2020—2021学年人教版七年数学下册期末复习计算题知识点题型梳理卷（Word版原卷+解析版）

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【题型1 实数的计算】
【例1】（2020秋•内江期末）计算：
（1）-12020+364-(-2)×9；
（2）-12020+(-2)2-327+|2-3|．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，立方根性质，以及二次根式性质计算即可求出值；
（2）原式利用乘方的意义，立方根性质、二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+4+2×3
＝﹣1+4+6
＝9；
（2）原式＝﹣1+2﹣3+2-3
=-3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式1-1】（2020秋•招远市期末）计算：
（1）﹣12+3-27-（﹣2）×9
（2）3（3+1）+|3-2|
【分析】（1）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及乘法法则计算即可求出值；
（2）原式利用二次根式乘法法则，绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+（﹣3）+2×3
＝﹣1﹣3+6
＝2；
（2）原式＝3+3+2-3
＝5．
【点评】此题考查了实数的运算，乘方的意义，绝对值，平方根、立方根性质，以及二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式1-2】（2020秋•江都区期末）计算：
（1）(-1)2+3(-2)3+179；
（2）|1-3|+（﹣2）2-3．
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根分别化简得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+43
=13；
（2）原式=3-1+4-3
＝3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式1-3】（2020秋•松北区期末）计算：
（1）3-64-|2-5|-(-3)2+25；
（2）35-|6-5|．
【分析】（1）首先计算开方、绝对值，然后从左向右依次计算即可．
（2）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算即可．
【解答】解：（1）3-64-|2-5|-(-3)2+25
＝4﹣（5-2）﹣3+25
＝﹣4-5+2﹣3+25
=5-5．
（2）35-|6-5|
＝35-6+5
＝45-6．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【题型2 利用平方根、立方根解方程】
【例2】（2020秋•鼓楼区期末）求下列各式中的x：
（1）4x2﹣81＝0；
（2）（x﹣1）3+4=58．
【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；
（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．
【解答】解：（1）4x2﹣81＝0，
则x2=814，
故x＝±92；
（2）（x﹣1）3+4=58
（x﹣1）3=58-4，
则（x﹣1）3=-278，
故x﹣1=-32，
解得：x=-12．
【点评】此题主要考查了立方根和平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式2-1】（2020秋•丹阳市期末）求下列各式中的x的值．
（1）4x2﹣9＝0；
（2）（x﹣1）3＝64．
【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法可以解答此方程；
（2）根据直接开立方法可以解答此方程．
【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，
4x2＝9，
x2=94，
解得x＝±32；
（2）（x﹣1）3＝64，
x﹣1＝4，
解得x＝5．
【点评】本题考查平方根、立方根、解方程，解答本题的关键是明确解方程的方法．
【变式2-2】（2020秋•东台市期末）求下列各式中x的值．
（1）2x2＝72；
（2）（x+1）3+3＝﹣61．
【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；
（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．
【解答】解：（1）x 2＝36，
故x＝±6，
则x＝6或x＝﹣6；
（2）（x+1）3＝﹣64，
x+1＝﹣4
∴x＝﹣5．
【点评】此题主要考查了立方根和平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式2-3】（2020秋•南京期末）求下列各式中的x．
（1）3（x﹣1）2﹣75＝0；
（2）（x+2）3＝﹣125．
【分析】（1）根据题意，可得：（x﹣1）2＝25，据此求出x的值是多少即可．
（2）根据立方根的含义和求法，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：（1）∵3（x﹣1）2﹣75＝0，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝5，或x﹣1＝﹣5，
解得：x＝6或x＝﹣4．
（2）∵（x+2）3＝﹣125，
∴x+2＝﹣5，
解得：x＝﹣7．
【点评】此题主要考查了立方根的含义和求法，以及平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：（1）一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．（2）正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【题型3 实数相关性质的运算】
【例3】（2020秋•射阳县期末）已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2；b+11的立方根为﹣3；c是6的整数部分；
1）求a+b+c的值；
2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】1）由平方根的性质知3a﹣14和a+2互为相反数，可列式，解之可得a＝3，根据立方根定义可得b的值，根据2＜6＜3可得c的值；
2）分别将a，b，c的值代入3a﹣b+c，可解答．
【解答】解：1）∵某正数的两个平方根分别是3a﹣14和a+2，
∴3a﹣14）+a+2）＝0，
∴a＝3，
又∵b+11的立方根为﹣3，
∴b+11＝﹣3）3＝﹣27，
∴b＝﹣38，
又∵c是6的整数部分，
∴c＝2；
∴a+b+c＝3+﹣38）+2＝﹣33；
2）当a＝3，b＝﹣38，c＝2时，
3a﹣b+c＝3×3﹣﹣38）+2＝49，
∴3a﹣b+c的平方根是±7．
【点评】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
【变式3-1】（2020秋•开福区校级期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是43的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b+92c的平方根．
【分析】（1）根据立方根、算术平方根、无理数的估算即可求出a、b、c的值；
（2）求出代数式2a﹣b+92c的值，再求这个数的平方根．
【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2，
∴3a+1＝﹣8，
解得，a＝﹣3，
∵2b﹣1的算术平方根是3，
∴2b﹣1＝9，
解得，b＝5，
∵36＜43＜49，
∴6＜43＜7，
∴43的整数部分为6，
即，c＝6，
因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6，
（2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，
2a﹣b+92c=-6﹣5+92×6＝16，
2a﹣b+92c的平方根为±16=±4．
【点评】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正确解答的前提．
【变式3-2】（2020秋•浦东新区期末）已知a+bM是M的立方根，而3b-6是a+bM的相反数，且M＝3a﹣7．
（1）求a与b的值；
（2）设x=a+bM，y=3b-6，求x与y平方和的立方根．
【分析】（1）根据立方根得出a+b＝3，M＝6﹣b，再根据已知条件求出答案即可；
（2）求出x、y的值，再求出x2+y2的值，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）∵a+bM是M的立方根，而3b-6是a+bM的相反数，
∴a+b＝3，M＝6﹣b，
∵M＝3a﹣7，
∴6﹣b＝3a﹣7，
解得：a＝5，b＝﹣2；
（2）∵a＝5，b＝﹣2，M＝6﹣（﹣2）＝8，
∴x=a+bM=38=2，y=3-2-6=-2，
∴x2+y2＝22+（﹣2）2＝8，
∴x与y平方和的立方根是38=2．
【点评】本题考查了立方根和实数的性质，能熟记立方根的定义是解此题的关键．
【变式3-3】（2020秋•重庆期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：
∵4＜7＜9，即2＜7＜3，
∴7的整数部分为2，小数部分为（7-2）．
请解答：（1）17的整数部分是 4 ，小数部分是 17-4 ．
（2）如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b-5的值；
（3）已知：10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【分析】（1）先估算出17的范围，即可得出答案；
（2）先估算出5、13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；
（3）先估算出3的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【解答】解：（1）∵4＜17＜5，
∴17的整数部分是4，小数部分是 17-4，
故答案为：4，17-4；
（2）∵2＜5＜3，
∴a=5-2，
∵3＜13＜4，
∴b＝3，
∴a+b-5=5-2+3-5=1；
（3）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴11＜10+3＜12，
∵10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝10+3-11=3-1，
∴x﹣y＝11﹣（3-1）＝12-3，
∴x﹣y的相反数是﹣12+3；
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出3、5、13、17的范围是解此题的关键．
【题型4 解二元一次方程组】
【例4】（2020秋•新都区期末）解下列方程组：
（1）4x-3y=63x-y=7；
（2）x-12-2y=41-y-x3=3．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）4x-3y=6①3x-y=7②，
②×3﹣①，得5x＝15，解得x＝3，
把x＝3代入②，得9﹣y＝7，解得y＝2，
故方程组的解x=3y=2；
（2）方程组整理得：x-4y=9①x-y=6②，
②﹣①，得3y＝﹣3，解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②，得x+1＝6，解得x＝5，
故方程组的解x=5y=-1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式4-1】（2020秋•台儿庄区期末）解方程组：
（1）2x+y=-54x-5y=11；
（2）23x-34y=124(x-y)-3(2x+y)=17．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：2x+y=-5①4x-5y=11②，
①×5+②，14x＝﹣14，
解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，﹣2+y＝﹣5，
解得y＝﹣3，
∴原方程组的解是x=-1y=-3；
（2）方程组整理得8x-9y=6①-2x-7y=17②，
①+②×4，﹣37y＝74，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①，8x+18＝6，
解得x=-32，
∴原方程组的解是x=-32y=-2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式4-2】（2020秋•龙岗区期末）解方程（组）：
（1）x-y=34x+3y=5；
（2）x+22+2y+53=53x-4y=-2．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）x-y=3①4x+3y=5②，
①×3+②得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①点到：y＝﹣1，
则方程组的解为x=2y=-1；
（2）方程组整理得：3x+4y=14①3x-4y=-2②，
①+②得：6x＝12，
解得：x＝2，
①﹣②得：8y＝16，
解得：y＝2，
则方程组的解为x=2y=2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式4-3】（2020春•开封期末）解下列方程组：
（1）用代入法解方程组：x-y=33x-8y=14；
（2）用加减法消元法解方程组：2x3+3y4=1712x6-y2=13．
【分析】（1）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）x-y=3①3x-8y=14②，
由①得：y＝x﹣3③，
把③代入②得：3x﹣8（x﹣3）＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入③得：y＝﹣1，
则方程组的解为x=2y=-1；
（2）方程组整理得：8x+9y=17①x-3y=-2②，
①+②×3得：11x＝11，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝1，
则方程组的解为x=1y=1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【题型5 二元一次方程组中的含参问题】
【例5】（2020春•石城县期末）甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15①4x-by=-2②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=-3y=-1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，试求出a，b的正确值，并计算a2020+（-110b）2021的值．
【分析】由于甲和乙分别看错了a和b，而本题巧妙点在于①②中分别只含有a和b，所以甲的结果不影响②式中的b的求解，乙的结果不影响①中a的求解．将x=-3y=-1代入②，将x=5y=4代入①求解．
【解答】解：将x=-3y=-1代入方程组中的4x﹣by＝﹣2，
得：﹣12+b＝﹣2，即b＝10．
将x=5y=4代入方程组中的ax+5y＝15，
得：5a+20＝15，即a＝﹣1
当a＝﹣1，b＝10时，a2020+(-110b)2021=（﹣1）2020+（﹣1）2021＝0．
【点评】考查二元一次方程的求解．同学们在计算时一定要掌握好运算方法，这类问题的求解对于后面的学习至关重要．本题中，①②中分别只含有a和b，所以甲的结果不影响②式中的b的求解，乙的结果不影响①中a的求解．
【变式5-1】（2020春•公安县期末）两位同学在解方程组ax+by=-2cx-7y=20时，甲同学正确解得x=3y=-2，乙同学因写错c解得x=-2y=2，试求a、b、c的值．
【分析】把甲乙两名同学的结果代入ax+by＝﹣2中求出a与b的值，把甲的结果代入cx﹣7y＝﹣2中求出c的值即可．
【解答】解：把x=3y=-2与x=-2y=2分别代入ax+by＝﹣2得：3a-2b=-2①-2a+2b=-2②，
①+②得：a＝﹣4，
把a＝﹣4代入①得：b＝﹣5，
把x=3y=-2代入cx﹣7y＝20得：3c+14＝20，
解得：c＝2，
则a、b、c的值分别是a＝﹣4，b＝﹣5，c＝2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式5-2】（2020春•淮阳区期末）已知关于x，y的两个二元一次方程组2x+26=-5ymx=ny-4和3x=5y+36nx+my+8=0的解相同，求（m+2n）188的值．
【分析】先根据两个方程组的解相同得2x+26=-5y3x=5y+36，解之求出x、y的值，继而可得关于m、n的方程组，解之求出m、n的值后代入计算可得．
【解答】解：由两个方程组的解相同，得2x+26=-5y3x=5y+36，
解得x=2y=-6，
所以有：2m=-6n-42n-6m+8=0，
解得m=1n=-1，
所以（m+2n）188＝（1﹣2）188＝1．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的概念及解二元一次方程组的能力．
【变式5-3】（2020春•新罗区期末）已知关于x，y的方程组x-y=2m+1x+y=4m+3的解也是二元一次方程2x﹣3y＝7的一个解，求m的值．
【分析】本题重点还是在于x-y=2m+1x+y=4m+3的求解，掌握其计算方法，将计算的x，y的值代入2x﹣3y＝7进行求解．
【解答】解：x-y=2m+1①x+y=4m+3②
①+②得：
x＝3m+2．
②﹣①得：
y＝m+1．
将以上所求的x，y代入2x﹣3y＝7，得
3m﹣2﹣3（m+1）＝7
解得：m＝2．
【点评】本题考查二元一次方程的求解问题．同学们掌握其计算方法即可．
【题型6 二元一次方程组中的整体代入思想】
【例6】（2020春•大同期末）先阅读材料，然后解方程组．
材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了如下方法：
解：将②变形，得4x+10y+y＝5
即2（2x+5y）+y＝5③
把①代入③，得2×3+y＝5，解得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4．
∴原方程组的解为x=4y=-1．
这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：3x-2y=5①9x-5y=12②．
【分析】仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值．
【解答】解：3x-2y=5①9x-5y=12②，
将②变形，得9x﹣6y+y＝12，
即3（3x﹣2y）+y＝12③，
把①代入③，得3×5+y＝12，解得y＝﹣3．
把y＝﹣3代入①，得3x﹣2×（﹣3）＝5，解得x=-13．
∴原方程组的解为x=-13y=-3．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式6-1】（2020秋•成华区期末）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组 2x+y=7x+2y=8，则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
【分析】（1）由方程组的两式相减与相加即可得出结果；
（2）设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元，由题意列出方程组，即可得出结果；
（3）由定义新运算列出方程组，求出a﹣b+c＝﹣11，即可得出结果．
【解答】解：（1）2x+y=7①x+2y=8②，
由①﹣②得：x﹣y＝﹣1，
①+②得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
由题意得：20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，
由①×2﹣②得：m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；
（3）由题意得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
由①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11，
∴1*1＝a+b+c＝﹣11．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
【变式6-2】（2020春•赣州期末）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为x=4y=-1．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组3x+4y=166x+9y=25；
（2）已知x，y满足方程组x2+xy+3y2=113x2-5xy+9y2=49；
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【分析】（1）根据例题的解法代入计算即可；
（2）把①变形为x2+3y2＝11﹣xy③，然后再代入②即可；根据x与y是整数xy＝﹣2计算即可．
【解答】解：（1）3x+4y=16①6x+9y=25②，
将方程②变形：6x+8y+y＝25，
即2（3x+4y）+y＝25③，
把方程①代入③得：2×16+y＝25，
解得y＝﹣7，
把y＝﹣7代入方程①，得x=443，
所以方程组的解为x=443y=-7；
（2）（i）原方程组化为x2+3y2+xy=11①3(x2+3y2)-5xy=49②，
由①得：x2+3y2＝11﹣xy③，
将③代入方程②得：﹣8xy＝16，
∴xy＝﹣2；
（ii）由（i）得xy＝﹣2，
∵x与y是整数，
∴x=-1y=2或x=1y=-2或x=-2y=1或x=2y=-1，
由（i）可求得x2+3y2＝13，
∴x=-1y=2和x=1y=-2符合题意，
故原方程组的所有整数解是x=-1y=2或x=1y=-2．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程的解法，关键是掌握代入消元法．
【变式6-3】（2020春•河口区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组3x-2y=-13x+2y=7，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 x=1y=2 ；
（2）如何解方程组3(m+5)-2(n+3)=-13(m+5)+2(n+3)=7呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 m=-4n=-1 ；
由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组am+bn=72m-bn=-2的值与3m+n=5am-bn=-1有相同的解，求a、b的值．
【分析】（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，把设m+5＝x，n+3＝y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解；对要解决的问题把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m﹣bn＝﹣2与3m+n＝5可求出m和n的值，继而可求出a、b的值．
【解答】解：（1）方程组的解为：x=1y=2；故应填：x=1y=2；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为组3x-2y=-13x+2y=7，由（1）可得：x=1y=2，所以可解得m=-4n=-1，故应填：m=-4n=-1；
由方程组am+bn=72m-bn=-2的值与3m+n=5am-bn=-1有相同的解可得方程组am+bn=7am-bn=-1，解得am=3bn=4，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
【点评】本题主要考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．
【题型7 解一元一次不等式（组）】
【例7】（2020春•射洪市期末）①x-13-x+42＞-2
②x-32+3＞x+11-3(x-1)≤8-x
【分析】①去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
②先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：①去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+4）＞﹣12，
2x﹣2﹣3x﹣12＞﹣12，
2x﹣3x＞﹣12+12+2，
﹣x＞2，
x＜﹣2；
②x-32+3＞x+1①1-3(x-1))≤8-x②，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能根据不等式的性质进行变形是解①的关键，能求出不等式组的解集是解②的关键．
【变式7-1】（2020春•沂水县期末）解不等式或不等式组：
（1）5x+16-2＞x-54；
（2）3(x-1)＜2x①2x+1＞x-12②．
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）5x+16-2＞x-54，
2（5x+1）﹣24＞3（x﹣5），
10x+2﹣24＞3x﹣15，
10x﹣3x＞﹣15﹣2+24，
7x＞7，
x＞1；
（2）3(x-1)＜2x①2x+1＞x-12②，
由①得：x＜3；
由②得：x＞﹣1；
则不等式组的解集为﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能根据不等式的性质进行变形是解（1）的关键，能求出不等式组的解集是解（2）的关键．
【变式7-2】（2020春•回民区期末）（1）解不等式2x-13-5x+12≤1，并求出这个不等式的负整数解．
（2）解不等式组5x-1＜3(x+1)2x-13-5x+12≤1，并把它们的解集表示在数轴上．
【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出所求即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）原不等式可化为2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，
整理得：﹣11x≤11，
系数化为1得：x≥﹣1，
则负整数解为﹣1；
（2）5x-1＜3(x+1)①2x-13-5x+12≤1②，
解不等式①得 x＜2，
解不等式②得x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
解集在数轴上表示为：
．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式7-3】（2020春•邓州市期末）（1）解不等式3x+5＜7（x﹣1）+3，并写出满足此不等式的最小整数解．
（2）解不等式组-2(x+3)≤7x+3x+12-16＜x+33，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）不等式去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出最小整数解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）去括号得：3x+5＜7x﹣7+3，
移项得：3x﹣7x＜﹣7+3﹣5，
合并得：﹣4x＜﹣9，
解得：x＞94，
则不等式组的最小整数解为3；
（2）-2(x+3)≤7x+3①x+12-16＜x+33②，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜4，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
【题型8 方程组与不等式（组）】
【例8】（2020春•射洪市期末）已知关于x、y的方程组x+y=-m-7x-y=3m+1的解满足x≤0，y＜0．
（1）用含m的代数式分别表示x和y；
（2）求m的取值范围；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx﹣1＜2m﹣x的解集为x＞1？
【分析】（1）首先对方程组进行化简即可求得含m的表示x和y得代数式；
（2）根据方程的解满足的解满足x≤0，y＜0得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，然后求得m的值；
（3）根据不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1，求出m的取值范围，即可解答．
【解答】解：（1）x+y=-m-7①x-y=3m+1②，
①+②得2x＝2m﹣6，
所以，x＝m﹣3；
①﹣②得2y＝﹣4m﹣8，
所以，y＝﹣2m﹣4，
故含m的代数式分别表示x和y为x=m-3y=-2m-4；
（2）∵x≤0，y＜0
∴m-3≤0-2m-4＜0，
解，得﹣2＜m≤3；
（3）不等式变形为：（2m+1）x＜2m+1，
∵原不等式的解集是x＞1，
∴2m+1＜0，
∴m＜-12，
又∵﹣2＜m≤3
∴﹣2＜m＜-12，
∵m为整数，
∴m＝﹣1．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集．
【变式8-1】（2020春•嘉陵区期末）已知方程组x+y=2k+3x-y=-3k-1的解中，x是非负数，y是正数．
（1）求k的取值范围．
（2）化简：|k﹣2|﹣|k+1|．
（3）当k为何整数时，不等式x+2k＜2kx+1的解集为x＞1．
【分析】（1）解方程组求得x、y的值，结合条件可得到关于k的不等式组，解不等式组可求得k的取值范围；
（2）根据（1）中k的取值范围化简即可；
（3）根据不等式的解集求出k的范围，即可得出答案．
【解答】解：（1）解方程组x+y=2k+3x-y=-3k-1得，x=-12k+1y=52k+2，
∵x是非负数，y是正数．
∴-12k+1≥052k+2＞0，解得-45＜k≤2；
（2）∵-45＜k≤2，
∴|k﹣2|﹣|k+1|
＝2﹣k﹣（k+1）
＝﹣2k+1；
（3）x+2k＜2kx+1，
（2k﹣1）x＞2k﹣1，
∵不等式x+2k＜2kx+1的解集为x＞1，
∴2k﹣1＞0，
∴k＞12，
∵-45＜k≤2，k为整数，
∴k＝1或k＝2，
∴当k为1或2时，不等式x+2k＜2kx+1的解集为x＞1．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出k的取值范围是解此题的关键．
【变式8-2】（2020春•常熟市期末）已知关于x、y的方程组2x+y=5mx+2y=3m-2（m是常数）．
（1）若x+y＝1，求m的值；
（2）若1≤x﹣y≤15．求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：|2m+1|﹣|m﹣7|＝ 3m﹣6 ．
【分析】（1）①+②，化简得出x+y=8m-23，由x+y＝1列出关于m的方程，解之可得答案；
（2）①﹣②，得：x﹣y＝2m+2，结合1≤x﹣y≤15得出关于m的不等式组，解之可得；
（3）利用绝对值的性质去绝对值符号，再去括号、合并即可得．
【解答】解：（1）2x+y=5m①x+2y=3m-2②，
①+②，得：3x+3y＝8m﹣2，
则x+y=8m-23，
∵x+y＝1，
∴8m-23=1，
解得m=58；
（2）①﹣②，得：x﹣y＝2m+2，
∵1≤x﹣y≤15，
∴1≤2m+2≤15，
解得2m+2≥1，得：m≥﹣0.5，
解2m+2≤15，得m≤6.5，
则﹣0.5≤m≤6.5；
（3）∵﹣0.5≤m≤6.5，
∴2m+1≥0，m﹣7≤﹣0.5，
则原式＝2m+1﹣（7﹣m）
＝2m+1﹣7+m
＝3m﹣6，
故答案为：3m﹣6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和等式、不等式的基本性质、绝对值的性质是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式8-3】（2020春•番禺区期末）已知关于x，y的方程组3x-y=2a-5x+2y=3a+3的解都为正数．
（1）当a＝2时，解此方程组．
（2）求a的取值范围．
（3）已知a+b＝4，且b＞0，z＝2a﹣3b，求z的取值范围．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可；
（3）根据题意得出b＝4﹣a＞0，即可得到1＜a＜4，代入z＝2a﹣3b得到z＝5a﹣12，根据a的取值可得结论．
【解答】解：（1）当a＝2时，方程组为3x-y=-1①x+2y=9②，
①×2+②得7x＝7，即x＝1，
把x＝1代入①得，3﹣y＝﹣1，即y＝4，
此方程的解为x=1y=4；
（2）解这个方程组的解为：x=a-1y=a+2，
由题意，得 a-1＞0a+2＞0，
则原不等式组的解集为a＞1；
（3）∵a+b＝4，b＞0，
∴b＝4﹣a＞0，
∵a＞1，
∴1＜a＜4，
∵2a﹣3b＝2a﹣3（4﹣a）＝5a﹣12，z＝2a﹣3b，
故﹣7＜z＜8．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．
【题型9 不等式（组）中的含参问题】
【例9】（2020春•江汉区期末）已知，关于x的不等式组x+1＞mx-1≤n有解．
（1）若不等式的解集与1-2x＜53x-12≤4的解集相同，求m+n的值；
（2）若不等式组恰好只有4个整数解．
①若m＝﹣1，求n的取值范围；
②若n＝2m，则m的取值范围为 32≤m＜52 ．
【分析】（1）先求出不等式组1-2x＜53x-12≤4的解集，再根据两个不等式组同解得出关于m、n的方程，即可求解；
（2）①由m＝﹣1得出不等式组x+1＞mx-1≤n的解集为﹣2＜x≤n+1，根据不等式组恰好只有4个整数解，得到2≤n+1＜3，即可求出n的取值范围；
②由n＝2m，得出不等式组x+1＞mx-1≤n的解集为m﹣1＜x≤2m+1，求出2m+1﹣（m﹣1）＝m+2，根据不等式组恰好只有4个整数解，得到4≤m+2＜5，即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）解不等式组1-2x＜53x-12≤4，得﹣2＜x≤3，
解不等式x+1＞m，得x＞m﹣1，
解不等式x﹣1≤n，得x≤n+1，
由题意得m﹣1＝﹣2，n+1＝3，
解得m＝﹣1，n＝2，
m+n＝﹣1+2＝1；
（2）①m＝﹣1时，关于x的不等式组x+1＞mx-1≤n的解集为﹣2＜x≤n+1，
∵不等式组恰好只有4个整数解，
∴4个整数解是﹣1，0，1，2，
∴2≤n+1＜3，
∴1≤n＜2；
②n＝2m时，关于x的不等式组x+1＞mx-1≤n的解集为m﹣1＜x≤2m+1，
∵不等式组恰好只有4个整数解，
3＜2m+1﹣（m﹣1）＜5，
解得1＜m＜3，
∴0＜m﹣1＜2，3＜2m+1＜7，
当0＜m﹣1＜1时，1＜m＜2，
必须满足，4≤2m+1＜5，
∴32≤m＜2．
当1≤m﹣1＜2时，即2≤m＜3时，
必须满足，5≤2m+1＜6，
∴2≤m＜52，
综上所述，32≤m＜52．
故答案为：32≤m＜52．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法与不等式的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【变式9-1】（2020春•渝中区期末）已知不等式组x2+x+13＞0x+5a+43＞43(x+1)+a有且只有两个整数解，求实数a的取值范围，并用数轴把它表示出来．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组有2个整数解，求出a的取值范围，然后在数轴上表示即可．
【解答】解：解不等式x2+x+13＞0得：x＞-25，
解不等式x+5a+43＞43（x+1）+a得：x＜2a，
则不等式组的解集为：-25＜x＜2a，
∵不等式组x2+x+13＞0x+5a+43＞43(x+1)+a有且只有两个整数解，
∴两个整数解为：0，1，
∴1＜2a≤2，
解得：12＜a≤1．
用数轴表示如下：
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是根据不等式组有2个整数解列出关于a的不等式．
【变式9-2】（2020春•淮阳区期末）已知a、b是整数，关于x的不等式x+2b＞a的最小整数解是8，关于x的不等式x﹣3b+19＜2a的最大整数解为8．
（1）求a、b的值．
（2）若|m﹣b|＝m﹣b，|m﹣a|＞a﹣m，求m的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件得到a﹣2b、2a+3b﹣19也是整数，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得不等式组于是得到结论．
【解答】解：（1）∵为a、b是整数，
∴a﹣2b、2a+3b﹣19也是整数，
由x+2b＞a解得：x＞a﹣2b，
由x﹣3b+19＜2a解得：x＜2a+3b﹣19，
于是，由题意可得：a-2b+1=82a+3b-19-1=8，
解得：a=11b=2；
（2）由题意得：m-b≥0a-m＜0，
即：m-2≥011-m＜0，
解得：m≥2m＞11，
∴m的取值范围是：m＞11．
【点评】考查了对解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组的应用，关键是根据题意得出关于ab的方程组．
【变式9-3】（2020春•开福区校级期中）（1）已知x＝a+2，若x＜8，求a的取值范围；
（2）已知不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，求a的取值范围；
（3）已知不等式组x-a≤2x-a＞-1的解集中，任何x的值均在2≤x＜8的范围内，求a的整数解．
【分析】（1）根据题意得到a+2＜8，解得即可；
（2）根据题意得到a+2＜8，解得即可；
（3）表示出不等式组中两不等式的解集，根据任一个x的值均在2≤x＜8的范围中，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）∵x＝a+2，
∴若x＜8，则a+2＜8，
解得a＜6；
（2）由x﹣a≤2可知，x≤a+2，
∵不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，
∴a+2＜8，
解得a＜6；
（3）不等式变形得：x≤a+2x＞a-1，
由任一个x的值均在2≤x＜8的范围中，
得到a+2＜8a-1≥2，
解得：3≤a＜6，
∴a的整数解为3，4，5．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【题型10 不等式（组）中的新定义问题】
【例10】（2020春•姜堰区期末）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：2x﹣1＝3的解为x＝2，2x-3＜9-x5x+5≥2x-4的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝2在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x﹣1＝3是2x-3＜9-x5x+5≥2x-4的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①3x﹣1＝0，②23x﹣1＝0，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组2x-1＞x+13(x-2)-x≤4的“子方程”是 ③ ；（填序号）
（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组3x-6＞4-xx-1≥4x-10的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程2x+4＝0，2x-13=-1都是关于x的不等式组(m-2)x＜m-2x+5≥m的“子方程”，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）解不等式组求得其解集，解方程求出x=k+22，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，解之可得；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：（1）解方程3x﹣1＝0得：x=13，
解方程23x﹣1＝0得：x=32，
解方程2x+3（x+2）＝21得：x＝3，
解不等式组2x-1＞x+13(x-2)-x≤4得：2＜x≤5，
所以不等式组2x-1＞x+13(x-2)-x≤4的“子方程”是③．
故答案为：③；
（2）解不等式3x﹣6＞4﹣x，得：x＞52，
解不等式x﹣1≥4x﹣10，得：x≤3，
则不等式组的解集为52＜x≤3，
解2x﹣k＝2得x=k+22，
∴52＜k+22≤3，
解得3＜k≤4；
（3）解方程2x+4＝0得x＝﹣2，
解方程2x-13=-1得x＝﹣1，
当m＜2时，不等式组为x＞1x≥m-5，此时不等式组的解集为x＞1，不符合题意，舍去；
当m＞2时，解关于x的不等式组(m-2)x＜m-2x+5≥m得m﹣5≤x＜1，
∵2x+4＝0，2x-13=-1都是关于x的不等式组(m-2)x＜m-2x+5≥m的“子方程”，
∴m-2＞0m-5≤-2，
解得2＜m≤3．
【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解“子方程”的定义是解题的关键．
【变式10-1】（2020春•郑州期末）新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①2x﹣1＝0，②13x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组-x+3＞x-43x-1＞-x+2的关联方程是 ③ ；（填序号）
（2）若不等式组x-2＜11+x＞-3x+6的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 2x﹣4＝0 ；（写出一个即可）
（3）若方程6﹣x＝2x，7+x＝3（x+13）都是关于x的不等式组x＜2x-mx-2≤m的关联方程，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）解方程和不等式组，根据关联方程的定义可得答案；
（2）解不等式组求出其整数解，再根据关联方程的定义写出以此整数为解的方程可得答案；
（3）解方程和不等式组，再根据关联方程的概念可得答案．
【解答】解：（1）解方程2x﹣1＝0得x=12；解方程13x+1＝0得x＝﹣3；解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得x＝2；
解不等式组-x+3＞x-43x-1＞-x+2得34＜x＜72，
∴不等式组-x+3＞x-43x-1＞-x+2的关联方程是③；
故答案为：③；
（2）解不等式x﹣2＜1，得：x＜3，
解不等式1+x＞﹣3x+6，得：x＞54，
则不等式组的解集为54＜x＜3，
∴其整数解为2，
则该不等式组的关联方程可以为2x﹣4＝0．（答案不唯一）；
故答案为：2x﹣4＝0；
（3）解方程6﹣x＝2x得x＝2，
解方程7+x＝3（x+13）得x＝3，
解关于x的不等式组x＜2x-m，x-2≤m，得m＜x≤m+2，
∵方程6﹣x＝2x、7+x＝3（x+13）都是关于x的不等式组x＜2x-m，x-2≤m的关联方程，
∴1≤m＜2．
【点评】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的技能是解题的关键．
【变式10-2】（2020春•徐州期末）阅读：我们在数学学习中，经常利用“转化”的思想方法解决问题，比如，我们通过“消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解．下面我们就利用“转化”的思想方法尝试解决新的问题．首先我们把像x2﹣16＞0这样只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．如何确定一元二次不等式x2﹣16＞0的解集呢？
分析：我们可以将一元二次不等式“转化”为一元一次不等式（组）：
x2﹣16＞0可化为（x+4）（x﹣4）＞0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①x+4＞0x-4＞0或②x+4＜0x-4＜0，
解不等式组①得，x＞4，
解不等式组②得，x＜﹣4，
故一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4．
学以致用：求一元二次不等式2x2﹣6x＜0的解集．
【分析】仿照例题，根据“两数相乘，异号得负”列出不等式组，再分别求解可得．
【解答】解：2x2﹣6x＜0可化为2x（x﹣3）＜0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①2x＞0x-3＜0或②2x＜0x-3＞0，
解不等式组①，得：0＜x＜3，
解不等式组②，得该不等式组无解，
故一元二次不等式2x2﹣6x＜0的解集为0＜x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式10-3】（2020春•雨花区期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：x-12＜a+13，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥12，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出2a+43＜2，解不等式即可；
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据m≥12，n＜﹣1，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【解答】解：（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）∵不等式C：x-12＜a+13的解集为x＜2a+53，不等式D：2x﹣（3﹣x）＜3的解集为x＜2，且C是D的“子式”，
∴2a+53≤2，
解得a≤12；
（3）由2m+n=km-n=3求得m=k+33n=k-63，
∵m≥12，n＜﹣1，
∴k+33≥12k-63＜-1，
解得﹣1.5≤k＜3，
∵k为整数，
∴k的值为﹣1，0，1，2；
不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1，
①当k＝1时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当k＞1时，不等式P的解集为x＞-2k-1，
不能满足P与Q存在“雅含”关系，
③当k＜1时，不等式P：kx+6＞x+4的解集为x＜-2k-1，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴k﹣1＜0，且-2k-1＞1，
解得﹣1＜k＜1，
∴k＝0，
综上k的值为0或1．
【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．