高考数学一轮复习 第7章 热点探究训练4

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图7
(1)EF∥平面MNCB；
(2)平面MAC⊥平面BDN.
[证明] (1)取NC的中点G，连接FG，MG.
因为ME∥ND且ME＝eq \f(1,2)ND，
又因为F，G分别为DC，NC的中点，FG∥ND且FG＝eq \f(1,2)ND，
所以FG綊ME，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EF∥MG.4分
又MG⊂平面MNCB，EF⊄平面MNCB，
所以EF∥平面MNCB.
6分
(2)连接BD，MC，因为四边形MADN是矩形，
所以ND⊥AD，又因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，
ND⊂平面MADN，所以ND⊥平面ABCD，
所以ND⊥AC.8分
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.10分
因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BDN.
又因为AC⊂平面MAC，
所以平面MAC⊥平面BDN.12分
2．(2017·合肥质检)如图8，直角三角形ABC中，A＝60°，沿斜边AC上的高BD将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．
图8
(1)求证：BD⊥PE；
(2)过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB的中点，若PE∥平面DMN，求eq \f(DE,DC)的值．
[解] (1)证明：∵BD⊥PD，BD⊥CD且PD∩DC＝D，
∴BD⊥平面PCD，而PE⊂平面PCD，∴BD⊥PE.5分
(2)由题意得BM＝eq \f(1,4)BC，
取BC的中点F，则PF∥MN，∴PF∥平面DMN，7分
由条件PE∥平面DMN，PE∩PF＝P，
∴平面PEF∥平面DMN，∴EF∥DM.10分
∴eq \f(DE,DC)＝eq \f(MF,MC)＝eq \f(1,3).12分
3．(2017·西安调研)如图9①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq \f(π,2)，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.
【导学号：31222266】
① ②
图9
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为36eq \r(2)，求a的值．
[解] (1)证明：在图①中，因为AB＝BC＝eq \f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝eq \f(π,2)，所以BE⊥AC.2分
则在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，
从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.5分
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，
所以A1O⊥平面BCDE.8分
即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．
由图①知，A1O＝eq \f(\r(2),2)AB＝eq \f(\r(2),2)a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，
从而四棱锥A1­BCDE的体积为
V＝eq \f(1,3)S·A1O＝eq \f(1,3)·a2·eq \f(\r(2),2)a＝eq \f(\r(2),6)a3.
由eq \f(\r(2),6)a3＝36eq \r(2)，得a＝6.12分
4．(2017·贵阳模拟)已知如图10，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝1，∠ABC＝∠DBC＝120°.
图10
(1)在直线BC上求作一点O，使BC⊥平面AOD，写出作法并说明理由；
(2)求三棱锥A­BCD的体积. 【导学号：31222267】
[解] (1)作AO⊥BC，交CB延长线于点O，连接DO，则BC⊥平面AOD.1分
证明如下：
∵AB＝DB，OB＝OB，∠ABO＝∠DBO，
∴△AOB≌△DOB，3分
则∠AOB＝∠DOB＝90°，即OD⊥BC.
又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.5分
(2)∵△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，
∴AO⊥平面BCD，即AO是三棱锥A­BCD底面BCD上的高，7分
在Rt△AOB中，AB＝1，∠ABO＝60°，
∴AO＝ABsin 60°＝eq \f(\r(3),2).10分
又∵S△BCD＝eq \f(1,2)BC·BD·sin∠CBD＝eq \f(\r(3),4)，
∴V三棱锥A­BCD＝eq \f(1,3)·S△BCD·AO＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,8).12分
5.如图11，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
图11
(1)求三棱锥P­ABC的体积；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出eq \f(PM,MC)的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
可得S△ABC＝eq \f(1,2)·AB·AC·sin 60°＝eq \f(\r(3),2).2分
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P­ABC的高．又PA＝1，
所以三棱锥P­ABC的体积V＝eq \f(1,3)·S△ABC·PA＝eq \f(\r(3),6).5分
(2)证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.7分
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.10分
在Rt△BAN中，AN＝AB·cs ∠BAC＝eq \f(1,2)，
从而NC＝AC－AN＝eq \f(3,2).由MN∥PA，得eq \f(PM,MC)＝eq \f(AN,NC)＝eq \f(1,3).12分
6.(2015·湖南高考)如图12，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
图12
(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F­AEC的体积．
[解] (1)证明：如图，因为三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.3分
因此AE⊥平面B1BCC1.
而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.5分
(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.
又三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.
因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.8分
由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝eq \f(\r(3),2)AB＝eq \r(3).
在Rt△AA1D中，AA1＝eq \r(A1D2－AD2)＝eq \r(3－1)＝eq \r(2)，所以FC＝eq \f(1,2)AA1＝eq \f(\r(2),2).
故三棱锥F­AEC的体积
V＝eq \f(1,3)S△AEC·FC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6),12).12分