小五数学第16讲:棋盘中的数学(学生版)
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第十六讲 棋盘中的数学
1.棋盘中的图形与面积;
2.棋盘中的覆盖问题:
(1)概念:用某种形状的卡片,按一定要求将棋盘覆盖住,就是棋盘的覆盖
问题。实际上,这里并不要求一定是某种棋盘,只要是有关覆盖若干行、若干列
的方格网的问题,就是棋盘的覆盖问题。
(2)分类:棋盘的覆盖问题可以分为,一是能不能覆盖的问题,二是最
多能用多少种图形覆盖的问题,三是有多少种不同的覆盖方法问题。
(3)重要结论:
① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是.
② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是.
3、棋盘中的象棋问题:
所谓棋盘,常见的有中国象棋棋盘(下图(1)),围棋盘(下图(2)),还有国际象棋棋盘(下图(3)).以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题,就叫做棋盘中的数学问题。解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识,统称棋盘中的数学。
1、利用卡片覆盖已知图形,掌握一是能不能覆盖的问题,二是最多能用多少种图形覆盖的问题,三是有多少种不同的覆盖方法问题;
2、利用象棋知识寻找路线;
例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成,则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖?
(A)3×4 (B)3×5 (C)4×4
(D)4×5 (E)6×3
例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格,问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住?
例3 在下图(1)、(2)、(3)、(4)四个图形中:
。
例5、这是一个中国象棋盘,(下图中小方格都是相等的正方形,“界河”的宽等于小正方形边长).黑方有一个“象”,它只能在1,2,3,4,5,6,7位置中的一个,红方有两个“相”,它们只能在8, 9, 10, 11, 12, 13, 14中的两个位置.
问:这三个棋子(一个黑“象”和两个红“相”)各在什么位置时,以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大?
例6、如下图是半张棋盘,请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上,使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下(要符合象棋规则,“相”走田字,只能放在“相”所能到的位置,同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置.马走“日”字,“车”走直线,“炮”隔子控制等).
A档
1、在4×4 的正方形中,至少要放多少个形如所示的卡片,才能使得在不重叠的情形下,不能再在正方形中多放一个这样的卡片?(要求卡片的边缘与格线重合)
2、能否用9 个形如的卡片覆盖6×6 的棋盘?
3、有若干个边长为1、边长为2、边长为3 的小正方形,从中选出一些拼成一个边长为4 的大正方形,共有多少种不同拼法?(只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法)
B档
4、 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形,最少要用多少个右图所示的图形?
5、下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形(可以重复使用某些图形),那么,最多可以用上几种不同的图形?
6、用1×1,2×2,3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形,最少要用1×1的正方形多少个?
7、 用七个1×2的小长方形覆盖下图,共有多少种不同的覆盖方法?
8、 有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板,共有多少种不同的拼法?(通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法)
C档
9、小明有8张连在一起的电影票(如右图),他自己要留下4张连在一起的票,其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况?
10、有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形,从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形,共有多少种不同拼法?(只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法)
11、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形?
12、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形,每种图形都由4个面积为1的小方格组成.现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形(可以重复使用某些图形).那么,最多可以用上面七种图形中的几种?
13、由1×1、 2×2、3×3的小正方形拼成一个23×23的大正方形,在所有可能的拼法中,利用1×1的正方形最少个数是多少?试证明你的结论.
14、如下左图是一个国际象棋棋盘,A处有只蚂蚁,蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走,已经走过的格子不能第二次进入.请问,蚂蚁能否从A出发,经过每个格子最后返回到A处?若能,请你设计一种路线,若不能,请你说明理由.
15、下图是一个围棋盘,另有一堆围棋子,将这堆棋子往棋盘上放,当按格点摆成某个正方阵时,尚多余12枚棋子,如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵,则差9枚棋子才能摆满.
问:这堆棋子原有多少枚?
1、如下左图是一个国际象棋棋盘,A处有只蚂蚁,蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走,已经走过的格子不能第二次进入.请问,蚂蚁能否从A出发,经过每个格子最后返回到A处?若能,请你设计一种路线,若不能,请你说明理由.
2、在8×8的方格棋盘中,如下图所示,填上了一些数字1,2,3,4.试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块,并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字.
3、 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形,最少要用多少个右图所示的图形?
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4、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形,每种图形都由4个面积为1的小方格组成.现用7个这样的图形拼成一个8×4的长方形(可以重复使用某些图形).那么,最少可以用上面七种图形中的几种?
5、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个12×3的正方形?
1、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形,最少要用多少个右图所示的图形?
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2、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形,每种图形都由4个面积为1的小方格组成.现用7个这样的图形拼成一个8×4的长方形(可以重复使用某些图形).那么,最少可以用上面七种图形中的几种?
3、能不能用9个2×3的长方形卡片拼成一个7×8的正方形?
4、
在不重叠的情形下,不能再在正方形中多放一个这样的卡片?(要求卡片的边缘与格线重合)
5、
6、
7、
8、 国际象棋的棋盘有64个方格,有一种威力很大的棋子叫“皇后”,当它放在某格上时,它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子,如下左图上虚线所示.如果有五个“皇后”放在棋盘上,就能把整个棋盘都“管”住,不论对方棋子放在哪一格,都会被吃掉.请你想一想,这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘?
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