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2021年山东省烟台招远市（五四制）九年级下学期期中考试（一模）数学试题（word版 含答案）
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这是一份2021年山东省烟台招远市（五四制）九年级下学期期中考试（一模）数学试题（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省烟台招远市（五四制）九年级下学期期中考试（一模）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．数学老师为了判断小颖的数学成绩是否稳定，对小颖在中考前的6次模拟考试中的成绩进行了统计，老师应最关注小颖这6次数学成绩的（ ）
A．方差 B．中位数 C．平均数 D．众数
4．如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．2020年的政府工作报告中，在回顾2019年的工作时提到：农村贫困人口减少1109万，贫困发生率降至，脱贫攻坚取得决定性成就．将数据1109万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．利用计算器求值时，小明将按键顺序为显示结果记为a，的显示结果记为b．则a，b的大小关系为（ ）
A．a＜b B．a＞b C．a=b D．不能比较
9．小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A． B． C． D．
10．有下列四个函数：①② ③ ④ ，其中图像经过如图所示的阴影部分（包括边界）的函数有（ ）
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
11．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
12．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
二、填空题
13．－的立方根是______．
14．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________．
15．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是__________．
16．如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，交于点，且，则的长为__________．
17．如图，在扇形中，，点为的中点，交于点，以点为圆心，的长为半径作交于点．若，则图中阴影部分的面积为__________．
18．如图，为⊙的直径，是⊙上的两点，过作于点，过作于点，为上的任意一点，若，，，则的最小值是__________．
三、解答题
19．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣4x+3＝0．
20．“金山银山，不如绿水青山”．各市区不断推进“森林城市”建设，今春种植四类树苗，园林部门从种植的这批树苗中随机抽取了4000棵，将各类树苗的种植棵数绘制成扇形统计图，将各类树苗的成活棵数绘制成条形统计图，经统计松树和杨树的成活率较高，且杨树的成活率为，根据图表中的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中松树所对的圆心角为 度，并补全条形统计图．
（2）该旗区今年共种树34万棵，成活了约多少棵？
（3）园林部门决定明年从这四类树苗中选两类种植，请用列表法或树状图求恰好选到成活率较高的两类树苗的概率．（松树、杨树、榆树、柳树分别用，，，表示）
21．烟台苹果享誉全国．某水果超市计划从烟台购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果．已知3箱红富士苹果的进价与4箱新红星苹果的进价的和为396元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元
（1）求每箱“红富士”苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？
（2）该水果超市计划再次购进100箱苹果，已知：“红富士”苹果的售价每箱65元，“新红星”苹果的售价每箱60元，根据市场的实际需求，“红富士”苹果的数量不低于“新红星”苹果数量的4倍．为使该水果超市售完这100箱苹果的总利润最大，该超市应如何进货？并求出最大利润．
22．如图，内接于，为的直径，的延长线与过点的直线相交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，与，分别相交于点，．若，，求的值．
23．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形）靠墙摆放，高，宽，小强身高，下半身，洗漱时下半身与地面成（），身体前倾成（），脚与洗漱台距离（点，，，在同一直线上）．
（1）此时小强头部点与地面相距多少？
（2）小强希望他的头部恰好在洗漱盆的中点的正上方，他应向前或后退多少？（，，，计算结果精确到）
24．探究发现：
如图1，将两块完全相同的含的直角三角板斜边重合，拼成四边形．是对角线上一动点，，且点在延长线上，交于点，连接．通过探究可以求出：的度数__________．
拓展延伸：
（1）若将“含的直角三角板”换成“含（）的直角三角板”，其他条件不变，如图2，直接写出的度数__________；
（2）若将“含的直角三角形板”换成“含（）的直角三角板”，将“且点在延长线上”换成“且点在线段上（不与点，重合）”，其他条件不变，如图3，求的度数（请说明理由）；
（3）在满足问题（3）或（4）的条件下，若，当点在什么位置时，线段最短？最短值是多少？（不写过程直接给出结果）
25．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点．其顶点为．
（1）抛物线及直线的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值．
（4）设点的坐标为，直接写出使的和最小时的值．
参考答案
1．C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．B
【分析】
根据单项式乘单项式、幂的乘方、多项式乘多项式、合并同类项法则计算，判断即可．
【详解】
解：、，本选项计算错误，不符合题意；
、，本选项计算正确，符合题意；
、，本选项计算错误，不符合题意；
、，本选项计算错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查的是单项式乘单项式、幂的乘方、多项式乘多项式、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】
方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小．方差越小，数据越稳定．
【详解】
解：由于方差反映数据的波动大小，故老师最关注小颖这6次数学成绩的稳定性，就是关注这6次数学成绩的方差．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查统计的有关知识，熟悉平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
4．D
【分析】
根据角平分线的定义求出∠COD、∠BOD的度数， 分两种情况：射线OA在直线CE的左上方和射线OA在直线CE的右下方一一加以计算即可．
【详解】
∵平分，
∴∠COD=∠BOD=∠BOC=28°
当射线OA在直线CE的左上方时，如左图所示
∵和互余
∴AO⊥OD，即∠AOD=90°
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°+28°=118°
当射线OA在直线CE的右下方时，如右图所示
∵和互余
∴∠COD+∠AOC=90°
∴∠AOC=90°-28°=62°
∴∠AOB=∠BOC-∠AOC=62°-56°=6°
故选：D．
【点睛】
本题考查了角的和差、角平分线的定义、互余，涉及分类讨论，关键是掌握互余的含义．
5．C
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】
解：1109万．
故选：．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
6．A
【分析】
分别解两个不等式，再确定不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集即可得到答案．
【详解】
解：
由①得：
由②得：＞
不等式组的解集为：＜
所以在数轴上表示其解集如下：
故选：
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集，空心圈与实心点的含义理解是易错点．
7．B
【分析】
由切线的性质求解 再利用三角形的内角和定理求解 再利用圆心角与圆周角的关系可得答案．
【详解】
解： 是的切线，，
故选：
【点睛】
本题考查的是切线的性质，圆周角与圆心角的关系，掌握切线的性质是解题的关键．
8．B
【详解】
分析：由计算器的使用得出a、b的值即可．
详解：由计算器知a=（sin30°）﹣4=16，b==12，
∴a＞b，
故选B．
点睛：本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是掌握计算器的使用．
9．B
【分析】
根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度，即可列方程解出的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．
【详解】
解：设手臂竖直举起时总高度，列方程得：
，
解得，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，平行投影等知识，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．
10．B
【分析】
逐一根据函数的性质和把x=1、x=2代入求值即可判断．
【详解】
解：①，当x=1时，y=2×1=2，图像经过阴影部分；
② ，，图像经过一、三象限，不经过阴影部分；
③ ，当x=2时，，图像经过阴影部分；
④ ，由抛物线的性质得开口向下，顶点坐标为，当x=1时，，当x=2时，，∴抛物线图像不经过阴影．
故选：B
【点睛】
本题先判断函数经过的象限，如果不经过第一象限，直接排除，如果经过第一象限，再分别代入x=1、x=2进行确定．
11．C
【详解】
分析：连接OP．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短．连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论．
详解：连接OP．
∵PA⊥PB，OA=OB，∴OP=AB，当OP最短时，AB最短．
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，∴AB的最小值为2OP=6．故选C．
点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．
12．D
【分析】
从抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点，函数的增减性等去分析判断即可．
【详解】
∵从图像上看出,直线x=1与抛物线的交点位于第四象限，
∴，故①正确；
∵从图像上看出,直线x= -1时，函数有最大值，y=a-b+c，
当x=0时，函数值为y=c=1，
∴，故②正确；
∵-＜0，
∴ab＞0，
∵c=1,
∴，故③正确；
∵，b=2a，
∴，故④正确；
∵，b=2a，
∴，故⑤正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了抛物线与各系数之间的关系，对称轴，函数的增减性，最值，与坐标轴的交点，读懂函数图象，明确各代数式的意义是解题的关键．
13．-2
【分析】
先化简，再根据立方根的定义求出即可．
【详解】
解：－=-8
则-8的立方根是-2．
故答案为：-2
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的应用，解答关键是根据相关定义进行计算．
14．9
【分析】
可表示为，由根与系数的关系即可求得结果．
【详解】
根据根与系数的关系得：，
∴=
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是把用两根和与两根的积的代数式表示出来．
15．
【分析】
分别计算出阴影部分的面积和大正方形的面积，然后按照概率公式计算即可．
【详解】
在中，由勾股定理得，
，
∴阴影部分正方形的边长为，
∴阴影部分正方形的面积为，
∵大正方形的面积为，
∴击中阴影部分的概率，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了概率的计算，勾股定理，正方形的面积等知识点，解答本题的关键是掌握概率的计算公式．
16．
【分析】
由旋转的性质可得，在时，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】
解：将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用勾股定理列出方程可求解．
17．
【分析】
连接，，根据点为的中点可得，继而可得为等边三角形，求出扇形的面积，最后用扇形的面积减去扇形的面积，再减去（弓形的面积+的面积）即可求得阴影部分的面积．
【详解】
连接，，
∵点为的中点，
∴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴S扇形AOE，
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-(S扇形AOE-S△COE)，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算，圆的性质，等边三角形的性质，三角形面积的计算等知识点，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：．
18．．
【分析】
先由MN=10求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=3，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，证出△AB′E是等腰直角三角形即可得出结果．
【详解】
解：∵MN=10，
∴⊙O的半径=5，
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB=5，BD=3，
∴OD=，
同理，在Rt△AOC中，OA=5，AC=4，
∴OC=，
∴CD=4+3=7，
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，
则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=3，
过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，如图所示：
则四边形CDB′E是矩形，
∴B′E=CD=7，CE=DB′=DB=3，
∵AE=AC+CE=4+3=7，B′E=CD=7，
∴△AB′E是等腰直角三角形，
∴AB′=AE=，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了勾股定理、轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握最小值的求法是解题的关键．
19．化简结果是，求值结果是：．
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【详解】
解：原式＝
＝
＝
＝，
∵x满足x2﹣4x+3＝0，
∴(x-3)(x-1)＝0，
∴x1＝3，x2＝1，
当x＝3时，原式＝﹣＝；
当x＝1时，分母等于0，原式无意义．
∴分式的值为．
故答案为：化简结果是，求值结果是：.
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元二次方程的能力．
20．（1）144，图见解析；（2）成活了约318750棵；（3）．
【分析】
（1）求出“松树”所占的百分比，即可求出“松树”所占的圆心角的度数，求出“杨树”成活的棵数即可补全条形统计图；
（2）求出样本的总成活率，估计总体成活率，进而求出成活的棵数；
（3）用树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出“选到成活率较高的两类树苗，就、”的结果数，进而求出概率．
【详解】
解：（1）松树所对应的圆心角度数：，
杨树成活的棵数：（棵，
故答案为：144，补全条形统计图如图所示：
（2）依题意得：（棵
答：该市今年共种树340000棵，成活了约318750棵；
（3）用树状图表示所有可能出现的结果如下：（松树、杨树、榆树、柳树分别用，，，表示）
所有等可能的情况有12种，其中恰好选到成活率较高的两类树苗有2种，
∴（恰好选到成活率较高的两类树苗）．
【点睛】
本题统计图表和概率的求法等知识点，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
21．（1）60元，54元；（2）应购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果各80箱和20箱，最大利润为520元．
【分析】
（1）根据3箱红富士苹果的进价与4箱新红星苹果的进价的和为396元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每箱“红富士”苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元；
（2）设购买“红富士”苹果箱，获得总利润为元，根据总利润 “红富士”苹果的利润 “新红星”苹果的利润，可以写出与之间的函数关系式，根据一次函数的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）设每箱“红富士”苹果的进价与每箱“新红星”苹果的进价分别是元、元，
，
解得：，
答：每箱“红富士”苹果的进价与每箱“新红星”苹果的进价分别是60元，54元；
（2）设购买“红富士”苹果箱，获得利润为元，由题意得：
，
，
随的增大而减小，
“红富士”苹果的数量不低于“新红星”苹果数量的4倍．
，
，
当时，取得最大值．
此时（元，
（箱，
答：为使该水果超市售完这100箱苹果的总利润最大，该超市应购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果各80箱和20箱．最大利润为520元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，熟悉相关性质是解答本题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接，由圆周角定理得出，则可得出结论；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，由勾股定理及锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】
（1）证明：连接，
是直径，
，即，
，，
，
，
为半径外端，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
．
．
【点睛】
本题考查切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．（1）；（2）．
【分析】
（1）过点作于，过点作于．求出、的值即可解决问题；
（2）求出、的值即可判断；
【详解】
解：（1）过点作于，过点作于，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即此时小强头部点与地面相距约为；
（2）过点作于点，延长交于，
∵，为中点，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，．
∵，，
∴，
，
即小强应向前．
【点睛】
本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解题的关键．
24．探究发现：；拓展延伸：（1）；（2），理由见解析；（3）当时，此时最短为．
【分析】
解：探究发现：先证明△ADP≌△CDP，得到∠DAP=∠DCP，再证明△CPF∽△EDF，得到∠CPF=∠EDF，由此即可得出答案；
（1）先证明△ADP≌△CDP，得到∠DAP=∠DCP，再证明△CPF∽△EDF，得到∠CPF=∠EDF，由此即可得出答案；
（2）分别延长，相交于点，同（1）可证得到∠CPF=∠EDF，由此即可得出答案；
（3）根据直角三角形的性质得出当AP⊥BD时CE最短，此时可证△PCE为等边三角形 ，得出CE=PC=AP，根据给出的边和角度计算出长度即可．
【详解】
探究发现：．理由如下：
∵将两块完全相同的含的直角三角板斜边重合，拼成四边形．
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠PDA=∠PAC，∠ADC=90°，
又∵PD=PD，
∴△PAD≌△PCD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DEP，
又∵∠PFC=∠DFE，
∴△CPF∽△EDF，
∴∠CPF=∠EDF，
∵点在延长线上，
∴∠EDF=90°，
∴∠CPF=90°，
故答案为：90°；
（1）∵将两块完全相同的含的直角三角板斜边重合，拼成四边形．
∴∠ADB=∠CDB=90°-30°=60°，AD=CD，
∵点在延长线上，
∴∠EDC=180°-60°-60°=60°，
又∵PD=PD，
∴△PAD≌△PCD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DEP，
又∵∠PFC=∠DFE，
∴△CPF∽△EDF，
∴∠CPF=∠EDF=60°，
故答案为：60°；
（2）分别延长，相交于点，如图
∵，，，
∴，∠EDF=180°-60°-60°=60°，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∵∠AEP=∠FED，
∴∠DCP=∠FED，
又∵∠PFC=∠DFE，
∴△CPF∽△EDF，
∴∠CPE=∠EDF=60°；
（3）当时，此时最短为．
理由如下：
在Rt△ABD中，∠ABD=80°，BD=8，
∴，
在Rt△APD中，∠ADP=90°-30°=60°，
∴∠DAP=90°-∠ADP=30°，
∴，
∴，
由（1）知∠CPE=60°，PC=PE，
∴△PCE为等边三角形，
∴CE=PC=AP=，
故当时，此时最短为．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等，综合性较强，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
25．（1），；（2）能，满足条件的点的坐标为或或；（3）；（4）．
【分析】
（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线的函数关系式；
（2）利用配方法及一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，由，可知当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，设，分点在点上方、点在点下方两种情况考虑：①当点在点上方，由的长结合点的坐标可得出点的坐标为，再利用二次函数图象上点的坐标特征可知点F坐标为，据此列方程求解，进而可得出点的坐标；②当点在点下方，由的长结合点的坐标可得出点的坐标为，同理可求点E坐标；
（3）过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为，设点的坐标为，，则点的坐标为，结合点，的坐标及，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
（4）关于直线的对称点，根据轴对称确定最短路线问题，连接与直线的交点即为所求的点，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再令求解即可得到的值；
【详解】
解：（1）由抛物线过点及得，
，
解得，
故抛物线为；
又设直线为过点及，
得，
解得．
故直线为；
（2）∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵点在直线上，设．
，当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形．如图1，
①点在点上方，则，
∵在抛物线上，
∴，
解得，或（舍去），
∴；
②当点在点下方，则，
∵在抛物线上，
∴，
解得或，
∴或，
综上，满足条件的点的坐标为或或；
（3）如图3，过点作轴交于点，交轴于点；过点作轴于点，设，则，
∴
；
又∵
，
∴面积的最大值为；
∴的面积的最大值为．
（4）．
过程如下：
点，点在直线上，
点关于直线的对称点坐标为，
令，则，
所以，点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
所以，，
当时，，
所以，；
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、三角形的面积、梯形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次（一次）函数解析式；（2）分点F相对于点位置两种情况讨论，求出点的坐标；（3）利用分割图形求面积法，找出关于的函数关系式．难点在于（4）由轴对称确定最短路线问题，掌握点的位置的确定方法．
2021年山东省烟台招远市（五四制）九年级下学期期中考试（一模）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．数学老师为了判断小颖的数学成绩是否稳定，对小颖在中考前的6次模拟考试中的成绩进行了统计，老师应最关注小颖这6次数学成绩的（ ）
A．方差 B．中位数 C．平均数 D．众数
4．如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．2020年的政府工作报告中，在回顾2019年的工作时提到：农村贫困人口减少1109万，贫困发生率降至，脱贫攻坚取得决定性成就．将数据1109万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．利用计算器求值时，小明将按键顺序为显示结果记为a，的显示结果记为b．则a，b的大小关系为（ ）
A．a＜b B．a＞b C．a=b D．不能比较
9．小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A． B． C． D．
10．有下列四个函数：①② ③ ④ ，其中图像经过如图所示的阴影部分（包括边界）的函数有（ ）
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
11．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
12．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
二、填空题
13．－的立方根是______．
14．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________．
15．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是__________．
16．如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，交于点，且，则的长为__________．
17．如图，在扇形中，，点为的中点，交于点，以点为圆心，的长为半径作交于点．若，则图中阴影部分的面积为__________．
18．如图，为⊙的直径，是⊙上的两点，过作于点，过作于点，为上的任意一点，若，，，则的最小值是__________．
三、解答题
19．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣4x+3＝0．
20．“金山银山，不如绿水青山”．各市区不断推进“森林城市”建设，今春种植四类树苗，园林部门从种植的这批树苗中随机抽取了4000棵，将各类树苗的种植棵数绘制成扇形统计图，将各类树苗的成活棵数绘制成条形统计图，经统计松树和杨树的成活率较高，且杨树的成活率为，根据图表中的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中松树所对的圆心角为 度，并补全条形统计图．
（2）该旗区今年共种树34万棵，成活了约多少棵？
（3）园林部门决定明年从这四类树苗中选两类种植，请用列表法或树状图求恰好选到成活率较高的两类树苗的概率．（松树、杨树、榆树、柳树分别用，，，表示）
21．烟台苹果享誉全国．某水果超市计划从烟台购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果．已知3箱红富士苹果的进价与4箱新红星苹果的进价的和为396元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元
（1）求每箱“红富士”苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？
（2）该水果超市计划再次购进100箱苹果，已知：“红富士”苹果的售价每箱65元，“新红星”苹果的售价每箱60元，根据市场的实际需求，“红富士”苹果的数量不低于“新红星”苹果数量的4倍．为使该水果超市售完这100箱苹果的总利润最大，该超市应如何进货？并求出最大利润．
22．如图，内接于，为的直径，的延长线与过点的直线相交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，与，分别相交于点，．若，，求的值．
23．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形）靠墙摆放，高，宽，小强身高，下半身，洗漱时下半身与地面成（），身体前倾成（），脚与洗漱台距离（点，，，在同一直线上）．
（1）此时小强头部点与地面相距多少？
（2）小强希望他的头部恰好在洗漱盆的中点的正上方，他应向前或后退多少？（，，，计算结果精确到）
24．探究发现：
如图1，将两块完全相同的含的直角三角板斜边重合，拼成四边形．是对角线上一动点，，且点在延长线上，交于点，连接．通过探究可以求出：的度数__________．
拓展延伸：
（1）若将“含的直角三角板”换成“含（）的直角三角板”，其他条件不变，如图2，直接写出的度数__________；
（2）若将“含的直角三角形板”换成“含（）的直角三角板”，将“且点在延长线上”换成“且点在线段上（不与点，重合）”，其他条件不变，如图3，求的度数（请说明理由）；
（3）在满足问题（3）或（4）的条件下，若，当点在什么位置时，线段最短？最短值是多少？（不写过程直接给出结果）
25．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点．其顶点为．
（1）抛物线及直线的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值．
（4）设点的坐标为，直接写出使的和最小时的值．
参考答案
1．C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．B
【分析】
根据单项式乘单项式、幂的乘方、多项式乘多项式、合并同类项法则计算，判断即可．
【详解】
解：、，本选项计算错误，不符合题意；
、，本选项计算正确，符合题意；
、，本选项计算错误，不符合题意；
、，本选项计算错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查的是单项式乘单项式、幂的乘方、多项式乘多项式、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】
方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小．方差越小，数据越稳定．
【详解】
解：由于方差反映数据的波动大小，故老师最关注小颖这6次数学成绩的稳定性，就是关注这6次数学成绩的方差．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查统计的有关知识，熟悉平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
4．D
【分析】
根据角平分线的定义求出∠COD、∠BOD的度数， 分两种情况：射线OA在直线CE的左上方和射线OA在直线CE的右下方一一加以计算即可．
【详解】
∵平分，
∴∠COD=∠BOD=∠BOC=28°
当射线OA在直线CE的左上方时，如左图所示
∵和互余
∴AO⊥OD，即∠AOD=90°
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°+28°=118°
当射线OA在直线CE的右下方时，如右图所示
∵和互余
∴∠COD+∠AOC=90°
∴∠AOC=90°-28°=62°
∴∠AOB=∠BOC-∠AOC=62°-56°=6°
故选：D．
【点睛】
本题考查了角的和差、角平分线的定义、互余，涉及分类讨论，关键是掌握互余的含义．
5．C
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】
解：1109万．
故选：．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
6．A
【分析】
分别解两个不等式，再确定不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集即可得到答案．
【详解】
解：
由①得：
由②得：＞
不等式组的解集为：＜
所以在数轴上表示其解集如下：
故选：
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集，空心圈与实心点的含义理解是易错点．
7．B
【分析】
由切线的性质求解 再利用三角形的内角和定理求解 再利用圆心角与圆周角的关系可得答案．
【详解】
解： 是的切线，，
故选：
【点睛】
本题考查的是切线的性质，圆周角与圆心角的关系，掌握切线的性质是解题的关键．
8．B
【详解】
分析：由计算器的使用得出a、b的值即可．
详解：由计算器知a=（sin30°）﹣4=16，b==12，
∴a＞b，
故选B．
点睛：本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是掌握计算器的使用．
9．B
【分析】
根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度，即可列方程解出的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．
【详解】
解：设手臂竖直举起时总高度，列方程得：
，
解得，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，平行投影等知识，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．
10．B
【分析】
逐一根据函数的性质和把x=1、x=2代入求值即可判断．
【详解】
解：①，当x=1时，y=2×1=2，图像经过阴影部分；
② ，，图像经过一、三象限，不经过阴影部分；
③ ，当x=2时，，图像经过阴影部分；
④ ，由抛物线的性质得开口向下，顶点坐标为，当x=1时，，当x=2时，，∴抛物线图像不经过阴影．
故选：B
【点睛】
本题先判断函数经过的象限，如果不经过第一象限，直接排除，如果经过第一象限，再分别代入x=1、x=2进行确定．
11．C
【详解】
分析：连接OP．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短．连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论．
详解：连接OP．
∵PA⊥PB，OA=OB，∴OP=AB，当OP最短时，AB最短．
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，∴AB的最小值为2OP=6．故选C．
点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．
12．D
【分析】
从抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点，函数的增减性等去分析判断即可．
【详解】
∵从图像上看出,直线x=1与抛物线的交点位于第四象限，
∴，故①正确；
∵从图像上看出,直线x= -1时，函数有最大值，y=a-b+c，
当x=0时，函数值为y=c=1，
∴，故②正确；
∵-＜0，
∴ab＞0，
∵c=1,
∴，故③正确；
∵，b=2a，
∴，故④正确；
∵，b=2a，
∴，故⑤正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了抛物线与各系数之间的关系，对称轴，函数的增减性，最值，与坐标轴的交点，读懂函数图象，明确各代数式的意义是解题的关键．
13．-2
【分析】
先化简，再根据立方根的定义求出即可．
【详解】
解：－=-8
则-8的立方根是-2．
故答案为：-2
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的应用，解答关键是根据相关定义进行计算．
14．9
【分析】
可表示为，由根与系数的关系即可求得结果．
【详解】
根据根与系数的关系得：，
∴=
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是把用两根和与两根的积的代数式表示出来．
15．
【分析】
分别计算出阴影部分的面积和大正方形的面积，然后按照概率公式计算即可．
【详解】
在中，由勾股定理得，
，
∴阴影部分正方形的边长为，
∴阴影部分正方形的面积为，
∵大正方形的面积为，
∴击中阴影部分的概率，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了概率的计算，勾股定理，正方形的面积等知识点，解答本题的关键是掌握概率的计算公式．
16．
【分析】
由旋转的性质可得，在时，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】
解：将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用勾股定理列出方程可求解．
17．
【分析】
连接，，根据点为的中点可得，继而可得为等边三角形，求出扇形的面积，最后用扇形的面积减去扇形的面积，再减去（弓形的面积+的面积）即可求得阴影部分的面积．
【详解】
连接，，
∵点为的中点，
∴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴S扇形AOE，
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-(S扇形AOE-S△COE)，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算，圆的性质，等边三角形的性质，三角形面积的计算等知识点，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：．
18．．
【分析】
先由MN=10求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=3，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，证出△AB′E是等腰直角三角形即可得出结果．
【详解】
解：∵MN=10，
∴⊙O的半径=5，
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB=5，BD=3，
∴OD=，
同理，在Rt△AOC中，OA=5，AC=4，
∴OC=，
∴CD=4+3=7，
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，
则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=3，
过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，如图所示：
则四边形CDB′E是矩形，
∴B′E=CD=7，CE=DB′=DB=3，
∵AE=AC+CE=4+3=7，B′E=CD=7，
∴△AB′E是等腰直角三角形，
∴AB′=AE=，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了勾股定理、轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握最小值的求法是解题的关键．
19．化简结果是，求值结果是：．
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【详解】
解：原式＝
＝
＝
＝，
∵x满足x2﹣4x+3＝0，
∴(x-3)(x-1)＝0，
∴x1＝3，x2＝1，
当x＝3时，原式＝﹣＝；
当x＝1时，分母等于0，原式无意义．
∴分式的值为．
故答案为：化简结果是，求值结果是：.
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元二次方程的能力．
20．（1）144，图见解析；（2）成活了约318750棵；（3）．
【分析】
（1）求出“松树”所占的百分比，即可求出“松树”所占的圆心角的度数，求出“杨树”成活的棵数即可补全条形统计图；
（2）求出样本的总成活率，估计总体成活率，进而求出成活的棵数；
（3）用树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出“选到成活率较高的两类树苗，就、”的结果数，进而求出概率．
【详解】
解：（1）松树所对应的圆心角度数：，
杨树成活的棵数：（棵，
故答案为：144，补全条形统计图如图所示：
（2）依题意得：（棵
答：该市今年共种树340000棵，成活了约318750棵；
（3）用树状图表示所有可能出现的结果如下：（松树、杨树、榆树、柳树分别用，，，表示）
所有等可能的情况有12种，其中恰好选到成活率较高的两类树苗有2种，
∴（恰好选到成活率较高的两类树苗）．
【点睛】
本题统计图表和概率的求法等知识点，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
21．（1）60元，54元；（2）应购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果各80箱和20箱，最大利润为520元．
【分析】
（1）根据3箱红富士苹果的进价与4箱新红星苹果的进价的和为396元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每箱“红富士”苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元；
（2）设购买“红富士”苹果箱，获得总利润为元，根据总利润 “红富士”苹果的利润 “新红星”苹果的利润，可以写出与之间的函数关系式，根据一次函数的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）设每箱“红富士”苹果的进价与每箱“新红星”苹果的进价分别是元、元，
，
解得：，
答：每箱“红富士”苹果的进价与每箱“新红星”苹果的进价分别是60元，54元；
（2）设购买“红富士”苹果箱，获得利润为元，由题意得：
，
，
随的增大而减小，
“红富士”苹果的数量不低于“新红星”苹果数量的4倍．
，
，
当时，取得最大值．
此时（元，
（箱，
答：为使该水果超市售完这100箱苹果的总利润最大，该超市应购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果各80箱和20箱．最大利润为520元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，熟悉相关性质是解答本题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接，由圆周角定理得出，则可得出结论；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，由勾股定理及锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】
（1）证明：连接，
是直径，
，即，
，，
，
，
为半径外端，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
．
．
【点睛】
本题考查切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．（1）；（2）．
【分析】
（1）过点作于，过点作于．求出、的值即可解决问题；
（2）求出、的值即可判断；
【详解】
解：（1）过点作于，过点作于，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即此时小强头部点与地面相距约为；
（2）过点作于点，延长交于，
∵，为中点，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，．
∵，，
∴，
，
即小强应向前．
【点睛】
本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解题的关键．
24．探究发现：；拓展延伸：（1）；（2），理由见解析；（3）当时，此时最短为．
【分析】
解：探究发现：先证明△ADP≌△CDP，得到∠DAP=∠DCP，再证明△CPF∽△EDF，得到∠CPF=∠EDF，由此即可得出答案；
（1）先证明△ADP≌△CDP，得到∠DAP=∠DCP，再证明△CPF∽△EDF，得到∠CPF=∠EDF，由此即可得出答案；
（2）分别延长，相交于点，同（1）可证得到∠CPF=∠EDF，由此即可得出答案；
（3）根据直角三角形的性质得出当AP⊥BD时CE最短，此时可证△PCE为等边三角形 ，得出CE=PC=AP，根据给出的边和角度计算出长度即可．
【详解】
探究发现：．理由如下：
∵将两块完全相同的含的直角三角板斜边重合，拼成四边形．
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠PDA=∠PAC，∠ADC=90°，
又∵PD=PD，
∴△PAD≌△PCD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DEP，
又∵∠PFC=∠DFE，
∴△CPF∽△EDF，
∴∠CPF=∠EDF，
∵点在延长线上，
∴∠EDF=90°，
∴∠CPF=90°，
故答案为：90°；
（1）∵将两块完全相同的含的直角三角板斜边重合，拼成四边形．
∴∠ADB=∠CDB=90°-30°=60°，AD=CD，
∵点在延长线上，
∴∠EDC=180°-60°-60°=60°，
又∵PD=PD，
∴△PAD≌△PCD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DEP，
又∵∠PFC=∠DFE，
∴△CPF∽△EDF，
∴∠CPF=∠EDF=60°，
故答案为：60°；
（2）分别延长，相交于点，如图
∵，，，
∴，∠EDF=180°-60°-60°=60°，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∵∠AEP=∠FED，
∴∠DCP=∠FED，
又∵∠PFC=∠DFE，
∴△CPF∽△EDF，
∴∠CPE=∠EDF=60°；
（3）当时，此时最短为．
理由如下：
在Rt△ABD中，∠ABD=80°，BD=8，
∴，
在Rt△APD中，∠ADP=90°-30°=60°，
∴∠DAP=90°-∠ADP=30°，
∴，
∴，
由（1）知∠CPE=60°，PC=PE，
∴△PCE为等边三角形，
∴CE=PC=AP=，
故当时，此时最短为．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等，综合性较强，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
25．（1），；（2）能，满足条件的点的坐标为或或；（3）；（4）．
【分析】
（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线的函数关系式；
（2）利用配方法及一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，由，可知当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，设，分点在点上方、点在点下方两种情况考虑：①当点在点上方，由的长结合点的坐标可得出点的坐标为，再利用二次函数图象上点的坐标特征可知点F坐标为，据此列方程求解，进而可得出点的坐标；②当点在点下方，由的长结合点的坐标可得出点的坐标为，同理可求点E坐标；
（3）过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为，设点的坐标为，，则点的坐标为，结合点，的坐标及，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
（4）关于直线的对称点，根据轴对称确定最短路线问题，连接与直线的交点即为所求的点，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再令求解即可得到的值；
【详解】
解：（1）由抛物线过点及得，
，
解得，
故抛物线为；
又设直线为过点及，
得，
解得．
故直线为；
（2）∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵点在直线上，设．
，当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形．如图1，
①点在点上方，则，
∵在抛物线上，
∴，
解得，或（舍去），
∴；
②当点在点下方，则，
∵在抛物线上，
∴，
解得或，
∴或，
综上，满足条件的点的坐标为或或；
（3）如图3，过点作轴交于点，交轴于点；过点作轴于点，设，则，
∴
；
又∵
，
∴面积的最大值为；
∴的面积的最大值为．
（4）．
过程如下：
点，点在直线上，
点关于直线的对称点坐标为，
令，则，
所以，点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
所以，，
当时，，
所以，；
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、三角形的面积、梯形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次（一次）函数解析式；（2）分点F相对于点位置两种情况讨论，求出点的坐标；（3）利用分割图形求面积法，找出关于的函数关系式．难点在于（4）由轴对称确定最短路线问题，掌握点的位置的确定方法．
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