高考数学一轮复习第十章 检测十

这是一份高考数学一轮复习第十章 检测十，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．(2020·长沙模拟)已知随机变量ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2)))，则E(ξ)等于( )
A．3 B．2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 ∵随机变量ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2)))，
则E(ξ)＝3×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，故选C.
2．(2020·临沂质检)某同学通过英语听力测试的概率为eq \f(1,2)，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 由题意可得1－Ceq \\al(0,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))n>0.9(n∈N*)，求得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n<0.1，∴n≥4.
3．已知某公司生产的一种产品的质量(单位：千克)服从正态分布N(90,64)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在区间(82,106)内的产品估计有( )
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．8 186件 B．6 826件 C．4 772件 D．2 718件
答案 A
解析 依题意，产品的质量X(单位：千克)服从正态分布N(90,64)，得μ＝90，σ＝8，
∴P(82＝0.818 6，
∴质量在区间(82,106)内的产品估计有10 000×0.818 6＝8 186件．
4. (1－x3)(1－x)9 的展开式中x4的系数为( )
A．124 B．135 C．615 D．625
答案 B
解析 当第一个因式取1时，后面因式应取x4对应的通项Ceq \\al(4,9)×15(－x)4＝126x4,1×126x4＝126x4，对应x4系数为126，
当第一个因式取－x3时，后面因式应取x对应的通项Ceq \\al(1,9)×18(－x)1＝－9x，－x3×(－9x)＝9x4，对应x4系数为9，
所以(1－x3)(1－x)9 的展开式中x4的系数为126＋9＝135.
5．(2020·山东九校联考)吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(8,15) C.eq \f(3,5) D.eq \f(3,20)
答案 D
解析 由题意知，第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为A1，A2，A3，口香糖为B1，B2，B3，进行四次取物，基本事件总数为6×5×4×3＝360(种)，
事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖：3×3×2×1＝18(种)，
糖、烟、糖、糖：3×3×2×1＝18(种)，
糖、糖、烟、糖：3×2×3×1＝18(种)，
包含的基本事件个数为54，
所以其概率为eq \f(54,360)＝eq \f(3,20).
6．某校组织《最强大脑》PK赛，最终A，B两队讲入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为eq \f(2,3)，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )
A.eq \f(8,27) B.eq \f(4,9) C.eq \f(16,27) D.eq \f(20,27)
答案 C
解析 比赛结束时A队的得分高于B队的得分可分为以下3种情况：
第一局：A队赢，第二局：A队赢，第三局：A队赢；
第一局：A队赢，第二局：B队赢，第三局：A队赢；
第一局：B队赢，第二局：A队赢，第三局：A队赢，
则对应概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2 × eq \f(1,3)× 2＝eq \f(16,27).
7．口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则E(ξ)等于( )
A．3.55 B．3.5 C．3.45 D．3.4
答案 B
解析 依题意知ξ可取2,3,4，则P(ξ＝2)＝eq \f(1,C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(6,10)，
所以E(ξ)＝2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,10)＋4×eq \f(6,10)＝3.5.
8．(2020·广州模拟)已知随机变量ξ满足下列分布列，当p∈(0,1)且不断增大时( )
A.E(ξ)增大，D(ξ)增大
B．E(ξ)减小，D(ξ)减小
C．E(ξ)增大，D(ξ)先增大后减小
D．E(ξ)增大，D(ξ)先减小后增大
答案 C
解析 由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，
即ξ～B(2，p)，
易得E(ξ)＝2p，D(ξ)＝2p(1－p)，
所以当0二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列随机变量中是离散型随机变量的是( )
A．广州白云机场候机室中一天的旅客数量X
B．广州某水文站观察到一天中珠江的水位X
C．深圳欢乐谷一日接待游客的数量X
D．虎门大桥一天经过的车辆数X
答案 ACD
解析 A，C，D中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；B中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故选ACD.
10．下列等式中，正确的是( )
A．(n＋1)Aeq \\al(m,n)＝Aeq \\al(m＋1,n＋1) B.eq \f(n！,nn－1)＝(n－2)!
C．Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),n！) D.eq \f(1,n－m)Aeq \\al(m＋1,n)＝Aeq \\al(m,n)
答案 ABD
解析 对于A，(n＋1)Aeq \\al(m,n)＝(n＋1)·eq \f(n！,n－m！)
＝eq \f(n＋1！,n－m！)＝eq \f(n＋1！,[n＋1－m＋1]！)＝Aeq \\al(m＋1,n＋1)，正确；
对于B，eq \f(n！,nn－1)＝eq \f(n×n－1×n－2×…×3×2×1,nn－1)＝(n－2)！，正确；
对于C，Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),m！)≠eq \f(A\\al(m,n),n！)，错误；
对于D，eq \f(1,n－m)Aeq \\al(m＋1,n)＝eq \f(1,n－m)·eq \f(n！,n－m－1！)
＝eq \f(n！,n－m！)＝Aeq \\al(m,n)，正确．
11．已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 ABC
解析 ∵已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数Ceq \\al(4,n)最大，则n＝7,8,9，故选ABC.
12．已知正态分布密度函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，以下关于正态曲线的说法正确的是( )
A．曲线与x轴之间的面积为1
B．曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,\r(2π)σ)
C．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移
D．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”
答案 ABC
解析 由概率之和为1可知A正确；
因为－eq \f(x－μ2,2σ2)≤0，所以φ(x)≤eq \f(1,\r(2π)σ)，当且仅当x＝μ时取等号，故B正确；
当σ一定时，曲线的形状是固定的，曲线关于直线x＝μ对称，随着μ的变化沿x轴平移，故C正确；
当μ一定时，曲线的对称轴固定，所以σ越小时，曲线的最大值eq \f(1,\r(2π)σ)越大，故曲线越高瘦，故D错误．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2020·天津六校质检)二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(x))－\r(3,x)))5的展开式的常数项是________．
答案 －40
解析 由题意得Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(x))))5－k()k
＝(－1)kCeq \\al(k,5)25－k，令eq \f(5,6)k－eq \f(5,2)＝0，∴k＝3，
所以常数项为(－1)3Ceq \\al(3,5)25－3＝－40.
14．已知随机变量X的分布列如下表：
若E(X)＝2，则a＝________，D(X)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
答案 0 eq \f(5,2)
解析 由随机变量X的分布列及E(X)＝2，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋b＋\f(1,6)＋\f(1,4)＝1，,\f(1,3)a＋2b＋3×\f(1,6)＋4×\f(1,4)＝2，))解得a＝0，b＝eq \f(1,4)，
所以D(X)＝(0－2)2×eq \f(1,3)＋(2－2)2×eq \f(1,4)＋(3－2)2×eq \f(1,6)＋(4－2)2×eq \f(1,4)＝eq \f(5,2).
15．(2020·唐山质检)某中学的汪老师在教室进行第二轮复习时布置了两道填空题，他预测同学第一题正确的概率为0.8，两题全对的概率为0.6，则汪老师预测第二题正确的概率为________．
答案 0.75
解析 设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，
则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8P(B)＝0.6，
∴P(B)＝0.75.
16．将4瓶外观相同，品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将4种酒排序，经过一段时间后，再让其品尝这4瓶酒，并让他重新按品质优劣将4种酒排序．根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒师的能力．a1，a2，a3，a4表示第一次排序为1,2,3,4的四种酒分别在第二次排序中的序号，记X＝|1－a1|＋|2－a2|＋|3－a3|＋|4－a4|为其偏离程度，假设a1，a2，a3，a4为1,2,3,4的等可能的各种排列．假设每轮测试之间互不影响，p1表示在1轮测试中X≤2的概率，p2表示在前3轮测试中恰好有一轮X≤2的概率，则p2＝________.
答案 eq \f(25,72)
解析 1,2,3,4等可能的各种排列共有Aeq \\al(4,4)＝24(种)，满足X≤2的a1，a2，a3，a4的排列有1,2,3,4；2,1,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4，共4种，∴p1＝eq \f(4,24)＝eq \f(1,6)，
∴p2＝Ceq \\al(1,3)p1(1－p1)2＝3×eq \f(1,6)×eq \f(25,36)＝eq \f(25,72).
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)未来创造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，度量其内径的茎叶图如图(单位：μm)．
(1)计算平均值μ与标准差σ；
(2)假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2)，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86,95,103,109,118，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？
参考数据：P(μ－2σ解 (1)μ＝eq \f(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114,10)
＝105(μm)，
σ2＝eq \f(－82＋－82＋－72＋－32＋02＋22＋32＋42＋82＋92,10)
＝36(μm2)，
所以σ＝6(μm)．
(2)结论：需要进一步调试．
理由如下：如果机器正常工作，
则Z服从正态分布N(105,62)，
P(μ－3σ零件内径在(87,123]之外的概率只有0.002 7，
而86∉(87,123]，根据3σ原则，知机器异常，需要进一步调试．
18．(12分)(2020·南昌摸底)某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金(奖金额3 000元)、专业二等奖学金(奖金额1 500元)及专业三等奖学金(奖金额600元)，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次．图①是统计了该校2019年500名学生周课外平均学习时间的频率分布直方图，图②是这500名学生在2019年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图．
(1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；
(2)若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2×2联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生的学习时间有关？
(3)若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2019年获得的专业奖学金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和均值．
解 (1)获得三等奖学金的频率为(0.008＋0.016＋0.04)×5×0.15＋(0.04＋0.056＋0.016)×5×0.4＋(0.016＋0.008)×5×0.4＝0.32，
故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为500×0.32＝160.
(2)每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生有500×(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.056＋0.016)×5＝440(人)，
其中获得一、二等奖学金的学生有500×(0.008＋0.016＋0.04)×5×0.05＋500×(0.04＋0.056＋0.016)×5×(0.25＋0.05)＝92(人)，
每周课外学习时间超过35小时的“努力型”学生有500－440＝60(人)，其中获得一、二等奖学金学生有36人，
2×2列联表如图所示，
K2＝eq \f(500×92×24－348×362,440×60×128×372)≈42.36>10.83，
故有99.9%的把握认为获得一、二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关．
(3)X的可能取值为0,600,1 500,3 000，
P(X＝600)＝0.32，
P(X＝1 500)＝0.198，
P(X＝3 000)＝0.058，
P(X＝0)＝1－0.32－0.198－0.058＝0.424，
X的分布列
其均值为E(X)＝0×0.424＋600×0.32＋1 500×0.198＋3 000×0.058＝192＋297＋174＝663(元)．
19．(12分)(2020·常州质检)2019年国庆期间，举国上下以各种不同的形式共庆新中国成立70周年，某商家计划以“我和我的祖国”为主题举办一次有奖消费活动，此商家先把某品牌酒重新包装，包装时在每瓶酒的包装盒底部随机印上“中”国”“梦”三个字样中的一个，之后随机装箱(1箱4瓶)，并规定：若顾客购买的一箱酒中的四瓶酒底部所印的字为同一个字，则此顾客获得一等奖，此箱酒可优惠36元；若顾客购买的一箱酒的四瓶酒底部集齐了“中”“国”二字且仅有此二字，则此顾客获得二等奖，此箱酒可优惠27元；若顾客购买的一箱酒中的四瓶酒的底部集齐了“中”“国”“梦”三个字，则此顾客获得三等奖，此箱酒可优惠18元(注：每箱单独兑奖，箱与箱之间的包装盒不能混)．
(1)①设ξ为顾客购买一箱酒所优惠的钱数，求ξ的分布列；
②若不计其他损耗，商家重新包装后每箱酒提价a元，试问a取什么范围时才能使活动后的利润不会小于搞活动之前？
(2)若顾客一次性购买3箱酒，并都中奖，可再加赠一张《我和我的祖国》电影票，顾客小张一次性购买3箱酒，共优惠了72元，求小张能得到电影票的概率？
解 (1)①ξ的所有可能取值为36,27,18,0，
P(ξ＝36)＝eq \f(3,34)＝eq \f(1,27)，
P(ξ＝27)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,4)＋C\\al(2,4),34)＝eq \f(14,81)，
P(ξ＝18)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,4)A\\al(2,2),34)＝eq \f(4,9)，
P(ξ＝0)＝eq \f(28,81)，
则ξ的分布列为
②因为E(ξ)＝36×eq \f(1,27)＋27×eq \f(14,81)＋18×eq \f(4,9)＋0×eq \f(28,81)＝14.
所以当a≥14时，搞活动后的利润不会小于搞活动之前．
(2)因为72＝36×2＝27×2＋18＝36＋18×2 ，
所以若三箱酒中两箱中一等奖，另一箱不中奖，则小张不能得到电影票；
若三箱酒中两箱中二等奖，另一箱中三等奖，或一箱中一等奖，两箱中三等奖，则小张能得到电影票，概率设为P，
则P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C\\al(2,3)×\f(14,81)×\f(14,81)×\f(4,9)＋C\\al(1,3)×\f(1,27)×\f(4,9)×\f(4,9)))÷
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C\\al(2,3)×\f(1,27)×\f(1,27)×\f(28,81)＋C\\al(2,3)×\f(14,81)×\f(14,81)×\f(4,9)＋C\\al(1,3)×\f(1,27)×\f(4,9)×\f(4,9)))
＝eq \f(304,311).
所以小张得到电影票的概率为eq \f(304,311).
20．(12分)(2020·山东九校联考)学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B类解答”．为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：
某次数学考试试卷评阅采用“双评＋仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响)．
(1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B类解答”，求甲同学此题得分X的分布列及均值E(X)；
(2)本次数学考试有6个解答题，每题满分均为12分，同学乙6个题的解答均为“B类解答”，记该同学6个题中得分为xi(x1解 (1)随机变量X的可能取值为9,9.5,10,10.5,11，
设一评、二评、仲裁所打分数分别为x，y，z，
P(X＝9)＝P(x＝9，y＝9)＋P(x＝9，y＝11，z＝9)＋P(x＝11，y＝9，z＝9)
＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)×eq \f(1,4)×2＝eq \f(3,32)，
P(X＝9.5)＝P(x＝9，y＝10)＋P(x＝10，y＝9)
＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×2＝eq \f(1,4)，
P(X＝10)＝P(x＝10，y＝10)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，
P(X＝10.5)＝P(x＝10，y＝11)＋P(x＝11，y＝10)＋P(x＝9，y＝11，z＝10)＋P(x＝11，y＝9，z＝10)
＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×2＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×2＝eq \f(5,16)，
P(X＝11)＝P(x＝11，y＝11)＋P(x＝11，y＝9，z＝11)＋P(x＝9，y＝11，z＝11)
＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)×eq \f(1,4)×2＝eq \f(3,32).
所以X的分布列如下表
均值E(X)＝9×eq \f(3,32)＋9.5×eq \f(1,4)＋10×eq \f(1,4)＋10.5×eq \f(5,16)＋11×eq \f(3,32)＝eq \f(321,32)(分)．
(2)∵eq \i\su(i＝1,5,a)i＝6，
∴P(a1＋a4＋a5＝4)＝P(a2＋a3＝2)，
∵P(a2＋a3＝2)＝P(a2＝0，a3＝2)＋P(a2＝2，a3＝0)＋P(a2＝1，a3＝1)，
P(a2＝0，a3＝2)＝Ceq \\al(2,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4，
P(a2＝2，a3＝0)＝Ceq \\al(2,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4，
P(a2＝1，a3＝1)＝Ceq \\al(1,6)·eq \f(1,4)·Ceq \\al(1,5)·eq \f(1,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4，
P(a2＋a3＝2)＝Ceq \\al(2,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＋Ceq \\al(2,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＋Ceq \\al(1,6)·eq \f(1,4)·Ceq \\al(1,5)·eq \f(1,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4
＝eq \f(15,256)＋eq \f(15,256)＋eq \f(30,256)＝eq \f(15,64)，
∴P(a1＋a4＋a5＝4)＝eq \f(15,64).
21．(12分)(2020·沈阳模拟)2019年某饮料公司计划从A，B两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对A，B两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图．
从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[0,60)的受访者中有20%会购买，评分在[60,80)的受访者中有60%会购买，评分在[80,100]的受访者中有90%会购买．
(1)在受访的100万人中，求对A款饮料评分在60分以下的人数(单位：万人)；
(2)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率；
(3)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由．
解 (1)由A款饮料的评分饼状图，得对A款饮料评分在60分以下的频率为0.05＋0.15＝0.2，
∴对A款饮料评分在60分以下的人数为100×0.2＝20(万人)．
(2)设“受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性”为事件C.
记“购买A款饮料的可能性为20%”为事件A1；“购买A款饮料的可能性为60%”为事件A2；“购买A款饮料的可能性为90%”为事件A3；“购买B款饮料的可能性为20%”为事件B1；“购买B款饮料的可能性为60%”为事件B2；“购买B款饮料的可能性为90%”为事件B3.
则用频率估计概率得P(A1)＝0.05＋0.15＝0.2，
P(A2)＝0.1＋0.2＝0.3，
P(A3)＝0.15＋0.35＝0.5，
P(B1)＝eq \f(5＋5,100)＝0.1，
P(B2)＝eq \f(15＋20,100)＝0.35，
P(B3)＝eq \f(15＋40,100)＝0.55，
∵事件Ai与Bj相互独立，其中i，j＝1,2,3.
∴P(C)＝P(A2B1＋A3B1＋A3B2)＝P(A2)P(B1)＋P(A3)P(B1)＋P(A3)P(B2)＝0.3×0.1＋0.5×0.1＋0.5×0.35＝0.255，
∴该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率为0.255.
(3)从受访者对A，B两款饮料购买期望角度看：A款饮料购买期望X的分布列为
B方案购买期望Y的分布列为：
∴E(X)＝0.2×0.2＋0.6×0.3＋0.9×0.5＝0.67，
E(Y)＝0.2×0.1＋0.6×0.35＋0.9×0.55＝0.725，
根据上述期望可知E(X)22．(12分)某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行测评，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中a－b＝0.016.
(1)求这300名玩家测评分数的平均数；
(2)由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司将对该款游戏进行回收改进．已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为p(0①对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；
②每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明．
解 (1)依题意(0.005＋a＋b＋0.035＋0.028)×10＝1，
故a＋b＝0.032，
而a－b＝0.016，
联立两式解得a＝0.024，b＝0.008，
所求平均数为55×0.05＋65×0.24＋75×0.35＋85×0.28＋95×0.08＝2.75＋15.6＋26.25＋23.8＋7.6＝76.
(2)①因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为Ceq \\al(2,3)p2·(1－p)＋Ceq \\al(3,3)p3，
一款游戏二测被认定需要改进的概率为
Ceq \\al(1,3)p(1－p)2[1－(1－p)2]，
所以某款游戏被认定需要改进的概率为Ceq \\al(2,3)p2(1－p)＋Ceq \\al(3,3)p3＋Ceq \\al(1,3)p(1－p)2[1－(1－p)2]
＝3p2(1－p)＋p3＋3p(1－p)2[1－(1－p)2]
＝－3p5＋12p4－17p3＋9p2.
②设每款游戏的测评费用为X元，则X的可能取值为900,1 500，
P(X＝1 500)＝Ceq \\al(1,3)p(1－p)2，
P(X＝900)＝1－Ceq \\al(1,3)p(1－p)2，
故E(X)＝900×[1－Ceq \\al(1,3)p(1－p)2]＋1 500×Ceq \\al(1,3)p(1－p)2＝900＋1 800p(1－p)2 ，
令g(p)＝p(1－p)2，p∈(0,1) ，
g′(p)＝(1－p)2－2p(1－p)＝(3p－1)(p－1).
当p∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))时，g′(p)>0，g(p)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))上单调递增，
当p∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))时，g′(p)<0，g(p)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))上单调递减，
所以g(p)的最大值为geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(4,27)，
所以实施此方案，最高费用为50＋600×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(900＋1 800×\f(4,27)))×10－4＝120>110，
故所需的最高费用将超过预算．ξ
0
1
2
P
(1－p)2
2p(1－p)
p2
X
a
2
3
4
P
eq \f(1,3)
b
eq \f(1,6)
eq \f(1,4)
P(K2>k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.71
3.84
6.64
7.88
10.83
“非努力型”
学生
“努力型”
学生
总计
获得一二等
奖学金学生
92
36
128
未获得一二等
奖学金学生
348
24
372
总计
440
60
500
X
0
600
1500
3000
P
0.424
0.32
0.198
0.058
ξ
36
27
18
0
P
eq \f(1,27)
eq \f(14,81)
eq \f(4,9)
eq \f(28,81)
教师评分
(满分12分)
11
10
9
各分数所占比例
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
X
9
9.5
10
10.5
11
P
eq \f(3,32)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(5,16)
eq \f(3,32)
X
0.2
0.6
0.9
P
0.2
0.3
0.5
Y
0.2
0.6
0.9
P
0.1
0.35
0.55