+2ab．
∵A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，
∴（8.2bx﹣3ab）÷＝1.2bx+5.8bx+0.8bx+2ab，
∴18bx﹣45ab＝3.3bx+2ab，
∴＝．
即A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为9：10．
故答案为9：10．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）.请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；
（2）（1﹣）÷．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；
（2）括号内先通分，然后根据分式的减法法则和除法法则计算即可．
【解答】解：（1）（x﹣y）2+x（x+2y）
＝x6﹣2xy+y2+x8+2xy
＝2x4+y2；
（2）（1﹣）÷
＝（）
＝
＝
＝．
20．（10分）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，1.1，1.1，1.7，1.9
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.2．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
1.3
1.1
a
0.26
40%
八年级
1.3
b
1.0
0.23
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求解．
（2）用抽测的百分比乘总体即可求解．
（3）从众数，中位数、A等级的百分比、方差进行评论即可．
【解答】解：（1）由题可知：a＝0.8，b＝4.0．
（2）∵八年级抽测的10个班级中，A等级的百分比是20%．
∴估计该校八年级共30个班这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6（个）．
答：该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为5个．
（3）七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数0.8，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数7.0．
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的20%．
八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.2低于七年级各班餐厨质量垃圾的中位数1.1．
②八年级各班餐厨垃圾质量的方差8.23低于七年级各班餐厨质量垃圾的方差0.26．
21．如图，在▱ABCD中，AB＞AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，并证明你的结论．
【分析】（1）利用基本作图画出对应的几何图形；
（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，则∠CDE＝∠AED，∠ADC+∠BCD＝180°，再证明∠CDE＝∠ADC，∠FCD＝∠BCD，从而得到∠CDE+∠FCD＝90°，于是可判断△CDP为直角三角形．
【解答】解：（1）如图，AE；
（2）△CDP为直角三角形．
理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CDE＝∠AED，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，
∵CF平分∠BCD，
∴∠FCD＝∠BCD，
∴∠CDE+∠FCD＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴△CDP为直角三角形．
22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
0
4
0
﹣
﹣
﹣
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质；
（3）已知函数y＝﹣x+3的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式﹣的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可；
（2）观察图象可知当x＜0时，y随x值的增大而增大；
（3）利用图象即可解决问题．
【解答】解：（1）把下表补充完整如下：
x
…
﹣5
﹣4
﹣6
﹣2
﹣1
6
1
2
5
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
3
6
7
﹣
﹣
…
函数y＝的图象如图所示：
（2）①该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，函数取得最大值4；
③当x＜0时，y随x的增大而增大：当x＞4时；
（3）由图象可知，不等式﹣的解集为x＜﹣0.3或6＜x＜2．
23．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
【分析】（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据1件A产品与1件B产品售价和为500元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据总销售额＝销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，
依题意得：x+100+x＝500，
解得：x＝200，
∴x+100＝300．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，
依题意得：300（1+a%）t+200（1+7a%）（1﹣a%）t＝500t（1+a%），
设a%＝m，则原方程可化简为3m2﹣m＝0，
解得：m4＝，m4＝0（不合题意，舍去），
∴a＝20．
答：a的值为20．
24．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，称为“合分解”．
例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234＝18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）（M）＝，当G（M）能被4整除时
【分析】（1）根据“合和数”的定义直接判定即可；
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，得出P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|，当G（M）能被4整除时，设值为4k，对m+5＝8或12进行讨论．
【解答】解：（1）∵168＝12×14，2+4≠10，
∴168不是“合和数”．
∵621＝23×27，十位数字相同，
∴621是“合和数”．
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，n为自然数，6≤n≤9），
则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，
∴P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|6n﹣10|．
∴G（M）＝＝＝＝4k（k是整数）．
∵8≤m≤9，
∴8≤m+3≤14，
∵k是整数，
∴m+5＝8或m+8＝12，
①当m+5＝8时，
或，
∴M＝36×34＝1224或M＝37×33＝1221，
②当m+5＝12时，
或，
∴M＝76×74＝5624或M＝78×72＝5616．
综上，满足条件的M有：1224，5624．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标
【分析】（1）利用待定系数法将A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝x2+bx+c，即可求得答案；
（2）先运用待定系数法求出AB的函数表达式，设P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，根据点E在直线y＝x﹣1上，PE∥x轴，可得出PE＝﹣2（t﹣2）2+8，再根据△PDE∽△AOC，即可得到△PDE的周长l＝﹣（t﹣2）2++8，运用二次函数最值方法即可求出答案；
（3）分两种情况：①若AB是平行四边形的对角线，②若AB是平行四边形的边，分别进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣6），1），
∵，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣1；
（2）如图7，设直线AB的函数表达式为y＝kx+n，
∵A（0，﹣1），6），
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣5，
令y＝0，得x﹣1＝0，
解得：x＝3，
∴C（2，0），
设P（t，t8﹣t﹣7），
∵点E在直线y＝x﹣3上，
∴t2﹣t﹣1＝，
∴x＝2t2﹣8t，
∴E（2t2﹣5t，t2﹣t﹣1），
∴PE＝t﹣（2t7﹣7t）＝﹣2t8+8t＝﹣2（t﹣8）2+8，
∵PD⊥AB，
∴△PDE∽△AOC，
∵AO＝7，OC＝2，
∴AC＝，
∴△AOC的周长为6+，
令△PDE的周长为l，则＝，
∴l＝•[﹣2（t﹣5）2+8]＝﹣（t﹣2）2++8，
∴当t＝2时，△PDE周长取得最大值+8．
此时，点P的坐标为（2．
（3）如图2，满足条件的点M坐标为（2，（7，（﹣2．
由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x，对称轴为直线x＝2，
①若AB是平行四边形的对角线，
当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，
即MN经过AB的中点C（2，6），
∵点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（5，﹣4），
②若AB是平行四边形的边，
Ⅰ．当MN∥AB且MN＝AB时，
∵A（0，﹣3），1），
∴点M的横坐标为2﹣7＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，12）；
Ⅱ．当NM∥AB且NM＝AB时，
∵A（2，﹣1），1），
∴点M的横坐标为3+4＝6，
∴点M的坐标为（4，12）；
综上所述，点M的坐标为（2，12）或（6．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，当BD＞CD，∠AEC＝150°时的值．
【分析】（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，判断出FA＝FQ，再判断出∠BAD＝∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，再判断出CF＝CE＝2，即可得出结论；
（2）延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，得出AG＝ME，再判断出△ADC≌△AEM（SAS），得出CD＝CM，即可得出结论；
（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，先判断出△ADE是等边三角形，得出AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，∠ACB＝∠ABC＝30°，进而判断出点A，B，C，E四点共圆，得出∠BEC＝∠BAC＝120°，再判断出BE是AD的垂直平分线，也是∠ABC的角平分线，设AG＝a，则DG＝a，进而得出CD＝2a，CE＝DE＝a，AD＝a，再构造直角三角形求出AC，即可得出结论．
【解答】解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，
∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，
∴FA＝FQ，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴FQ＝CF，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
由旋转知，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝7，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BEC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF+∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BEC，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠BEC＝∠CFE，
∴CF＝CE＝2，
∴AF＝FQ＝CF＝；
（2）AG＝CD，
理由：延长BA至点M，使AM＝AB，
∵G是BE的中点，
∴AG＝ME，
∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠DAE＝∠CAM，
∴∠DAC＝∠EAM，
∵AB＝AM，AB＝AC，
∴AC＝AM，
∵AD＝AE，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴CD＝CM，
∴AG＝CD；
（3）如图3，连接DE，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，
在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∴点A，B，C，E四点共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，
∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，
∵AE＝DE，
∴AN＝DN，
∴BD是AD的垂直平分线，
∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴∠ACE＝∠ABE＝15°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝45°＝∠DCE，
∴DE＝CE，
∴AD＝DE，
设AG＝a，则DG＝a，
由（2）知，AG＝，
∴CD＝2AG＝2a，
∴CE＝DE＝CD＝a，
∴AD＝a，
∴DN＝AD＝a，
过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△AHC中，∠ACB＝30°，
∴DH＝a，
根据勾股定理得，CH＝a，
在Rt△AHD中，根据勾股定理得＝a，
∴AC＝AH+CH＝a+a，
∴BD＝a+a，
∴＝＝．
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