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2020年浙江省湖州市中考数学试卷
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这是一份2020年浙江省湖州市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（3分）数4的算术平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．2
2．（3分）近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为（ ）
A．991×103 B．99.1×104 C．9.91×105 D．9.91×106
3．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
5．（3分）数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
7．（3分）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B．12 C．22 D．32
8．（3分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y=2x+2 C．y＝4x+2 D．y=233x+2
9．（3分）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（ ）
A．DC＝DT B．AD=2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
10．（3分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）
A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：﹣2﹣1＝ ．
12．（4分）化简：x+1x2+2x+1= ．
13．（4分）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
14．（4分）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，
第二次
第一次
白
红Ⅰ
红Ⅱ
白
白，白
白，红Ⅰ
白，红Ⅱ
红Ⅰ
红Ⅰ，白
红Ⅰ，红Ⅰ
红Ⅰ，红Ⅱ
红Ⅱ
红Ⅱ，白
红Ⅱ，红Ⅰ
红Ⅱ，红Ⅱ
则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
15．（4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．
16．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：8+|2-1|．
18．（6分）解不等式组3x-2＜x，①13x＜-2，②．
19．（6分）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
20．（8分）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
21．（8分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求CD的长．
22．（10分）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
23．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP=12AC；
（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝62，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；
（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（3分）数4的算术平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．2
【解答】解：∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选：A．
2．（3分）近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为（ ）
A．991×103 B．99.1×104 C．9.91×105 D．9.91×106
【解答】解：将991000用科学记数法表示为：9.91×105．
故选：C．
3．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵主视图和左视图是三角形，
∴几何体是锥体，
∵俯视图的大致轮廓是圆，
∴该几何体是圆锥．
故选：A．
4．（3分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
5．（3分）数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
【解答】解：x=-1+0+3+4+45=2，
故选：D．
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（3分）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B．12 C．22 D．32
【解答】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，
∴菱形ABC′D′的面积为12AB2，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是12．
故选：B．
8．（3分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y=2x+2 C．y＝4x+2 D．y=233x+2
【解答】解：∵直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．
∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）
A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
B、y=2x+2与x轴的交点为（-2，0）；故直线y=2x+2与x轴的交点在线段AB上；
C、y＝4x+2与x轴的交点为（-12，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
D、y=233x+2与x轴的交点为（-3，0）；故直线y=233x+2与x轴的交点在线段AB上；
故选：C．
9．（3分）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（ ）
A．DC＝DT B．AD=2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
【解答】解：如图，连接OD．
∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC＝DT，故选项A正确，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DC是切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD＝DT，
∴AC=2CD=2DT，故选项B正确，
∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC＝∠DOT，
∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，
∴∠AOT＝∠BOT＝45°，
∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°，
∴∠BOD＝∠ODB＝67.5°，
∴BO＝BD，故选项C正确，
故选：D．
10．（3分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）
A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2
【解答】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：﹣2﹣1＝ ﹣3 ．
【解答】解：﹣2﹣1
＝﹣3
故答案为：﹣3
12．（4分）化简：x+1x2+2x+1= 1x+1 ．
【解答】解：x+1x2+2x+1
=x+1(x+1)2
=1x+1．
故答案为：1x+1．
13．（4分）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 3 ．
【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH=12CD＝4，
在Rt△OCH中，OH=52-42=3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
14．（4分）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，
第二次
第一次
白
红Ⅰ
红Ⅱ
白
白，白
白，红Ⅰ
白，红Ⅱ
红Ⅰ
红Ⅰ，白
红Ⅰ，红Ⅰ
红Ⅰ，红Ⅱ
红Ⅱ
红Ⅱ，白
红Ⅱ，红Ⅰ
红Ⅱ，红Ⅱ
则两次摸出的球都是红球的概率是 49 ．
【解答】解：根据图表给可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，
则两次摸出的球都是红球的概率为49；
故答案为：49．
15．（4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 52 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB=5，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为62，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=10，EF＝210，DF＝52的三角形，
∵101=2102=525=10，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：10×210÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：52．
故答案为：52．
16．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是 83 ．
【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD=12k，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴S△OCES△OAB=14，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×12k＝2+2+12k，
∴k=83，
故答案为：83．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：8+|2-1|．
【解答】解：原式＝22+2-1＝32-1．
18．（6分）解不等式组3x-2＜x，①13x＜-2，②．
【解答】解：3x-2＜x①13x＜-2②，
解①得x＜1；
解②得x＜﹣6．
故不等式组的解集为x＜﹣6．
19．（6分）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC于E，
∵OA＝OC，∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA=180°-120°2=30°，
∴h＝BE＝AB•sin30°＝110×12=55；
（2）过点B作BE⊥AC于E，
∵OA＝OC，∠AOC＝74°，
∴∠OAC＝∠OCA=180°-74°2=53°，
∴AB＝BE÷sin53°＝120÷0.8＝150（cm），
即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm．
20．（8分）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
【解答】解：（1）抽查的学生数：20÷40%＝50（人），
抽查人数中“基本满意”人数：50﹣20﹣15﹣1＝14（人），补全的条形统计图如图所示：
（2）360°×1550=108°，
答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为108°；
（3）1000×（2050+1550）＝700（人），
答：该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有700人．
21．（8分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求CD的长．
【解答】解：（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴CD=AC，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴CD的长=12×12×π×6=32π．
22．（10分）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【解答】解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：
x+y=5020(25x+30y)=27000，
解得x=30y=20．
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产．
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
2700030×25×(1+20%)+20×30=2700030×25+(20+m)×30，
解得m＝5．
经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．
∴乙车间需临时招聘5名工人．
②企业完成生产任务所需的时间为：
2700030×25×(1+20%)+20×30=18（天）．
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500＝17700（元）．
选择方案二需增加的费用为5×18×200＝18000（元）．
∵17700＜18000，
∴选择方案一能更节省开支．
23．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP=12AC；
（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝62，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；
（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠A＝60°，
由题意，得DB＝DP，DA＝DB，
∴DA＝DP，
∴△ADP使得等边三角形，
∴AP＝AD=12AB=12AC．
（2）解：∵AC＝BC＝62，∠C＝90°，
∴AB=AC2+BC2=(62)2+(62)2=12，
∵DH⊥AC，
∴DH∥BC，
∴△ADH∽△ABC，
∴DHBC=ADAB，
∵AD＝7，
∴DH62=712，
∴DH=722，
将∠B沿过点D的直线折叠，
情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图2﹣1中，
∵AB＝12，
∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，
∴HP1=DP12-DH2=52-(722)2=22，
∴A1＝AH+HP1＝42，
情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2﹣2中，
同法可证HP2=22，
∴AP2＝AH﹣HP2＝32，
综上所述，满足条件的AP的值为42或32．
（3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．
∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝6，
∴CH=AC2-AH2=102-62=8，
当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，
∵tanA=CHAC=PDAD，
∴810=x12-x，
∴x=163，
∴AD＝AB﹣BD=203，
观察图形可知当6＜a＜203时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵AC∥x轴，点A（﹣2，1），
∴C（0，1），
将点A（﹣2，1），C（0，1）代入抛物线解析式中，得-4-2b+c=1c=1，
∴b=-2c=1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；
②如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F，
∵AC∥x轴，
∴EF＝OC＝c，
∵点D是抛物线的顶点坐标，
∴D（b2，c+b24），
∴DF＝DE﹣EF＝c+b24-c=b24，
∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AD＝DO，AD∥OB，
∴∠DAF＝∠OBC，
∵∠AFD＝∠BCO＝90°，
∴△AFD≌△BCO（AAS），
∴DF＝OC，
∴b24=c，
即b2＝4c；
（2）如图2，∵b＝﹣2．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c，
∴顶点坐标D（﹣1，c+1），
假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形，
设点A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），
过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F，
∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，
∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AD＝BO，AD∥OB，
∴∠DAF＝∠OBC，
∴△AFD≌△BCO（AAS），
∴AF＝BC，DF＝OC，
过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N，
∴DE∥CO，
∴△ANF∽△AMC，
∴ANAM=FNCM=AFAC=BCAC=35，
∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，
∴-m-1-m=35，
∴m=-52，
∴点A的纵坐标为﹣（-52）2﹣2×（-52）+c＝c-54＜c，
∵AM∥x轴，
∴点M的坐标为（0，c-54），N（﹣1，c-54），
∴CM＝c﹣（c-54）=54，
∵点D的坐标为（﹣1，c+1），
∴DN＝（c+1）﹣（c-54）=94，
∵DF＝OC＝c，
∴FN＝DN﹣DF=94-c，
∵FNCM=35，
∴94-c54=35，
∴c=32，
∴c-54=14，
∴点A纵坐标为14，
∴A（-52，14），
∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形．
2020年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（3分）数4的算术平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．2
2．（3分）近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为（ ）
A．991×103 B．99.1×104 C．9.91×105 D．9.91×106
3．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
5．（3分）数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
7．（3分）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B．12 C．22 D．32
8．（3分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y=2x+2 C．y＝4x+2 D．y=233x+2
9．（3分）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（ ）
A．DC＝DT B．AD=2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
10．（3分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）
A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：﹣2﹣1＝ ．
12．（4分）化简：x+1x2+2x+1= ．
13．（4分）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
14．（4分）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，
第二次
第一次
白
红Ⅰ
红Ⅱ
白
白，白
白，红Ⅰ
白，红Ⅱ
红Ⅰ
红Ⅰ，白
红Ⅰ，红Ⅰ
红Ⅰ，红Ⅱ
红Ⅱ
红Ⅱ，白
红Ⅱ，红Ⅰ
红Ⅱ，红Ⅱ
则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
15．（4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．
16．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：8+|2-1|．
18．（6分）解不等式组3x-2＜x，①13x＜-2，②．
19．（6分）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
20．（8分）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
21．（8分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求CD的长．
22．（10分）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
23．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP=12AC；
（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝62，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；
（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（3分）数4的算术平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．2
【解答】解：∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选：A．
2．（3分）近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为（ ）
A．991×103 B．99.1×104 C．9.91×105 D．9.91×106
【解答】解：将991000用科学记数法表示为：9.91×105．
故选：C．
3．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵主视图和左视图是三角形，
∴几何体是锥体，
∵俯视图的大致轮廓是圆，
∴该几何体是圆锥．
故选：A．
4．（3分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
5．（3分）数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
【解答】解：x=-1+0+3+4+45=2，
故选：D．
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（3分）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B．12 C．22 D．32
【解答】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，
∴菱形ABC′D′的面积为12AB2，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是12．
故选：B．
8．（3分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y=2x+2 C．y＝4x+2 D．y=233x+2
【解答】解：∵直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．
∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）
A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
B、y=2x+2与x轴的交点为（-2，0）；故直线y=2x+2与x轴的交点在线段AB上；
C、y＝4x+2与x轴的交点为（-12，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
D、y=233x+2与x轴的交点为（-3，0）；故直线y=233x+2与x轴的交点在线段AB上；
故选：C．
9．（3分）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（ ）
A．DC＝DT B．AD=2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
【解答】解：如图，连接OD．
∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC＝DT，故选项A正确，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DC是切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD＝DT，
∴AC=2CD=2DT，故选项B正确，
∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC＝∠DOT，
∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，
∴∠AOT＝∠BOT＝45°，
∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°，
∴∠BOD＝∠ODB＝67.5°，
∴BO＝BD，故选项C正确，
故选：D．
10．（3分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）
A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2
【解答】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：﹣2﹣1＝ ﹣3 ．
【解答】解：﹣2﹣1
＝﹣3
故答案为：﹣3
12．（4分）化简：x+1x2+2x+1= 1x+1 ．
【解答】解：x+1x2+2x+1
=x+1(x+1)2
=1x+1．
故答案为：1x+1．
13．（4分）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 3 ．
【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH=12CD＝4，
在Rt△OCH中，OH=52-42=3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
14．（4分）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，
第二次
第一次
白
红Ⅰ
红Ⅱ
白
白，白
白，红Ⅰ
白，红Ⅱ
红Ⅰ
红Ⅰ，白
红Ⅰ，红Ⅰ
红Ⅰ，红Ⅱ
红Ⅱ
红Ⅱ，白
红Ⅱ，红Ⅰ
红Ⅱ，红Ⅱ
则两次摸出的球都是红球的概率是 49 ．
【解答】解：根据图表给可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，
则两次摸出的球都是红球的概率为49；
故答案为：49．
15．（4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 52 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB=5，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为62，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=10，EF＝210，DF＝52的三角形，
∵101=2102=525=10，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：10×210÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：52．
故答案为：52．
16．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是 83 ．
【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD=12k，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴S△OCES△OAB=14，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×12k＝2+2+12k，
∴k=83，
故答案为：83．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：8+|2-1|．
【解答】解：原式＝22+2-1＝32-1．
18．（6分）解不等式组3x-2＜x，①13x＜-2，②．
【解答】解：3x-2＜x①13x＜-2②，
解①得x＜1；
解②得x＜﹣6．
故不等式组的解集为x＜﹣6．
19．（6分）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC于E，
∵OA＝OC，∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA=180°-120°2=30°，
∴h＝BE＝AB•sin30°＝110×12=55；
（2）过点B作BE⊥AC于E，
∵OA＝OC，∠AOC＝74°，
∴∠OAC＝∠OCA=180°-74°2=53°，
∴AB＝BE÷sin53°＝120÷0.8＝150（cm），
即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm．
20．（8分）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
【解答】解：（1）抽查的学生数：20÷40%＝50（人），
抽查人数中“基本满意”人数：50﹣20﹣15﹣1＝14（人），补全的条形统计图如图所示：
（2）360°×1550=108°，
答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为108°；
（3）1000×（2050+1550）＝700（人），
答：该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有700人．
21．（8分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求CD的长．
【解答】解：（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴CD=AC，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴CD的长=12×12×π×6=32π．
22．（10分）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【解答】解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：
x+y=5020(25x+30y)=27000，
解得x=30y=20．
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产．
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
2700030×25×(1+20%)+20×30=2700030×25+(20+m)×30，
解得m＝5．
经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．
∴乙车间需临时招聘5名工人．
②企业完成生产任务所需的时间为：
2700030×25×(1+20%)+20×30=18（天）．
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500＝17700（元）．
选择方案二需增加的费用为5×18×200＝18000（元）．
∵17700＜18000，
∴选择方案一能更节省开支．
23．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP=12AC；
（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝62，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；
（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠A＝60°，
由题意，得DB＝DP，DA＝DB，
∴DA＝DP，
∴△ADP使得等边三角形，
∴AP＝AD=12AB=12AC．
（2）解：∵AC＝BC＝62，∠C＝90°，
∴AB=AC2+BC2=(62)2+(62)2=12，
∵DH⊥AC，
∴DH∥BC，
∴△ADH∽△ABC，
∴DHBC=ADAB，
∵AD＝7，
∴DH62=712，
∴DH=722，
将∠B沿过点D的直线折叠，
情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图2﹣1中，
∵AB＝12，
∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，
∴HP1=DP12-DH2=52-(722)2=22，
∴A1＝AH+HP1＝42，
情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2﹣2中，
同法可证HP2=22，
∴AP2＝AH﹣HP2＝32，
综上所述，满足条件的AP的值为42或32．
（3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．
∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝6，
∴CH=AC2-AH2=102-62=8，
当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，
∵tanA=CHAC=PDAD，
∴810=x12-x，
∴x=163，
∴AD＝AB﹣BD=203，
观察图形可知当6＜a＜203时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵AC∥x轴，点A（﹣2，1），
∴C（0，1），
将点A（﹣2，1），C（0，1）代入抛物线解析式中，得-4-2b+c=1c=1，
∴b=-2c=1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；
②如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F，
∵AC∥x轴，
∴EF＝OC＝c，
∵点D是抛物线的顶点坐标，
∴D（b2，c+b24），
∴DF＝DE﹣EF＝c+b24-c=b24，
∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AD＝DO，AD∥OB，
∴∠DAF＝∠OBC，
∵∠AFD＝∠BCO＝90°，
∴△AFD≌△BCO（AAS），
∴DF＝OC，
∴b24=c，
即b2＝4c；
（2）如图2，∵b＝﹣2．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c，
∴顶点坐标D（﹣1，c+1），
假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形，
设点A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），
过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F，
∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，
∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AD＝BO，AD∥OB，
∴∠DAF＝∠OBC，
∴△AFD≌△BCO（AAS），
∴AF＝BC，DF＝OC，
过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N，
∴DE∥CO，
∴△ANF∽△AMC，
∴ANAM=FNCM=AFAC=BCAC=35，
∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，
∴-m-1-m=35，
∴m=-52，
∴点A的纵坐标为﹣（-52）2﹣2×（-52）+c＝c-54＜c，
∵AM∥x轴，
∴点M的坐标为（0，c-54），N（﹣1，c-54），
∴CM＝c﹣（c-54）=54，
∵点D的坐标为（﹣1，c+1），
∴DN＝（c+1）﹣（c-54）=94，
∵DF＝OC＝c，
∴FN＝DN﹣DF=94-c，
∵FNCM=35，
∴94-c54=35，
∴c=32，
∴c-54=14，
∴点A纵坐标为14，
∴A（-52，14），
∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形．
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