高考数学一轮复习第4章第1节平面向量的概念及线性运算

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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
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[五年考情]
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
平面向量的线性运算

全国卷Ⅰ·T6

平面向量基本定理及坐标运算
全国卷Ⅱ·T13
全国卷Ⅰ·T2

平面向量的数量积及其应用
全国卷Ⅰ·T13
全国卷Ⅲ·T3
全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅱ·T4
全国卷Ⅱ·T4
全国卷Ⅰ·T13
全国卷Ⅱ·T14
全国卷·T15
复数的相关概念及其运算
全国卷Ⅰ·T2
全国卷Ⅱ·T2
全国卷Ⅲ·T2
全国卷Ⅰ·T3
全国卷Ⅱ·T2
全国卷Ⅰ·T3
全国卷Ⅱ·T2
全国卷Ⅰ·T2
全国卷Ⅱ·T2
全国卷·T2
[重点关注]
1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小．
2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用．
3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．
[导学心语]
1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1)向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用．
2．平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用．
3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法．
第一节　平面向量的概念及线性运算
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[考纲传真]　1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量
运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量
和的运算

三角形法则

平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．(　　)
(4)△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A.＝－＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝－
A　[＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故选A.]
3．(2017·银川质检)设点P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则＋＝________.
0　[因为＋＝2，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故＋＝0.]
4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．
b－a　－a－b　[如图，＝＝－＝b－a，

＝－＝－－＝－a－b.]
5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
－　[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，
∴得]

平面向量的有关概念
　给出下列六个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②若＝，则ABCD为平行四边形；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；
⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中假命题的序号为________．
①②③④⑤⑥　[①不正确．|a|＝|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；
②不正确．因为＝，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0.
⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．]
[规律方法]　1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.
2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．
3．若a为非零向量，则是与a同向的单位向量，－是与a反向的单位向量．
[变式训练1]　设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是 (　　) 【导学号：31222141】
A．0　　　　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．3
D　[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]

平面向量的线性运算
　(1)(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2016·广东广州模拟)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n(m，n∈R)，则＝(　　)
A．－3 B．－
C. D．3
(1)C　(2)A　[(1)如图，＋＝＋＋＋

＝＋＝(＋)
＝·2＝.
(2)如图，过D作DE∥AB，＝m＋n＝＋＝－＋，
所以n＝－，m＝1，所以＝－3.故选A.]

[规律方法]　向量的线性运算的求解方法
(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
[变式训练2]　(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)
A. B．2
C．3 D．4
(2)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．
(1)D　(2)－2　[(1)因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.故选D.
(2)因为D是BC的中点，则＋＝2.

由＋＋＝0，得＝.
又＝λ，
所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝＋＝2＝－2，所以λ＝－2.]

共线向量定理的应用
　设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，2分
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线.5分
(2)∵ka＋b和a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.9分
∵a，b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.12分
[规律方法]　共线向量定理的应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
[变式训练3]　(1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则
(　　)
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
(2)(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
(1)B　(2)　[(1)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，
∴，共线，又有公共点B，
∴A，B，D三点共线．故选B.
(2)∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得]

[思想与方法]
1．向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
[易错与防范]
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
3．在向量共线的条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
课时分层训练(二十四)
平面向量的概念及线性运算
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝(　　)
【导学号：31222142】
A.a－b　　　　　　 B.a＋b
C．a－b D．a＋b
A　[＝＋＝－＋＝－b＋a，故选A.]
2．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是(　　)
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
B　[因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，又，有公共点A，
所以A，B，D三点共线．]
3．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)
【导学号：31222143】
A. B.
C．－ D．－
A　[∵＝2，即－＝2(－)，
∴＝＋，∴λ＝.]
4．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
C　[＝⇔a＝⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
A　[由题意得＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
因此＋＋＝＋(＋－)
＝＋＝－，
故＋＋与反向平行．]
二、填空题
6．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________.
【导学号：31222144】
平行四边形　[由＋＝＋得－＝－，
所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．]
7．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)
e1＋e2　[在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．]
8．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
　－　[∵＝2，∴＝.
∵＝，∴＝(＋)，
∴MN＝－＝(＋)－
＝－.
又＝x＋y，∴x＝，y＝－.]
三、解答题
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.

图411
[解]　＝(＋)＝a＋b.2分
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.12分
10．设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，
求证：A，C，D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．
[解]　(1)证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，
＝－8e1－2e2，
∴＝＋＝4e1＋e2
＝－(－8e1－2e2)＝－，
∴与共线.3分
又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线.5分
(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.7分
∵A，C，D三点共线，
∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，9分
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
得解得λ＝，k＝.12分
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为 (　　)
【导学号：31222145】
A. B.
C．1 D．2
A　[∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD(图略)，∴四边形MAEC为平行四边形，∴＝＝(＋)．∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝＝，故选A.]
2．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图412，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

图412
　[因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.
因为点M为AH的中点，所以＝＝(＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.]
3．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
[解]　由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，3分
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.6分
因为a，b不共线，所以有9分
解之得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上.12分