高考数学一轮复习 第2章 第6节 对数函数

这是一份高考数学一轮复习 第2章 第6节 对数函数，共13页。

1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a＞0，且a≠1)．
(2)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．
(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN，③lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
3．对数函数的定义、图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)lg2x2＝2lg2x.( )
(2)当x＞1时，lgax＞0.( )
(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．( )
(4)对数函数y＝lgax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，函数图象不在第二、三象限．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知a＝2，b＝lg2eq \f(1,3)，c＝lgeq \f(1,3)，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞aD．c＞a＞b
D [∵0＜a＝2＜20＝1，b＝lg2eq \f(1,3)＜lg21＝0，c＝lg＞lgeq \f(1,2)＝1，
∴c＞a＞b.]
3．已知函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图2­6­1，则下列结论成立的是( )
【导学号：31222050】
图2­6­1
A．a＞1，c＞1
B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1,0＜c＜1
D [由图象可知y＝lga(x＋c)的图象是由y＝lgax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]
4．(教材改编)若lgaeq \f(3,4)＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))B．(1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
C [当0＜a＜1时，lgaeq \f(3,4)＜lgaa＝1，∴0＜a＜eq \f(3,4)；
当a＞1时，lgaeq \f(3,4)＜lgaa＝1，∴a＞1.
即实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．]
5．(2017·杭州二次质检)计算：2lg510＋lg5eq \f(1,4)＝________，2lg43＝________.
2 eq \r(3) [2lg510＋lg5eq \f(1,4)＝lg5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(102×\f(1,4)))＝2，因为lg43＝eq \f(1,2)lg23＝lg2eq \r(3)，所以2lg43＝2lg2eq \r(3)＝eq \r(3).]
(1)设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10) B．10
C．20D．100
(2)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,4)－lg 25))÷100－eq \f(1,2)＝________.
(1)A (2)－20 [(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝lg2m，b＝lg5m，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg2m)＋eq \f(1,lg5m)＝lgm2＋lgm5＝lgm10＝2，
∴m＝eq \r(10).
(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,22·52)))×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.]
[规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．
2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
3．ab＝N⇔b＝lgaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
[变式训练1] (1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥4，,fx＋1，x＜4，))则f(2＋lg23)的值为( )
A．24 B．16
C．12 D．8
(2)(2015·浙江高考)计算：lg2eq \f(\r(2),2)＝________，2lg23＋lg43＝________.
(1)A (2)－eq \f(1,2) 3eq \r(3) [(1)∵3＜2＋lg23＜4，∴f(2＋lg23)＝f(3＋lg23)＝
23＋lg23＝8×3＝24，故选A.
(2)lg2eq \f(\r(2),2)＝lg2eq \r(2)－lg22＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2)；2lg23＋lg43＝2lg23·2lg43＝3×2lg43＝3×2lg2eq \r(3)＝3eq \r(3).
(1)(2016·河南焦作一模)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝lga|x|的图象大致是( )
A B C D
(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x＞0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
(1)B (2)(1，＋∞) [(1)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝lga|x|的大致图象如图所示．
故选B.
(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝lg2x只有一个交点．]
[规律方法] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[变式训练2] (2017·西城区二模)如图2­6­2，点A，B在函数y＝lg2x＋2的图象上，点C在函数y＝lg2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝( )
【导学号：31222051】
图2­6­2
A．2B．3
C.eq \r(2) D.eq \r(3)
D [由题意知等边△ABC的边长为2，则由点A的坐标(m，n)可得点B的坐标为(m＋eq \r(3)，n＋1)．又A，B两点均在函数y＝lg2x＋2的图象上，故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2m＋2＝n，,lg2m＋\r(3)＋2＝n＋1，))解得m＝eq \r(3)，故选D.]
eq \a\vs4\al(☞)角度1 比较对数值的大小
(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则( )
A．lgac＜lgbcB．lgca＜lgcb
C．ac＜bcD．ca＞cb
B [∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，lgac＞lgbc，A项错误；
∵0＜c＜1，∴y＝lgcx在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0，
∴lgca＜lgcb，B项正确；
∵0＜c＜1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，
又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C项错误；
∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减，
又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D项错误．]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 解简单的对数不等式
(2016·浙江高考)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若lgab>1，则( )
A．(a－1)(b－1)0
C．(b－1)(b－a)0
D [法一：lgab＞1＝lgaa，
当a＞1时，b＞a＞1；
当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确．
法二：取a＝2，b＝3，排除A，B，C，故选D.]
eq \a\vs4\al(☞)角度3 探究对数型函数的性质
已知函数f(x)＝lga(3－ax)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
[解] 假设存在满足条件的实数a.
∵a＞0，且a≠1，∴u＝3－ax在[1,2]上是关于x的减函数.3分
又f(x)＝lga(3－ax)在[1,2]上是关于x的减函数，
∴函数y＝lgau是关于u的增函数，
∴a＞1，x∈[1,2]时，u最小值为3－2a，7分
f(x)最大值为f(1)＝lga(3－a)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－2a＞0，,lga3－a＝1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜\f(3,2)，,a＝\f(3,2)，))10分
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.12分
[规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
[思想与方法]
1．对数值取正、负值的规律
当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，lgab＞0；
当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，lgab＜0.
2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．
3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．
4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．
[易错与防范]
1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝lgax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．
2．在运算性质lgaMα＝αlgaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为lgaMα＝αlga|M|(α∈N*，且α为偶数)．
3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．
课时分层训练(九) 对数函数
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．函数y＝eq \r(lg\f(2,3)2x－1)的定义域是( )
【导学号：31222052】
A．[1,2]B．[1,2)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
D [由lgeq \f(2,3)(2x－1)≥0⇒0＜2x－1≤1⇒eq \f(1,2)＜x≤1.]
2．(2017·石家庄模拟)已知a＝lg23＋lg2eq \r(3)，b＝lg29－lg2eq \r(3)，c＝lg32，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＝b＜cB．a＝b＞c
C．a＜b＜cD．a＞b＞c
B [因为a＝lg23＋lg2eq \r(3)＝lg23eq \r(3)＝eq \f(3,2)lg23＞1，b＝lg29－lg2eq \r(3)＝lg23eq \r(3)＝a，c＝lg32＜lg33＝1，所以a＝b＞c.]
3．若函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)的图象如图2­6­3所示，则下列函数图象正确的是( )
图2­6­3
A B C D
B [由题图可知y＝lgax的图象过点(3,1)，
∴lga3＝1，即a＝3.
A项，y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在R上为减函数，错误；
B项，y＝x3符合；
C项，y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，错误；
D项，y＝lg3(－x)在(－∞，0)上为减函数，错误．]
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x＞0，,3－x＋1，x≤0，))则f(f(1))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,2)))的值是( )
A．5 B．3
C．－1 D.eq \f(7,2)
A [由题意可知f(1)＝lg21＝0，
f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,2)))＝3－lg3eq \f(1,2)＋1＝3lg32＋1＝2＋1＝3，
所以f(f(1))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,2)))＝5.]
5．已知y＝lga(2－ax)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )
【导学号：31222053】
A．(0,1)B．(0,2)
C．(1,2)D．[2，＋∞)
C [因为y＝lga(2－ax)在[0,1]上单调递减，u＝2－ax(a＞0)在[0,1]上是减函数，所以y＝lgau是增函数，所以a＞1.又2－a＞0，所以1＜a＜2.]
二、填空题
6．(2015·安徽高考)lg eq \f(5,2)＋2lg 2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝________.
－1 [lg eq \f(5,2)＋2lg 2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2
＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]
7．函数y＝lg2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．
(－∞，－1) (－1，＋∞) [作出函数y＝lg2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝lg2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝lg2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝lg2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．]
8．(2016·浙江高考)已知a>b>1，若lgab＋lgba＝eq \f(5,2)，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
4 2 [∵lgab＋lgba＝lgab＋eq \f(1,lgab)＝eq \f(5,2)，
∴lgab＝2或eq \f(1,2).
∵a>b>1，∴lgab2))(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
(1,2] [当x≤2时，y＝－x＋6≥4.∵f(x)的值域为[4，＋∞)，
∴当a>1时，3＋lgax>3＋lga2≥4，∴lga2≥1，
∴1