陕西省2021年中考数学真题

2021年陕西省中考数学试卷

A卷

第一部分（选择题共24分）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分每小题只有一个选项是符合题意的）

1.计算：

A.1 B.-1 C.6 D.-6

2.下列图形中，是轴对称图形的是

A. B. C. D.

3.计算：

A. B. C. D.

4.如图，点D、E分别在线段、上，连接、.若，，，则的大小为

A.60° B.70° C.75° D.85°

5.如图，在菱形中，，连接、，则的值为

A. B. C. D.

6.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的图象，则m的值为

A.-5 B.5 C.-6 D.6

7.如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线。若，，则线段的长度为

A.6 cm B.7 cm C. D.8cm

8.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

下列各选项中，正确的是

A.这个函数的图象开口向下

B.这个函数的图象与x轴无交点

C.这个函数的最小值小于-6

D.当时，y的值随x值的增大而增大

第二部分（非选择题  共96分）

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.分解因式：______.

10.正九边形一个内角的度数为______.

11.幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图。如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______.

12.若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是______（填“>”、“=”或“<”）

13.如图，正方形的边长为4，的半径为1.若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______.

三、解答题（共13小题，计81分解答应写出过程）

14.本题满分5分）

计算：.

15.（本题满分5分）

解不等式组：

16.（本题满分5分）

解方程：.

17.（本题满分5分）

如图，已知直线，直线分别与、交于点、.请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）

18.（本题满分5分）

如图，，，点在上，且.

求证：.

19.（本题满分5分）

一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求这种服装每件的标价.

20.（本题满分5分）

从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6.

（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为；

（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀。从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张。请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率.

21.（本题满分6分）

一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示。小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度，他们测得为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m.已知点B、C、D共线，.求钢索的长度.（结果保留根号）

22.（本题满分7分）

今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行。某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况.他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）这60天的日平均气温的中位数为______，众数为______；

（2）求这60天的日平均气温的平均数；

（3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”.请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数。

23.（本题满分7分）

在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离与时间之间的关系如图所示.

（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是______；

（2）求的函数表达式；

（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.

24.（本题满分8分）

如图，是的直径，点E、F在上，且，连接、，过点作的切线，分别与、的延长线交于点C、D.

（1）求证：；

（2）若，，求线段的长.

25、已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与Y轴交于点C。

（1）求点B、C的坐标；

（2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

26.（本题满分10分）

问题提出

（1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积.（结果保留根号）

问题解决

（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境。如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，.已知五边形中，，，，，.满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由.

数学学科

参考答案及评分标准

A卷

第一部分（选择题共24分）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1.D  2.B  3.A  4.B  5.D  6.A  7.C  8.C 

第二部分（非选择题共96分）

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9. 10.140° 11.-2 13.

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.解：原式

.

15.（本题满分5分）

解：由，得.

由，得.

∴原不等式组的解集为.

16.（本题满分5分）

解：

，

.

.

经检验，是原方程的根.

17.（本题满分5分）

解：如图所示，点即为所求.

18.（本题满分5分）

证明∵，

∴.

∵，，

∴

∴.

19.

解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得

。

解之，得

∴这种服装每件的标价是110元.

20.

解：列表如下：

由上表可知，共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种，

∴.

21.

解：在中，设.

∵，，

∴.

在中，，，

∴，

即.

解之，得

∴

∴钢索的长度约为.

22.

解：（2）

∴这60天的日平均气温的平均数为20℃.

（3）∵

∴预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天.

23.（1）1

（2）设的表达式，则

解之，得

∴.

（3）令，则.∴.

∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为.

24.

如图，（1）证明：取的中点M，连接、.

∵，∴.

∴.

∵，.

（2）解：连接.

∵是的切线，

∴.

由（1），知，

∴

∴

∴.

∴.

∵是的直径，

∴.

∵，

∴.

∴，∴.

25.

解：（1）令，则，

∴，

∴.

令，则.∴.

（2）存在。由已知得，该抛物线的对称轴为直线.

∵点与点关于直线对称，∴，.

∴.

∵点P在y轴上，

∴

∴当时，.

设，

i）当时，则，∴.

∴

ii）当时，则，∴

∴.

iii）当时，则，与矛盾。∴点P不存在

∴或.

26.

解：（1）在中，设边上的高为h.

∵，，∴

∵，∴点到的距离为.

∴

.

（2）存在。如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形.

设，则

， ， ，.

由题意，易知，

∴

.

∴当时，.

，.

∴符合设计要求的四边形面积的最小值为，

这时，点N到点A的距离为.

B卷