人教版八年级下册数学一次函数面积问题2（有答案）

这是一份人教版八年级下册数学一次函数面积问题2（有答案），共19页。
人教版八年级数学：一次函数面积问题2  1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA＝2，OC＝6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．（1）填空：D点坐标是（　   　，　   　），E点坐标是（　   　，　   　）；（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式．    2．如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ⊥直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t≤7），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）写出点B的坐标：　   　；（2）当t＝7时，求直线PQ的解析式，并判断点B是否在直线PQ上；（3）求S关于t的函数关系式；    4．如图，梯形OABC中，BC∥AO，∠BAO＝90°，B（﹣3，3），直线OC的解析式为y＝﹣x，将△OBC绕点C顺时针旋转60°后，O到O1，B到B1，得△O1B1C．（1）求证：点O1在x轴上；（2）将点O1运动到点M（﹣4，0），求∠B1MC的度数；（3）在（2）的条件下，将直线MC向下平移m个单位长度，设直线MC与线段AB交于点P，与线段OC的交于点Q，四边形OAPQ的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出m的取值范围．  5．如图a，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线函数式为，AD＝8，矩形ABCD沿DB方向以每秒一个单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经B到达终点C，用了14秒．（1）求矩形ABCD周长；（2）如图b，当P到达B时，求点P坐标；（3）当点P在运动时，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，①如图c，当P在BC上运动时，矩形PEOF的边能否与矩形ABCD的边对应成比例？若能，求出时间t的值，若不能，说明理由；②如图d，当P在AB上运动时，矩形PEOF的面积能否等于256？若能，求出时间t的值，若不能，说明理由；  6．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在直角坐标系中如图摆放，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（6，0）．（1）直接写出线段AB的中点P的坐标为　   　；（2）求直线OC的解析式；（3）动点M、N分别从O点出发，点M沿射线OC以每秒个单位长度的速度运动，点N沿线段OB以每秒1个长度的速度向终点B运动，当N点运动到B点时，M、N同时停止运动，设△PMN的面积为S（S≠0）运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．                      人教版八年级数学：一次函数面积问题2解析 1．【解答】解：（1）∵将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，∴∠OAD＝∠EAD＝45°，DE＝OD，∴OA＝OD，∵OA＝2，∴OD＝2，∴D点坐标是（2，0），DE＝OD＝2，∴E点坐标是（2，2），故答案为：（2，0），（2，2）； （2）存在点M使△CMN为等腰三角形，理由如下：由翻折可知四边形AODE为正方形，过M作MH⊥BC于H，∵∠PDM＝∠PMD＝45°，则∠NMH＝∠MNH＝45°，NH＝MH＝4，MN＝4，∵直线OE的解析式为：y＝x，依题意得MN∥OE，∴设MN的解析式为y＝x+b，而DE的解析式为x＝2，BC的解析式为x＝6，∴M（2，2+b），N（6，6+b），CM＝，CN＝6+b，MN＝4，分三种情况讨论：①当CM＝CN时，42+（2+b）2＝（6+b）2，解得：b＝﹣2，此时M（2，0）；②当CM＝MN时，42+（2+b）2＝（4）2，解得：b1＝2，b2＝﹣6（不合题意舍去），此时M（2，4）；③当CN＝MN时，6+b＝4，解得：b＝4﹣6，此时M（2，4﹣4）；综上所述，存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为：（2，0），（2，4），（2，4﹣4）； （3）根据题意得：当0≤x≤2时，∵∠BPN+∠DPE＝90°，∠BPN+∠BNP＝90°，∴∠DPE＝∠BNP，又∠PED＝∠NBP＝90°，∴△DEP∽△PBN，∴＝，∴＝，∴BN＝，∴S△DBN＝•BN•BE＝•4整理得：S＝x2﹣8x+12；当2＜x≤6时，∵△PBN∽△DEP，∴＝，∴＝，∴BN＝，∴S△DBN＝•BN•BE，＝•×4，整理得：S＝﹣x2+8x﹣12；则S与x之间的函数关系式：，①当0≤x≤2时，S＝x2﹣8x+12＝（x﹣4）2﹣4，当x≤4时，S随x的增大而减小，即0≤x≤2，②当2＜x≤6时，S＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，当x≥4时，S随x的增大而减小，即4≤x≤6，综上所述：S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6．2．【解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：BF＝OE＝2，OF＝＝，∴点B的坐标是（，2）设直线AB的解析式是y＝kx+b（k≠0），则有．解得．∴直线AB的解析式是y＝x+4； （2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，∴△ABD≌△AOP，∴AP＝AD，∠DAB＝∠PAO，∴∠DAP＝∠BAO＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴DP＝AP＝．如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．方法（一）在Rt△BDG中，∠BGD＝90°，∠DBG＝60°．∴BG＝BD•cos60°＝×＝．DG＝BD•sin60°＝×＝．∴OH＝EG＝，DH＝∴点D的坐标为（，）方法（二）易得∠AEB＝∠BGD＝90°，∠ABE＝∠BDG，∴△ABE∽△BDG，∴；而AE＝2，BD＝OP＝，BE＝2，AB＝4，则有，解得BG＝，DG＝；∴OH＝，DH＝；∴点D的坐标为（，）． （3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于．设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：①当t＞0时，如图，BD＝OP＝t，DG＝t，∴DH＝2+t．∵△OPD的面积等于，∴，解得，（舍去）∴点P1的坐标为（，0）．②∵当D在x轴上方时，根据勾股定理求出BD＝＝OP，∴当＜t≤0时，如图，BD＝OP＝﹣t，DG＝﹣t，∴GH＝BF＝2﹣（﹣t）＝2+t．∵△OPD的面积等于，∴，解得，，∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）．③当t≤时，如图3，BD＝OP＝﹣t，DG＝﹣t，∴DH＝﹣t﹣2．∵△OPD的面积等于，∴（﹣t）[﹣（2+t）]＝，解得（舍去），∴点P4的坐标为（，0），综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、P4（，0）．3．【解答】解：（1）∵A（1，2），C（3，0），AB∥OC，BC⊥x轴于点C，∴点B的坐标为：（3，2）；故答案为：（3，2）． （2）∵设直线OA的坐标为：y＝kx，∵A（1，2），∴k＝2，即直线OA的解析式为：y＝2x，∵PQ⊥直线OA，∴设直线PQ的解析式为：y＝﹣x+b，∵当t＝7时，点P的坐标为（7，0），∴﹣×7+b＝0，解得：b＝，∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+；当x＝3时，y＝2，∴点B在直线PQ上； （3）∵直线OA的解析式为：y＝2x，∴tan∠POQ＝2，即sin∠POQ＝，cos∠POQ＝，∴tan∠OPQ＝，∵OP＝t，∴OQ＝t，PQ＝t，当t＝3时，点P与点C重合，当Q与A重合时，即OQ＝OA＝＝，∴t＝，解得：t＝5；当0＜t≤3，S＝S△PQO＝OQ•PQ＝×t×t＝t2；当3＜t≤5，如图2，∵PC＝t﹣3，∴CD＝PC•tan∠OPQ＝PC＝，S＝S△POQ﹣S△PCD＝t2﹣（t﹣3）×＝﹣；∴当3＜t≤5，；当5＜t≤7，如图3，∵CD＝，∴BD＝2﹣＝，∵AB∥x轴，∴∠BED＝∠OPQ，∴tan∠BED＝，∴BE＝2BD＝7﹣t，∴S＝S梯形OABC﹣S△BED＝×（2+3）×2﹣×（7﹣t）×＝，∴当5＜t≤7，； （4）存在．理由：∵S△ABC＝AB•BC＝×2×2＝2，∴若使得PQ分△ABC的面积为1：3，当3＜t≤5时，S△DEF＝S△ABC＝，设AC交PQ于点E，过点E作EF∥DF，∴△CEF∽△CAB，△EDF∽△PDC，∴EF：AB＝CF：CB，EF：CP＝DF：CD，∵AB＝BC，CP＝2CD，∴EF＝CF，EF＝2DF，∴CF＝2DF，∴DF＝CD＝，∴EF＝2DF＝t﹣3，∴×（t﹣3）×＝，解得：t＝3+；当5＜t≤7时，S△BDE＝S△ABC＝，即×（7﹣t）×＝，解得：t＝7﹣；综上可得：或．4．【解答】（1）证明：如图1，∵BC∥AO，B（﹣3，3），∴点C的纵坐标是3，又∵直线OC的解析式为y＝﹣x，∴3＝﹣x，解得，x＝﹣，则C（﹣，3）∴tan∠COA＝， ∴∠COA＝60°．∵根据旋转的性质知，∠OCO1＝60°，CO＝CO1∴△COO1为等边三角形，∴∠COO1＝60°∴∠COA＝∠COO1∴点O1在x轴上． （2）解：如图2，∵∠COO1＝60°，BC∥AO，∴∠BCO＝120°，∴B1CO1＝120°．∵∠O1CO＝60°，∴∠B1CO＝180°，∴B1、C、O三点共线．∵C（﹣，3），∴CO＝CO1＝O1O＝2，∵MO＝4，∴MO1＝O1O＝O1C，可证得∠MCO＝90°∵BC＝CO＝2，BC＝B1C，∴B1C＝CO，∴MB1＝MO，∴∠B1MC＝∠BMO＝30°； （3）解：如图3，设MC与AB边交于点D，过点C作CE∥AB交PQ于点E，过点Q作QN⊥OA于点N．∵AD＝1，PD＝m，∴AP＝1﹣m．在△CEQ中，CE＝m，∠ECQ＝30°∴CQ＝m，∴OQ＝2﹣m∴QN＝3﹣m，ON＝﹣m∴AN＝2+m又∵S四边形OAPQ＝S梯形PAQN+S△QNO∴S＝+（﹣m）（3﹣m）∴S＝﹣m2﹣2m+（0＜m＜1）5．【解答】解：（1）∵AD＝8，B点在y＝x上，∴y＝×8＝6，B点坐标为（8，6），AB＝6，∴矩形的周长＝2（AD+AB）＝2（8+6）＝28； （2）当P到达B时，∵AB＝6，∴共运动6秒，∴OD＝6，设点D的横坐标是a，则纵坐标是a，∴a2+（a）2＝62，解得a＝，∴×＝，+8＝，+6＝，∴点P的坐标是P（，）； （3）①当P在BC上运动时，即6≤t≤14，点D的坐标是（t，t），14﹣t+t＝14﹣，∴点P的坐标是（14﹣t，t+6），假设矩形PEOF的边能与矩形ABCD的边对应成比例，则若，则，解得t＝6，当t＝6时，点P与点B重合，此时矩形PEOF与矩形BADC是位似形．若＝，则 ，解得t＝，因为＞14，此时点P不在BC边上，舍去．综上，当t＝6时，点P到达点B，矩形PEOF与矩形BADC是相似图形，对应边成比例； ②当P在AB上运动时，即0≤t≤6，点D的坐标是（t，t），t+t＝t，∴点P的坐标为（8+t，t）．∴矩形PEOF的面积＝（8+t）（t）＝256，整理得：t2+10t﹣200＝0，解得t1＝10，t2＝﹣20，t1＝10，t2＝﹣20都不合题意，故不能．故答案为：（1）矩形ABCD的周长为28；（2）P（，）；（3）①t＝6；②故不能．6．【解答】解：（1）P（3，1）； （2）过点C作CE⊥OB，CD⊥OA∴∠ADC＝∠CEB＝∠DCE＝90°∴∠ACD+∠ACE＝90°在等腰Rt△ABC中AC＝BC，∠ACB＝90°∴∠BCE+∠ACE＝90°（3分）∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE∴CE＝CD∴点C在第一象限的角平分线上（4分）∴直线OC的解析式为y＝x； （3）①当点M在点P左侧时过点P作PF⊥OB由题意可知OM＝tON＝t（5分）∵点M在函数y＝x上∴M（t，t）∵N（t，0）∴MN⊥x轴∴MN＝t∵点P（3，1）（6分）∴PF＝1，OF＝3∴NF＝OF﹣ON＝3﹣t；∴S＝S梯形PMNF﹣S△PFN＝＝﹣；②当点M在点P右侧时过点P作PG⊥OB由①可知（8分）∴MN⊥x轴∴MN＝t∵点P（3，1）（9分）∴PG＝1，OG＝3∴NG＝ON﹣OG＝t﹣3∴S＝S梯形PMNG﹣S△PGN（10分）S＝＝（3＜t≤6）（11分）综上，S＝﹣．