决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品专题07二次函数的图象性质与应用问题含答案解析.docx

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决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题07 二次函数的图象性质与应用问题


【考点1】二次函数的图象与性质
【例1】(2020·内蒙古呼和浩特·中考真题)关于二次函数，下列说法错误的是( )
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图象与x轴有两个不同的交点
【答案】C
【解析】
【分析】
求出二次函数平移之后的表达式，将(4，5)代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
【详解】
解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：=，
若过点(4，5)，
则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当时，y有最小值，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-(a-9)=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.
【变式1-1】(2020·辽宁大连·中考真题)抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的对称性可得结论．
【详解】
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x，0)，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．
【变式1-2】(2020·四川眉山·中考真题)已知二次函数(为常数)的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．
【详解】
解：
∵图象与x轴有交点，
∴△=(-2a)2-4(a2-2a-4)≥0
解得a≥-2；
∵抛物线的对称轴为直线
抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
【考点2】抛物线的平移与解析式的确定
【例2-1】(2020·黑龙江哈尔滨·中考真题)将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．
【详解】
解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：．
故选：D．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【例2-2】(2020·湖北省直辖县级单位·中考真题)把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线的函数关系式；
(2)动点能否在拋物线上？请说明理由；
(3)若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．
【答案】(1)；(2)不在，见解析；(3)，见解析
【解析】
【分析】
(1)先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；
(2)根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上；
(3)根据抛物线的增减性质即可解答．
【详解】
(1)抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为(-1，2)，
根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，
∴抛物线的函数关系式为：；
(2)动点P不在抛物线上．
理由如下：
∵抛物线的顶点为，开口向上，
∴抛物线的最低点的纵坐标为．
∵，
∴动点P不在抛物线上；
(3)．
理由如下：
由(1)知抛物线的对称轴是，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵点都在抛物线上，且，
∴．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2-1】(2020·陕西中考真题)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣(m﹣1)x+m(m＞1)沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
【详解】
解：，
该抛物线顶点坐标是，，
将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，，
，
，
，
，
点，在第四象限；
故选：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
【变式2-2】(2019·江苏中考真题)已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__．
【答案】．
【解析】
【分析】
设原来的抛物线解析式为：．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．
【详解】
设原来的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得，
故原来的抛物线解析式是：，
设平移后的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得(舍去)或，
所以平移后抛物线的解析式是：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
【变式2-3】(2019·浙江中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是( )
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】
y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16，顶点坐标是(-1，-16)．
y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16，顶点坐标是(1，-16)．
所以将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5)，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【变式2-4】(2020·安徽中考真题)在平而直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】(1)点在直线上，理由见详解；(2)a=-1，b=2；(3)
【解析】
【分析】
(1)先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；
(2)先跟抛物线与直线AB都经过(0，1)点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；
(3)设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-(x-h)2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
【详解】
(1)点在直线上，理由如下：
将A(1，2)代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B(2，3)代入，式子成立，
∴点在直线上；
(2)∵抛物线与直线AB都经过(0，1)点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
(3)设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-(x-h)2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-(h-)2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
【点睛】
本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．
【考点3】二次函数的图象与字母系数的关系
【例3】(2020·四川凉山·中考真题)二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④(m为实数)．其中正确结论的个数是( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即(m为实数)，进一步即可对④进行判断，从而可得答案．
【详解】
解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴，
∴b＜0，，故②正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴，故①正确；
∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，
∵，∴，
整理即得：，故③正确；
∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，
∴(m为实数)，即(m为实数)，故④正确．
综上，正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式3-1】(2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4，0)，其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】
解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为(4，0)，则另一个交点为(﹣2，0)，于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
【变式3-2】(2020·湖北黄石·中考真题)若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，把点、、代入，则
，
消去c，则得到，
解得：，
∴抛物线的对称轴为：，
∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．
【考点4】二次函数的应用
【例4】(2020·辽宁铁岭·中考真题)小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量(本)与销售单价(元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价(元)
12
14
16
每周的销售量(本)
500
400
300
(1)求与之间的函数关系式；
(2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为元(，且为整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)；(2)销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元．
【解析】
【分析】
(1)根据待定系数法解答即可；
(2)根据每周销售利润=每本笔记本的利润×每周销售数量可得w与x的二次函数关系式，再根据二次函数的性质即可求出结果．
【详解】
解：(1)设与之间的函数关系式是，
把，和，代入，得
，解得：，
；
(2)根据题意，得


；
，
有最大值，且当时，随的增大而增大，
为整数，
时，有最大值，且w最大(元)．
答：销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式4-1】(2020·山东日照·中考真题)如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计)．
(1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
(2)在(1)的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【答案】(1)见解析；(2)，见解析．
【解析】
【分析】
(1)由题意易得AM＝2ME，故可直接得证；
(2)由(1)及题意得2AB+GH+3BC＝100，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2即可得出函数关系式．
【详解】
解：(1)证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
(2)∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即，
∴
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则，
∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式即可．
【变式4-3】(2020·辽宁营口·中考真题)某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(瓶)．
(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)y＝﹣40x+880；(2)当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元
【解析】
【分析】
(1)销售单价为x(元)，销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y；
(2)设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：(1)由题意得：y＝80+20×，
∴y＝﹣40x+880；
(2)设每天的销售利润为w元，则有：
w＝(﹣40x+880)(x﹣16)
＝﹣40(x﹣19)2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用,关键在于理解题意找出等量关系.
【变式4-3】(2020·辽宁盘锦·)某服装厂生产品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件时，批发单价为元，与之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数为10的正整数倍．

(1)当时，与的函数关系式为__________．
(2)某零售商到此服装厂一次性批发品牌服装200件，需要支付多少元？
(3)零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件，服装厂的利润为元，问：为何值时，最大？最大值是多少？
【答案】(1) (2)18000元 (3)或；3800
【解析】
【分析】
(1)将两点(100，100)，(300，80)代入到一次函数解析式，利用待定系数法即可求解；
(2)将x=200代入到(1)求出y的值，最后求得答案；
(3)当时，求得y的最大值，当求得y的最大值，最后作答．
【详解】
解：(1)当100≤x≤300时，设与的函数关系式为y=kx+b，(k≠0)，
将点(100，100)，(300，80)代入y=kx+b ，(k≠0)，
，
解，得

故答案填：
(2)当时，
元
答：零售商一次性批发200件，需要支付18000元
(3)当时

，抛物线开口向下
当时，随的增大而增大
又为10的正整数倍
时，最大，最大值是3800
当时，随的增大而减小
又为10的正整数倍
时，最大，最大值是3800
当时，

随的增大而增大
时，最大，最大值是3600

∴当或时，最大，最大值是3800
【点睛】
本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练运用函数的性质是解决问题的关键．

1．(2020·浙江衢州·中考真题)二次函数y=x2的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是(　　)
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
【详解】
解：A、平移后的解析式为y=(x+2)2﹣2，当x=2时，y=14，本选项不符合题意．
B、平移后的解析式为y=(x+1)2+2，当x=2时，y=11，本选项不符合题意．
C、平移后的解析式为y=(x﹣1)2﹣1，当x=2时，y=0，函数图象经过(2，0)，本选项符合题意．
D、平移后的解析式为y=(x﹣2)2+1，当x=2时，y=1，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移问题，掌握二次函数的平移特征是解题的关键．
2．(2020·四川宜宾·中考真题)函数的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中，以下结论正确的是( )
①；
②函数在处的函数值相等；
③函数的图象与的函数图象总有两个不同的交点；
④函数在内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解．
【详解】
如图，根据题意作图，
故a＜0，b＜0，c＞0
∴，①正确；
∵对称轴为x=-1
∴函数在处的函数值相等，故②错误；
图中函数的图象与的函数图象无交点，故③错误；
当时，x=-1时，函数有最大值
x=3时，函数有最小值，故④正确；
故选C．

【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解．
3．(2020·湖南长沙·中考真题)“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t(单位：分钟)近似满足函数关系式：(a，b，c为常数)，如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )

A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【答案】C
【解析】
【分析】
将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
【详解】
将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:

②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案．
4．(2020·云南昆明·中考真题)如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B(0，﹣2)，点A(﹣1，m)在抛物线上，则下列结论中错误的是(　　)

A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P1(t，y1)，P2(t+1，y2)在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在(2，0)与(3，0)之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B(0，−2)，A(−1，m)和b＝−2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在(0，0)与(﹣1，0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在(2，0)与(3，0)之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B(0，﹣2)，A(﹣1，m)代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝，所以C选项的结论正确；
∵点P1(t，y1)，P2(t+1，y2)在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，
∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．
5．(2020·辽宁抚顺·中考真题)如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】
解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当P在线段AD上时，即时，如解图1

∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：

依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
6．(2020·四川绵阳·中考真题)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为(　　)

A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
【详解】
解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，

设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，
∵BC=10，
∴点B(﹣5，0)，
∴0=a×(﹣5)2+，
∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A(b，0)，则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m(x﹣b)2，
∵EF=14，
∴点E的横坐标为-7，
∴点E坐标为(-7，-)，
∴-=m(x﹣b)2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴MN=4，
∴|+b-(-+b)|=4
∴m=-，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-(x﹣b)2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x=-10时，y=-，
∴-=-(x﹣b)2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴单个小孔的水面宽度=|(+b)-(-+b)|=5(米)，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
7．(2020·山西中考真题)竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
【详解】
解：依题意得：=，=，
把=，=代入得
当时，
故小球达到的离地面的最大高度为：
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题．
8．(2020·湖南中考真题)二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
先由抛物线与x轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．
【详解】
解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，
∴﹣＝2，
∴4a+b＝0，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．
9．(2020·山东菏泽·中考真题)一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】
解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a>0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
10．(2020·四川中考真题)若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．
【详解】
解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入得：s＝x2+8y2＝x2+8(﹣x+3)＝x2﹣8x+24＝(x﹣4)2+8，
当x＝3时，s＝(3﹣4)2+8＝9，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，关键是根据题意进行代入消元，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
11．(2020·山东淄博·中考真题)某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站(包括甲站、乙站)，一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____个．
【答案】210
【解析】
【分析】
【详解】
根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的(x﹣1)个服务驿站发给该站的货包共(x﹣1)个，
还要装上下面行程中要停靠的(n﹣x)个服务驿站的货包共(n﹣x)个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
(n﹣1)﹣1+(n﹣2)＝2(n﹣2)
3
2(n﹣2)﹣2+(n﹣3)＝3(n﹣3)
4
3(n﹣3)﹣3+(n﹣4)＝4(n﹣4)
5
4(n﹣4)﹣4+(n﹣5)＝5(n﹣5)
…
…
n
0
由上表可得y＝x(n﹣x)．当n＝29时，y＝x(29﹣x)＝﹣x2+29x＝﹣(x﹣14.5)2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在x＝﹣时取得．
12．(2020·贵州黔东南·中考真题)抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(﹣3，0)，对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．

【答案】﹣3＜x＜1
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为(﹣3，0)，对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
13．(2020·西藏中考真题)当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】
∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝(x﹣2)2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝(﹣1﹣2)2+1＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．(2020·江苏南京·中考真题)下列关于二次函数(为常数)的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【详解】
当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象
该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确
对于
当时，
即该函数的图象一定经过点，结论②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当时，
即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
15．(2020·湖北荆门·中考真题)如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．

【答案】①④
【解析】
【分析】
①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．
②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．
③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．
④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．
【详解】
解：① 开口向下， a<0， 对称轴x=1,a<0, b>0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c>0， abc<0，正确．
②从图像可知，AB>4,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点(3，-1)代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
16．(2020·湖北随州·中考真题)2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月(按30天计)前5天的某型号口罩销售价格(元/只)和销量(只)与第天的关系如下表：
第天
1
2
3
4
5
销售价格(元/只)
2
3
4
5
6
销量(只)
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量(只)与第天的关系为(，且为整数)，已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
(1)直接写出该药店该月前5天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；
(2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润(元)与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
(3)物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则的取值范围为______．
【答案】(1)，且x为整数，，且x为整数；(2)，第5天时利润最大；(3)．
【解析】
【分析】
(1)根据表格数据，p是x的一次函数，q是x的一次函数，分别求出解析式即可；
(2)根据题意，求出利润w与x的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值．
(3)先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m的取值范围．
【详解】
(1)观察表格发现p是x的一次函数，q是x的一次函数，
设p=k1x+b1，
将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证p=x+1符合题意，
所以，且x为整数；
设q=k2x+b2，
将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证符合题意，
所以，且x为整数；
(2)当且x为整数时，

；
当且x为整数时，
；
即有；
当且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当时，(元)
当且x为整数时，
故当时，(元)；
由，可知第5天时利润最大．
(3)根据题意，
前5天的销售数量为：(只)，
∴前5天多赚的利润为：
(元)，
∴，
∴；
∴的取值范围为．
【点睛】
此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
17．(2020·辽宁朝阳·中考真题)某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x(元)
40
60
80
日销售量y(件)
80
60
40
(1)直接写出y与x的关系式_________________；(2)求公司销售该商品获得的最大日利润；
(3)销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y(件)与销售单价x(元)保持(1)中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【答案】(1)；(2)当销售单价是75元时，最大日利润是2025元；(3)70
【解析】
【分析】
(1)根据题中所给的表格中的数据，可以直接写出其关系式；
(2)根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
(3)根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果.
【详解】
(1)设解析式为，
将和代入，可得，解得，
所以y与x的关系式为，
所以答案为；
(2)





，
∴抛物线开口向下，函数有最大值
∴当时，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
(3)


当时，
解得
，∴有两种情况
①时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当时，
②时，在范围内，
∴这种情况不成立，．
【点睛】
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数应用题，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于简单题目.
18．(2020·贵州贵阳·中考真题)2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数(人)与时间(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9-15表示)
时间(分钟)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9~15
人数(人)
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式；
(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】(1)；(2)队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(3)至少增加2个检测点
【解析】
【分析】
(1)先根据表中数据的变化趋势猜想：①当时，是的二次函数．根据提示设出抛物线的解析式，再从表中选择两组对应数值，利用待定系数法求函数解析式，再检验其它数据是否满足解析式，从而可得答案；
(2)设第分钟时的排队人数是，列出与第分钟的函数关系式，再根据函数的性质求排队的最多人数，利用检测点的检测人数列方程求解检测时间；
(3)设从一开始就应该增加个检测点，根据题意列出不等式，利用不等式在正整数解可得答案．
【详解】
解：(1)根据表中数据的变化趋势可知：
①当时，是的二次函数．
∵当时，，
∴二次函数的关系式可设为．
当时，；当时，．
将它们分别代入关系式得
解得．
∴二次函数的关系式为．
将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足．
②当时，．
∴与的关系式为．
(2)设第分钟时的排队人数是，根据题意，得

①当时，．
∴当时，．
②当时，，随的增大而减小，
∴．
∴排队人数最多时是490人．
要全部考生都完成体温检测，根据题意，
得，
解得．
∴排队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟．
(3)设从一开始就应该增加个检测点，
根据题意，得，
解得．
∵是整数，
∴的最小整数是2．
∴一开始就应该至少增加2个检测点．
【点睛】
本题考查的根据实际的数据探究各数据符合的函数形式，同时考查待定系数法求解函数解析式，考查二次函数的实际应用及二次函数的性质，同时考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握以上知识是解题的关键．
19．(2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件元，月销量为件，月销售利润为元．
(1)写出与的函数解析式和与的函数解析式；
(2)商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元；
(3)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【答案】(1)y=1000-10x；W=-10x2+1400x-40000；(2)销售价应定为每件80元；(3)销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．
【解析】
【分析】
(1)根据题意一个月能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，可得y=500-10(x-50)，再利用一个月的销售量×每件销售利润=一个月的销售利润列出一个月的销售利润为W，写出W与x的函数关系式；
(2)令W=8000，求出x的取值即可；
(3)根据二次函数最值的求法求解即可．
【详解】
解：(1)由题意得：
y=500-10(x-50)=1000-10x，
W=(x-40)(1000-10x)=-10x2+1400x-40000；
(2)由题意得：-10x2+1400x-40000=8000，
解得：x1=60，x2=80，
当x=60时，成本=40×[500-10(60-50)]=16000＞10000不符合要求，舍去，
当x=80时，成本=40×[500-10(80-50)]=8000＜10000符合要求，
∴销售价应定为每件80元；
(3)W=-10x2+1400x-40000，
当x=70时，W取最大值9000，
故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出二次函数关系式是解题关键．
20．(2020·山东临沂·中考真题)已知抛物线．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
(3)设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
【答案】(1)；(2)或；(3)当a＞0时，；当a＜0时，或．
【解析】
【分析】
(1)将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；
(2)根据(1)中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；
(3)根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．
【详解】
(1)∵，
∴，
∴其对称轴为：．
(2)由(1)知抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线顶点在轴上，
∴，
解得：或，
当时，其解析式为：，
当时，其解析式为：，
综上，二次函数解析式为：或．
(3)由(1)知，抛物线的对称轴为，
∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，
则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，
则m＜-1或m＞3.
【点睛】
本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．