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2020年四川省遂宁市中考数学试卷
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这是一份2020年四川省遂宁市中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算或解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）
1．（4分）﹣5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．15 D．-15
2．（4分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．7ab﹣5a＝2b B．（a+1a）2＝a2+1a2
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．3a2b÷b＝3a2
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
5．（4分）函数y=x+2x-1中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1
6．（4分）关于x的分式方程mx-2-32-x=1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（ ）
A．12 B．13 C．23 D．34
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD=2，则图中阴影部分面积为（ ）
A．4-π2 B．2-π2 C．2﹣π D．1-π4
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE=102AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）下列各数3.1415926，9，1.212212221…，17，2﹣π，﹣2020，34中，无理数的个数有 个．
12．（4分）一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是 ．
13．（4分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 度．
14．（4分）若关于x的不等式组x-24＜x-132x-m≤2-x有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ．
15．（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若2a1+2a2+2a3+⋯+2an=n2020．（n为正整数），则n的值为 ．
三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：8-2sin30°﹣|1-2|+（12）﹣2﹣（π﹣2020）0．
17．（7分）先化简，（x2+4x+4x2-4-x﹣2）÷x+2x-2，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：EF=ED．
（3）若sin∠ABC═35，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）
1．（4分）﹣5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．15 D．-15
【解答】解：﹣5的相反数是5，
故选：A．
2．（4分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107
【解答】解：0.000000823＝8.23×10﹣7．
故选：B．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．7ab﹣5a＝2b B．（a+1a）2＝a2+1a2
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．3a2b÷b＝3a2
【解答】解：7ab与﹣5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确；
根据完全平方公式可得（a+1a）2＝a2+1a2+2，因此选项B不正确；
（﹣3a2b）2＝9a4b2，因此选项C不正确；
3a2b÷b＝3a2，因此选项D正确；
故选：D．
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不合题意；
C、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
5．（4分）函数y=x+2x-1中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1
【解答】解：根据题意得：x+2≥0x-1≠0
解得：x≥﹣2且x≠1．
故选：D．
6．（4分）关于x的分式方程mx-2-32-x=1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（ ）
A．12 B．13 C．23 D．34
【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴BEEG=ABCG=2k3k=23，
故选：C．
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
【解答】解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，-b2a=-1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，
∴abc＞0，故B选项不合题意，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，
故选：C．
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD=2，则图中阴影部分面积为（ ）
A．4-π2 B．2-π2 C．2﹣π D．1-π4
【解答】解：连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH＝CD=2，
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，
∴OA=2OH＝2，
在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，
∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，
∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE
=12×2×2-45×π×2180
＝2-12π．
故选：B．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE=102AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：如图，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠BOC＝90°，
∵BE＝EC，
∴∠EOB＝∠EOC＝45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，
连接AF．
∵PF⊥AE，
∴∠APF＝∠ABF＝90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故②正确，
设BE＝EC＝a，则AE=5a，OA＝OC＝OB＝OD=2a，
∴AEAO=5a2a=102，即AE=102AO，故③正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ=12S四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，
∴CD＝2OE，OE⊥CD，
∴EQDQ=OECD=12，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，
∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故④错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴EFED=PEEC，
∴EQ＝PE，
∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确，
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）下列各数3.1415926，9，1.212212221…，17，2﹣π，﹣2020，34中，无理数的个数有 3 个．
【解答】解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，34这3个，
故答案为：3．
12．（4分）一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是 4 ．
【解答】解：根据众数定义就可以得到：x＝4．
故答案为：4．
13．（4分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 36 度．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝1440，
解得：n＝10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故答案为：36．
14．（4分）若关于x的不等式组x-24＜x-132x-m≤2-x有且只有三个整数解，则m的取值范围是 1≤m＜4 ．
【解答】解：解不等式x-24＜x-13，得：x＞﹣2，
解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤m+23，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤m+23，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴1≤m+23＜2，
解得1≤m＜4，
故答案为：1≤m＜4．
15．（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若2a1+2a2+2a3+⋯+2an=n2020．（n为正整数），则n的值为 4039 ．
【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，
∴an＝n（n+1），
∵2a1+2a2+2a3+⋯+2an=n2020，
∴21×2+22×3+23×4+⋯+2n(n+1)=n2020，
∴2×（1-12+12-13+13-14+⋯⋯+1n-1n+1）=n2020，
∴2×（1-1n+1）=n2020，
1-1n+1=n4040，
解得n＝4039，
经检验：n＝4039是分式方程的解，
故答案为：4039．
三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：8-2sin30°﹣|1-2|+（12）﹣2﹣（π﹣2020）0．
【解答】解：原式＝22-2×12-（2-1）+4﹣1
＝22-1-2+1+4﹣1
=2+3．
17．（7分）先化简，（x2+4x+4x2-4-x﹣2）÷x+2x-2，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【解答】解：原式＝[(x+2)2(x+2)(x-2)-（x+2）]•x-2x+2
＝（x+2x-2-x2-4x-2）•x-2x+2
=-x2+x+6x-2•x-2x+2
=-(x+2)(x-3)x-2•x-2x+2
＝﹣（x﹣3）
＝﹣x+3，
∵x≠±2，
∴可取x＝1，
则原式＝﹣1+3＝2．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【解答】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM=AMEM，
∴EM=AMtan∠AEM=40tan67°≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN=ANFN，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【解答】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则3x+5y=2104x+10y=380，解得x=20y=30，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，
由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），
∵﹣1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216，
故本次购买至少准备216元，最多准备265元．
21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴m-1=-nn-3=0，
解得：m=-2n=3，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 600 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 72 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 2400 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
【解答】解：（1）240÷40%＝600（人），
所以本次参加抽样调查的居民有60人；
（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人），
喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×120600=72°；
补全条形统计图为：
（3）6000×40%＝2400，
所以估计爱吃D种粽子的有2400人；
故答案为600；72；2400；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3，
所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率=312=14．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y=6x，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=-3，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解y=3x-3y=6x得x=2y=3或x=-1y=-6，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2-1)2+32=10，
∴CN=12BD=102，
∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：EF=ED．
（3）若sin∠ABC═35，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
【解答】（1）证明：连接OE，OP，
∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，
∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴EF=ED．
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵sin∠ABC═sin∠ACG═AGAC=35，
∵AC＝15，
∴AG＝9，
∴CG=AC2-AG2=12，
∵△ACE≌△AQE，
∴AQ＝AC＝15，
∴QG＝6，
∵HQ2＝HG2+QG2，
∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，
解得：HQ=152，
∴CH＝HQ=152，
∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ=152×6＝45．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N（2，2），
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：0=k+b2=2k+b，
解得：k=2b=-2，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：y=2x-2y=2x2-8x+6，
解得：x1=1y1=0，x2=4y2=6，
∴点D（4，6），
∴S△ABD=12×2×6＝6，
设点E（m，2m﹣2），
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABE=13S△ABD＝2或S△ABE=23S△ABD＝4，
∴12×2×（2m﹣2）＝2或12×2×（2m﹣2）＝4，
∴m＝2或3，
∴点E（2，2）或（3，4）；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴xA+xD2=xP+xQ2，
∴xP＝3，
∴点P坐标为（3，0），
综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
2020年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）
1．（4分）﹣5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．15 D．-15
2．（4分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．7ab﹣5a＝2b B．（a+1a）2＝a2+1a2
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．3a2b÷b＝3a2
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
5．（4分）函数y=x+2x-1中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1
6．（4分）关于x的分式方程mx-2-32-x=1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（ ）
A．12 B．13 C．23 D．34
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD=2，则图中阴影部分面积为（ ）
A．4-π2 B．2-π2 C．2﹣π D．1-π4
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE=102AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）下列各数3.1415926，9，1.212212221…，17，2﹣π，﹣2020，34中，无理数的个数有 个．
12．（4分）一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是 ．
13．（4分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 度．
14．（4分）若关于x的不等式组x-24＜x-132x-m≤2-x有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ．
15．（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若2a1+2a2+2a3+⋯+2an=n2020．（n为正整数），则n的值为 ．
三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：8-2sin30°﹣|1-2|+（12）﹣2﹣（π﹣2020）0．
17．（7分）先化简，（x2+4x+4x2-4-x﹣2）÷x+2x-2，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：EF=ED．
（3）若sin∠ABC═35，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）
1．（4分）﹣5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．15 D．-15
【解答】解：﹣5的相反数是5，
故选：A．
2．（4分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107
【解答】解：0.000000823＝8.23×10﹣7．
故选：B．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．7ab﹣5a＝2b B．（a+1a）2＝a2+1a2
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．3a2b÷b＝3a2
【解答】解：7ab与﹣5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确；
根据完全平方公式可得（a+1a）2＝a2+1a2+2，因此选项B不正确；
（﹣3a2b）2＝9a4b2，因此选项C不正确；
3a2b÷b＝3a2，因此选项D正确；
故选：D．
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不合题意；
C、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
5．（4分）函数y=x+2x-1中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1
【解答】解：根据题意得：x+2≥0x-1≠0
解得：x≥﹣2且x≠1．
故选：D．
6．（4分）关于x的分式方程mx-2-32-x=1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（ ）
A．12 B．13 C．23 D．34
【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴BEEG=ABCG=2k3k=23，
故选：C．
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
【解答】解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，-b2a=-1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，
∴abc＞0，故B选项不合题意，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，
故选：C．
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD=2，则图中阴影部分面积为（ ）
A．4-π2 B．2-π2 C．2﹣π D．1-π4
【解答】解：连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH＝CD=2，
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，
∴OA=2OH＝2，
在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，
∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，
∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE
=12×2×2-45×π×2180
＝2-12π．
故选：B．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE=102AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：如图，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠BOC＝90°，
∵BE＝EC，
∴∠EOB＝∠EOC＝45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，
连接AF．
∵PF⊥AE，
∴∠APF＝∠ABF＝90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故②正确，
设BE＝EC＝a，则AE=5a，OA＝OC＝OB＝OD=2a，
∴AEAO=5a2a=102，即AE=102AO，故③正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ=12S四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，
∴CD＝2OE，OE⊥CD，
∴EQDQ=OECD=12，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，
∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故④错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴EFED=PEEC，
∴EQ＝PE，
∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确，
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）下列各数3.1415926，9，1.212212221…，17，2﹣π，﹣2020，34中，无理数的个数有 3 个．
【解答】解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，34这3个，
故答案为：3．
12．（4分）一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是 4 ．
【解答】解：根据众数定义就可以得到：x＝4．
故答案为：4．
13．（4分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 36 度．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝1440，
解得：n＝10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故答案为：36．
14．（4分）若关于x的不等式组x-24＜x-132x-m≤2-x有且只有三个整数解，则m的取值范围是 1≤m＜4 ．
【解答】解：解不等式x-24＜x-13，得：x＞﹣2，
解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤m+23，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤m+23，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴1≤m+23＜2，
解得1≤m＜4，
故答案为：1≤m＜4．
15．（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若2a1+2a2+2a3+⋯+2an=n2020．（n为正整数），则n的值为 4039 ．
【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，
∴an＝n（n+1），
∵2a1+2a2+2a3+⋯+2an=n2020，
∴21×2+22×3+23×4+⋯+2n(n+1)=n2020，
∴2×（1-12+12-13+13-14+⋯⋯+1n-1n+1）=n2020，
∴2×（1-1n+1）=n2020，
1-1n+1=n4040，
解得n＝4039，
经检验：n＝4039是分式方程的解，
故答案为：4039．
三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：8-2sin30°﹣|1-2|+（12）﹣2﹣（π﹣2020）0．
【解答】解：原式＝22-2×12-（2-1）+4﹣1
＝22-1-2+1+4﹣1
=2+3．
17．（7分）先化简，（x2+4x+4x2-4-x﹣2）÷x+2x-2，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【解答】解：原式＝[(x+2)2(x+2)(x-2)-（x+2）]•x-2x+2
＝（x+2x-2-x2-4x-2）•x-2x+2
=-x2+x+6x-2•x-2x+2
=-(x+2)(x-3)x-2•x-2x+2
＝﹣（x﹣3）
＝﹣x+3，
∵x≠±2，
∴可取x＝1，
则原式＝﹣1+3＝2．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【解答】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM=AMEM，
∴EM=AMtan∠AEM=40tan67°≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN=ANFN，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【解答】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则3x+5y=2104x+10y=380，解得x=20y=30，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，
由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），
∵﹣1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216，
故本次购买至少准备216元，最多准备265元．
21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴m-1=-nn-3=0，
解得：m=-2n=3，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 600 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 72 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 2400 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
【解答】解：（1）240÷40%＝600（人），
所以本次参加抽样调查的居民有60人；
（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人），
喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×120600=72°；
补全条形统计图为：
（3）6000×40%＝2400，
所以估计爱吃D种粽子的有2400人；
故答案为600；72；2400；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3，
所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率=312=14．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y=6x，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=-3，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解y=3x-3y=6x得x=2y=3或x=-1y=-6，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2-1)2+32=10，
∴CN=12BD=102，
∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：EF=ED．
（3）若sin∠ABC═35，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
【解答】（1）证明：连接OE，OP，
∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，
∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴EF=ED．
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵sin∠ABC═sin∠ACG═AGAC=35，
∵AC＝15，
∴AG＝9，
∴CG=AC2-AG2=12，
∵△ACE≌△AQE，
∴AQ＝AC＝15，
∴QG＝6，
∵HQ2＝HG2+QG2，
∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，
解得：HQ=152，
∴CH＝HQ=152，
∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ=152×6＝45．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N（2，2），
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：0=k+b2=2k+b，
解得：k=2b=-2，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：y=2x-2y=2x2-8x+6，
解得：x1=1y1=0，x2=4y2=6，
∴点D（4，6），
∴S△ABD=12×2×6＝6，
设点E（m，2m﹣2），
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABE=13S△ABD＝2或S△ABE=23S△ABD＝4，
∴12×2×（2m﹣2）＝2或12×2×（2m﹣2）＝4，
∴m＝2或3，
∴点E（2，2）或（3，4）；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴xA+xD2=xP+xQ2，
∴xP＝3，
∴点P坐标为（3，0），
综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
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