高三数学一轮复习： 热点探究训练2 三角函数与解三角形中的高考热点问题

热点探究训练(二)　

三角函数与解三角形中的高考热点问题

1．(2016·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cos  B＝，C＝.

(1)求AB的长；

(2)求cos的值．

[解]　(1)因为cos B＝，0<B<π，

所以sin B＝＝＝.2分

由正弦定理知＝，

所以AB＝＝＝5.5分

(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，

于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos

＝－cos Bcos ＋sin Bsin .7分

又cos B＝，sin B＝，

故cos A＝－×＋×＝－.9分

因为0<A<π，所以sin A＝＝.

因此，cos＝cos Acos ＋sin Asin

＝－×＋×＝.12分

2．(2016·山东高考)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．

[解]　(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2

＝2sin2x－(1－2sin xcos x)

＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1

＝sin 2x－cos 2x＋－1

＝2sin＋－1，3分

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)

.6分

(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，8分

把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图象，

再把得到的图象向左平移个单位，

得到y＝2sin x＋－1的图象，

即g(x)＝2sin x＋－1，

所以g＝2sin ＋－1＝.12分

3．设f(x)＝sin xcos x－cos2.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

[解]　(1)由题意知f(x)＝－

＝－＝sin 2x－.2分

由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，

可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；3分

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，

可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.4分

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，

单调递减区间是(k∈Z).5分

(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，

由题意知A为锐角，所以cos A＝.7分

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，

可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，9分

即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．

因此bcsin A≤.

所以△ABC面积的最大值为.12分

4．(2017·郑州二次质量预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.

(1)求角A的值；

(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．

[解]　(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2，3分

化简得sin A＝，故A＝或A＝.5分

(2)由正弦定理＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C，7分

故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin

＝3sin B－cos B＝2sin.9分

因为b≥a，所以≤B<，≤B－<，

所以2b－c＝2sin∈[，2).12分