2022高考数学一轮复习 第八章 强化训练9　直线与圆中的综合问题

这是一份2022高考数学一轮复习 第八章 强化训练9　直线与圆中的综合问题，共7页。试卷主要包含了已知圆O等内容，欢迎下载使用。

1．(2020·潜山模拟)过点A(－eq \r(3)，eq \r(2))与点B(－eq \r(2)，eq \r(3))的直线的倾斜角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
答案 A
解析 kAB＝eq \f(\r(3)－\r(2),－\r(2)－－\r(3))＝eq \f(\r(3)－\r(2),\r(3)－\r(2))＝1，故直线的倾斜角为45°.
2．若直线l过点(1,3)，且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k等于( )
A．k＝－1或k＝3 B．k＝±1或k＝3
C．k＝－1 D．k＝1或k＝3
答案 A
解析 当直线l经过原点时，可得斜率k＝3.
当直线l不经过原点时，
∵直线l过点(1,3)，且在两条坐标轴上的截距相等，
∴直线l经过点(a,0)，(0，a)(a≠0)．
∴k＝－1.
综上可得，直线l的斜率k＝－1或3.
3．半径为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线y＝0和eq \r(3)x－y－6＝0均相切，则该圆的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝1
B．(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋eq \r(3))2＝1
D．(x－eq \r(3))2＋(y＋1)2＝1
答案 D
解析 由题意，可设圆心坐标为(a，－1)，r＝1.
则d＝eq \f(|\r(3)a＋1－6|,\r(\r(3)2＋－12))＝1，
即|eq \r(3)a－5|＝2，
解得a＝eq \r(3)或eq \f(7\r(3),3).
结合选项可得，所求圆的方程为(x－eq \r(3))2＋(y＋1)2＝1.
4．(2020·重庆期中)已知圆O：x2＋y2＝9上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点有3个，则a等于( )
A．±2eq \r(2) B．±2 C．±eq \r(2) D．±1
答案 A
解析 由题意，圆O：x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，因为圆O上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点有3个，所以点(0,0)到直线l的距离d＝eq \f(|a|,\r(1＋1))＝2，所以a＝±2eq \r(2).
5．直线x＋y＋4＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[eq \r(2)，3eq \r(2)] B．[2eq \r(2)，4eq \r(2)]
C．[4,8] D．[8,16]
答案 D
解析 由题意，得圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心为点(1,1)，半径为eq \r(2)，
∴圆心到直线x＋y＋4＝0的距离为eq \f(|1＋1＋4|,\r(2))＝3eq \r(2)，
∴点P到直线距离的取值范围为[3eq \r(2)－eq \r(2)，3eq \r(2)＋eq \r(2)]即[2eq \r(2)，4eq \r(2)]，
∵A，B两点是直线x＋y＋4＝0分别与x轴，y轴的交点，
∴A(－4,0)，B(0，－4)，|AB|＝4eq \r(2)，
∴(S△ABP)min＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×2eq \r(2)＝8，
(S△ABP)max＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×4eq \r(2)＝16.
6．(多选)(2020·上海进才中学模拟)两内切圆的半径长是方程x2＋px＋q＝0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p＋q等于( )
A．1 B．2 C．4 D．5
答案 AD
解析 设方程的两根为x1，x2，
由x2＋px＋q＝0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－p，,x1x2＝q.))
有一圆半径为3，不妨设x2＝3，
因为两圆内切，所以|x1－3|＝1，所以x1＝4或x1＝2.
当x1＝4时，p＝－7，q＝12，p＋q＝5；
当x1＝2时，p＝－5，q＝6，p＋q＝1.
7．以A(1,3)，B(－5,2)为端点的线段的垂直平分线的方程是________________．
答案 12x＋2y＋19＝0
解析 因为A(1,3)，B(－5,2)，所以线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2)))，直线AB的斜率为eq \f(2－3,－5－1)＝eq \f(1,6)，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为－6，
所以以A(1,3)，B(－5,2)为端点的线段的垂直平分线的方程是y－eq \f(5,2)＝－6(x＋2)，即12x＋2y＋19＝0.
8．(2020·北京汇文中学模拟)已知直线x－ay－1＝0与直线y＝ax平行，则实数a＝_____.
答案 1或－1
解析 当a＝0时，不符合题意；
当a≠0时，由直线x－ay－1＝0与直线y＝ax平行可得直线斜率相等，即eq \f(1,a)＝a⇒a＝±1.
9．若过点P(2,2)可以向圆x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0作两条切线，则实数k的取值范围是
________________．
答案 (－1,1)∪(4，＋∞)
解析 由题意，得圆的一般方程x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0，
可化为(x－k)2＋(y－1)2＝k＋1，
∵方程x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0表示圆，
∴k＋1>0，解得k>－1，
又∵过点P(2,2)可以向圆x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0作两条切线，
∴点P(2,2)在圆外，可得(2－k)2＋(2－1)2>k＋1，
解得k<1或k>4，
综上所述，可得k的取值范围是(－1,1)∪(4，＋∞)．
10．已知圆O：x2＋y2＝1，圆N：(x－a＋2)2＋(y－a)2＝1.若圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线．切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(14),2)，1＋\f(\r(14),2)))
解析 已知有|QO|＝2，即点Q的轨迹方程为圆T：x2＋y2＝4，
问题转化为圆N和圆T有公共点，
则1≤eq \r(a2＋a－22)≤3，故1－eq \f(\r(14),2)≤a≤1＋eq \f(\r(14),2).
11．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)两点，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆M的标准方程；
(2)求过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)的圆N的一般方程．
解 (1)由点A(2，－3)和点B(－2，－5)可得AB的中点C(0，－4)，kAB＝eq \f(－5＋3,－2－2)＝eq \f(1,2)，
线段AB的中垂线方程为y＋4＝－2(x－0)，
即2x＋y＋4＝0，
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2，))
即所求圆的圆心M(－1，－2)，
∴半径r＝eq \r(－2＋32＋－1－22)＝eq \r(10)，
∴圆M的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(2)设圆N的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵圆N过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－D＋F＝0，,9＋3D＋F＝0，,1＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝2，,F＝－3，))
∴圆N的一般方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0.
12．(2021·洪洞新英学校模拟)已知点M(3,1)，圆O1：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)若直线ax－y＋4＝0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为2eq \r(3)，求a的值；
(2)求过点M的圆O1的切线方程．
解 (1)根据题意，圆O1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(1,2)，半径r＝2，
若弦AB的长为2eq \r(3)，则圆心到直线ax－y＋4＝0的距离d＝eq \r(22－\r(3)2)＝1，
又由圆心为(1,2)，直线ax－y＋4＝0，
则有d＝eq \f(|a＋2|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq \f(3,4).
(2)根据题意，分两种情况讨论：
当切线斜率不存在时，其方程为x＝3，与圆相切，符合条件；
当切线斜率存在时，设其方程为y－1＝k(x－3)，
圆心到切线的距离d＝eq \f(|2k＋1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(3,4)，
切线方程为3x－4y－5＝0，
所以过点M的圆O1的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
13．(2020·哈尔滨模拟)已知点P(3，a)，若圆O：x2＋y2＝4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是( )
A．(－3eq \r(3)，3eq \r(3))
B．[－3eq \r(3)，3eq \r(3)]
C．(－∞，－3eq \r(3))∪(3eq \r(3)，＋∞)
D．(－∞，－3eq \r(3)]∪[3eq \r(3)，＋∞)
答案 B
解析 设A(x0，y0)，PA的中点M(x，y)，
由已知有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＝4，,x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋a,2)，))解得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(a,2)))2＝1，
即PA的中点的轨迹为圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(a,2)))2＝1，
又线段PA的中点也在圆O上，
∴两圆有公共点，∴1≤eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2)≤3，解得－3eq \r(3)≤a≤3eq \r(3).
14．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝16，过点P(－2,3)的直线l与C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(11)，则l的方程为________________．
答案 x－2y＋8＝0
解析 由题意，得圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝16的圆心为(－1,1)，半径为r＝4，
又由题意可知，|AB|为弦长，
所以圆心到直线l的距离为d＝eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2)＝eq \r(16－11)＝eq \r(5)，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
所以d＝eq \f(|－k－1＋2k＋3|,\r(k2＋1))＝eq \r(5)，即d＝eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \r(5)，
整理得4k2－4k＋1＝0，解得k＝eq \f(1,2).
故直线l的方程为x－2y＋8＝0.
当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
15．(2021·四川石室中学模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2，若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线l1，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是( )
A．[0,2－eq \r(3))∪(2＋eq \r(3)，＋∞)B．[2－eq \r(3)，2＋eq \r(3)]
C．(－∞，0)D．[0，＋∞)
答案 D
解析 由题意得，圆C的圆心为(2,0)，半径r＝eq \r(2)，
设P(x，y)，
因为两条切线l1⊥l2，如图，
PA⊥PB，由切线性质定理，知
PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，
所以四边形PACB为正方形，所以|PC|＝2，
则(x－2)2＋y2＝4，即点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．
直线l：y＝kx－2过定点(0，－2)，直线方程即kx－y－2＝0，
只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，
即d＝eq \f(|2k－2|,\r(k2＋1))≤2，解得k≥0，
即实数k的取值范围是[0，＋∞)．
16.有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点eq \r(2)百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直的小路交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略不计．
(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；
(2)若要在△ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)
解 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，eq \r(2))．
(1)小路的长度为|OA|＋|OB|＋|AB|，因为OA，OB的长为定值，故只需要AB最小即可．
作OM⊥AB于M(图略)，记|OM|＝d，
则|AB|＝2eq \r(|OA|2－|OM|2)＝2eq \r(4－d2)，
又d≤|OD|＝eq \r(2)，故|AB|≥2eq \r(4－2)＝2eq \r(2)，
此时点D为|AB|的中点．
故小路的最短长度为(4＋2eq \r(2))百米．
(2)显然，当广场所在的圆与△ABO内切时，
面积最大，设△ABO的内切圆的半径为r，
则S△ABO＝eq \f(1,2)(|AB|＋|AO|＋|BO|)·r＝eq \f(1,2)|AB|·d，
由弦长公式|AB|＝2eq \r(4－d2)可得d2＝4－eq \f(|AB|2,4)，
所以r2＝eq \f(|AB|2·16－|AB|2,4|AB|＋42)，
设|AB|＝x，则r2＝f(x)＝eq \f(x2·16－x2,4x＋42)＝eq \f(x2·4－x,4x＋4)，
所以f′(x)＝eq \f(－2x3－8x2＋32x,4x＋42)＝eq \f(－2x·x2＋4x－16,4x＋42)，
又因为0所以x＝|AB|＝2eq \r(4－d2)∈[2eq \r(2)，4)，
所以f′(x)＝eq \f(－2x·x2＋4x－16,4x＋42)<0，
所以f(x)max＝f(2eq \r(2))＝6－4eq \r(2)，
即△ABO的内切圆的面积最大值为(6－4eq \r(2))π.