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2020-2021学年山西省中考数学适应性训练卷
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这是一份2020-2021学年山西省中考数学适应性训练卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山西省中考数学适应性训练卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
2．（3分）除夕之夜我们一起吃年夜饭，收压岁钱，当然最不能缺少的就是一年一度的春晚．2月11日20点，中央广播电视总台《2021年春节联欢晚会》如约而至，据初步统计，截至11日24时，2021年春晚海内外受众总规模再创新高，越去年的12.32亿人，达12.72亿人，且连续第三年刷新跨媒体传播记录．其中数据12.72亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.272×108 B．1.272×109 C．1.272×1010 D．1.272×1011
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x5﹣x3＝x2 B．（x+2）2＝x2+4
C．（﹣2x2）3＝﹣8x5 D．（3x2y）÷（3xy）＝x
4．（3分）如图，已知直线a∥b，把三角尺的顶点放在直线b上．若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．138° B．132° C．128° D．122°
5．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（ ）
A．70° B．120° C．140° D．160°
6．（3分）为响应“全民阅读”的号召，山西某校组建了“阅览室”，并对每个学生的阅读情况建立了档案，校长为了解学生们的读书情况，随机抽取了九年级30名学生每人一年的读书册数登记情况，并绘制统计表如表：
册数
3
4
5
6
人数
7
10
10
3
则这30个样本数据的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
7．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A．36° B．44° C．52° D．55°
10．（3分）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3m2﹣27＝ ．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣9
﹣4
﹣1
0
﹣1
当x＝4时，对应的函数值y＝ ．
13．（3分）将抛物线y＝2x2﹣4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是 ．
14．（3分）如图，某数学小组要测量校园内旗杆AB的高度，其中一名同学站在距离旗杆12米的点C处，测得旗杆顶端A的仰角是30°，此时该同学的眼睛到地面的高CD为1.5米，则旗杆的高度为 米（结果精确到0.1米，≈1.73）．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝2，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣）2+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣4）2021•（）2020；
（2）解不等式组．
17．（6分）先化简，后求值：÷（x+1）•，其中x2﹣x﹣1＝0．
18．（10分）某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）随机调查的顾客有 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数 ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．
（4）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．（6分）阅读下列材料，完成相关任务
我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点，四等分点，怎样得到线段的三等分点呢？
如图，已知线段MN，用尺规在MN上求作点P，使．
操作探究：
晓彤的作法是：
①作射线MK（点K不在直线MN上）；
②在射线MK上依次截取线段MA，AB，使AB＝2MA，连接BN；
③以A为顶点，MA为一边，如图，作∠MAP，使∠MAP＝∠MBN，射线AP交MN于点P．
所以点P为求作的点．
晓彤作法的理由是：
∵∠MAP＝∠MBN，
∴AP∥BN（同位角相等，两直线平行）．
∴（依据）．
∵AB＝2MA（已知），
∴（等量代换）．
∴（等量代换）．
数学思考：晓彤作法理由中所缺的依据是： ；
拓展应用：如图，已知线段a，b，c，
求作：线段d，使a：b＝c：d．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
20．（9分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
21．（10分）2020年12月28日，山西省督军府旧址（原山西省人民政府所在地）正式面向公众开放．督军府内最为出名的“梅山”本名“煤山”，是明代巡抚衙门存放煤炭之处清朝光绪年间，张之洞出任山西巡抚，用煤堆起了一座假山．后来，阎锡山将梅山重新改造，设置了大型敲钟钟表，顶端还装饰了一颗红色五星，象征着光明与进步．
拼搏小组的同学利用测倾器按如图的方式测量梅山钟楼AB的高度．已知A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点B，C，D在同一直线上，EG∥BC，点F在EG上，测得数据如表：
测倾器高
仰角∠AEG
仰角∠AFG
C，D间距离
CE＝DF＝BG＝1m
α≈31°
β≈58°
CD＝EF＝30m
根据上述测量数据，请计算“梅山钟楼”的高度．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果精确到0.1m）
22．（10分）折纸是一种许多人熟悉的活动，近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：
【综合与实践】
操作一：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；
操作二：如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D′；
操作三：如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD′折叠再展开，折痕MD’与边AB交于点P；
【问题解决】
请在图3中解决下列问题：
（1）求证：BP＝D′P；
（2）求证：AP：BP＝2：1．
【拓展探究】
（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD′折叠再展开，折痕CD′与边AB交于点Q．再将正方形纸片ABCD过点D′折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4．试探究：＝ （直接写出结果，不需证明）．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△BCP的面积最大，求△BCP的最大面积及此时点P的坐标；
（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标．
2020-2021学年山西省中考数学适应性训练卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的意义即可求出答案．
【解答】解：|﹣|＝，
故选：C．
2．（3分）除夕之夜我们一起吃年夜饭，收压岁钱，当然最不能缺少的就是一年一度的春晚．2月11日20点，中央广播电视总台《2021年春节联欢晚会》如约而至，据初步统计，截至11日24时，2021年春晚海内外受众总规模再创新高，越去年的12.32亿人，达12.72亿人，且连续第三年刷新跨媒体传播记录．其中数据12.72亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.272×108 B．1.272×109 C．1.272×1010 D．1.272×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：12.72亿＝1272000000＝1.272×109．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x5﹣x3＝x2 B．（x+2）2＝x2+4
C．（﹣2x2）3＝﹣8x5 D．（3x2y）÷（3xy）＝x
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、x5与x2不是同类项，故A错误．
B、原式＝x2+4x+4，故B错误．
C、原式＝﹣8x6，故C错误．
D、原式＝x，故D正确．
故选：D．
4．（3分）如图，已知直线a∥b，把三角尺的顶点放在直线b上．若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．138° B．132° C．128° D．122°
【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝42°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝180°﹣42°﹣90°＝48°，
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣∠3＝132°．
故选：B．
5．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（ ）
A．70° B．120° C．140° D．160°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故选：C．
6．（3分）为响应“全民阅读”的号召，山西某校组建了“阅览室”，并对每个学生的阅读情况建立了档案，校长为了解学生们的读书情况，随机抽取了九年级30名学生每人一年的读书册数登记情况，并绘制统计表如表：
册数
3
4
5
6
人数
7
10
10
3
则这30个样本数据的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【分析】根据中位数的定义解答．
【解答】解：一共30个数据，按照从小到大排列，第15和16个数据都为4，故中位数为4．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D．
在△ACD中，∵∠ADC＝90°，AD＝5，CD＝3，
∴tanA＝＝．
故选：C．
8．（3分）点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
【分析】根据二次函数的性质和各个点到对称轴的距离，可以得到y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+x﹣m，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1，该函数图象开口向下，
∵点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，1﹣（）＝，1﹣＝，2﹣1＝1，
∴y2＞y3＞y1，
故选：A．
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A．36° B．44° C．52° D．55°
【分析】根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D＝110°，根据圆心角、弧、弦三者的关系定理解答即可．
【解答】解：∵BC为圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣18°＝72°．
∵四边形ABCD为圆O内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝108°．
因为D为弧AC中点，
∴＝，
∴AD＝CD．
∴∠DAC＝∠DCA．
∴∠DAC＝＝36°．
故选：A．
10．（3分）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，每次挖去等边三角形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【解答】解：图2阴影部分面积＝1﹣，
图3阴影部分面积＝，
图4阴影部分面积＝，
图5阴影部分面积＝．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3m2﹣27＝ 3（m+3）（m﹣3） ．
【分析】应先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3m2﹣27，
＝3（m2﹣9），
＝3（m2﹣32），
＝3（m+3）（m﹣3）．
故答案为：3（m+3）（m﹣3）．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣9
﹣4
﹣1
0
﹣1
当x＝4时，对应的函数值y＝ ﹣9 ．
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到x＝﹣2和x＝4对应的函数值相等，从而可以得到x＝4时的函数值．
【解答】解：由表格可得，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝＝1，
∴x＝4和x＝﹣2时的函数值相等，
∵x＝﹣2时，y＝﹣9，
∴x＝4时，y＝﹣9，
故答案为：﹣9．
13．（3分）将抛物线y＝2x2﹣4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是 y＝2（x﹣4）2 ．
【分析】先运用配方法将y＝2x2﹣4x+1写成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，
∴将抛物线y＝2x2﹣4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是y＝2（x﹣1﹣3）2﹣1+1，即y＝2（x﹣4）2．
故答案为y＝2（x﹣4）2．
14．（3分）如图，某数学小组要测量校园内旗杆AB的高度，其中一名同学站在距离旗杆12米的点C处，测得旗杆顶端A的仰角是30°，此时该同学的眼睛到地面的高CD为1.5米，则旗杆的高度为 8.4 米（结果精确到0.1米，≈1.73）．
【分析】根据题意：可得Rt△ADE，利用锐角三角函数可得AE的大小；进而根据AB＝BE+AE可得旗杆AB的高．
【解答】解：根据题意可知：DE＝BC＝12米，
则AE＝DE•tan30°＝12×＝4（米），
故旗杆的高度为：AB＝AE+BE＝4+1.5≈8.4（米）．
故答案为：8.4
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝2，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ﹣1 ．
【分析】根据正方形的性质得到AD＝CD＝BC＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°，求得CE＝DF，根据全等三角形的性质得到∠DAF＝∠CDE，推出∠APD＝90°，得到点P在以AD为直径的圆上，设AD的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵CE+CF＝2，CF+DF＝2，
∴CE＝DF，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠DAP+∠FDP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，
设AD的中点为G，
由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：
∵CD＝2，DG＝1，
∴CG＝＝，
∴CP＝CG﹣PG＝﹣1，
故答案为：﹣1．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣）2+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣4）2021•（）2020；
（2）解不等式组．
【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝+3﹣+2×﹣（﹣4）×（﹣4×）2020
＝+3﹣++4×1
＝+3+4
＝7；
（2）解不等式﹣≥﹣1，得：x≤7，
解不等式2（x+1）＜7x﹣3，得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤7．
17．（6分）先化简，后求值：÷（x+1）•，其中x2﹣x﹣1＝0．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后将x2+x﹣1＝0变形代入即可求得分式的值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝，
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴原式＝＝＝﹣1．
18．（10分）某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）随机调查的顾客有 200 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数 90° ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．
（4）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“现金”人数所占比例即可得；
（2）根据题意将条形统计图补充完整即可；
（3）用总人数乘以对应百分比可得“支付宝”的人数；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）这次活动共调查了（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200（人），
在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝90°，
故答案为：200，90°
（2）微信的人数为200×30%＝60（人），银行卡的人数为200×15%＝30（人），
补全图形如下：
（3）选择“支付宝”支付的人约有1800×＝405（人）；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
19．（6分）阅读下列材料，完成相关任务
我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点，四等分点，怎样得到线段的三等分点呢？
如图，已知线段MN，用尺规在MN上求作点P，使．
操作探究：
晓彤的作法是：
①作射线MK（点K不在直线MN上）；
②在射线MK上依次截取线段MA，AB，使AB＝2MA，连接BN；
③以A为顶点，MA为一边，如图，作∠MAP，使∠MAP＝∠MBN，射线AP交MN于点P．
所以点P为求作的点．
晓彤作法的理由是：
∵∠MAP＝∠MBN，
∴AP∥BN（同位角相等，两直线平行）．
∴（依据）．
∵AB＝2MA（已知），
∴（等量代换）．
∴（等量代换）．
数学思考：晓彤作法理由中所缺的依据是： 平行线分线段成比例 ；
拓展应用：如图，已知线段a，b，c，
求作：线段d，使a：b＝c：d．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到答案；
由顶点A做两条射线，在一条射线上截取AB＝a，BC＝b，在另一条射线上截取AD＝c，连接BD，过点C作CE∥BD，交点为E，则DE＝d即为所求线段．
【解答】解：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
（2）如图，线段DE即为所求作的线段d．
20．（9分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【分析】（1）设每件商品应降价x元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出关于x的方程，解之可得答案；
（2）设每件商品应降价y元，获得利润为w，根据每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出w关于y的函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设每天要想获得510元的利润，则每件商品应降价x元，
由题意，得（40﹣30﹣x）（4×+48）＝510，
解得：x1＝1.5，x2＝2.5，
∵要有利于减少库存，
∴x＝2.5，
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；
（2）设每件商品应降价y元，获得利润为w元，
由题意得，
w＝（40﹣30﹣y）（4×+48）
＝﹣8y2+32y+480
＝﹣8（y﹣2）2+512，
当y＝2时，w有最大值512，此时售价为40﹣2＝38，
答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．
21．（10分）2020年12月28日，山西省督军府旧址（原山西省人民政府所在地）正式面向公众开放．督军府内最为出名的“梅山”本名“煤山”，是明代巡抚衙门存放煤炭之处清朝光绪年间，张之洞出任山西巡抚，用煤堆起了一座假山．后来，阎锡山将梅山重新改造，设置了大型敲钟钟表，顶端还装饰了一颗红色五星，象征着光明与进步．
拼搏小组的同学利用测倾器按如图的方式测量梅山钟楼AB的高度．已知A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点B，C，D在同一直线上，EG∥BC，点F在EG上，测得数据如表：
测倾器高
仰角∠AEG
仰角∠AFG
C，D间距离
CE＝DF＝BG＝1m
α≈31°
β≈58°
CD＝EF＝30m
根据上述测量数据，请计算“梅山钟楼”的高度．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果精确到0.1m）
【分析】根据题意可得CE＝DF＝BG＝1m，α≈31°，β≈58°，CD＝EF＝30m，在Rt△AFG中，AG＝FGtanβ，在Rt△AEG中，AG＝EGtanα，列出等式可得AG，进而可得结果．
【解答】解：根据题意可知：
CE＝DF＝BG＝1m，α≈31°，β≈58°，CD＝EF＝30m，
在Rt△AFG中，AG＝FGtanβ，
在Rt△AEG中，AG＝EGtanα，
∵EG＝EF+FG＝30+FG，
∴FGtan58°＝（30+FG）tan31°，
∴1.60FG≈0.60（30+FG），
解得FG＝18（m），
∴AG＝18×1.60≈28.8（m），
∴AB＝AG+GB＝28.8+1＝29.8（m）．
答：“梅山钟楼”的高度为29.8m．
22．（10分）折纸是一种许多人熟悉的活动，近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：
【综合与实践】
操作一：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；
操作二：如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D′；
操作三：如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD′折叠再展开，折痕MD’与边AB交于点P；
【问题解决】
请在图3中解决下列问题：
（1）求证：BP＝D′P；
（2）求证：AP：BP＝2：1．
【拓展探究】
（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD′折叠再展开，折痕CD′与边AB交于点Q．再将正方形纸片ABCD过点D′折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4．试探究：＝ （直接写出结果，不需证明）．
【分析】（1）如图1，连接PC，根据正方形的性质、HL定理证明△CD′P≌△CBP，根据全等三角形的性质得出结论；
（2）设BP＝x，根据翻折变换的性质、勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）如图2，连接QM，证明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD′＝y，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接PC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠MD′C＝∠D＝90°，
∴∠CD′P＝∠B＝90°，
在Rt△CD′P和Rt△CBP中，
，
∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），
∴BP＝D′P；
（2）证明：设正方形纸片ABCD的边长为1．则AM＝DM＝D′M＝．
设BP＝x，则MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，
在Rt△AMP中，根据勾股定理得AM2+AP2＝MP2．
∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，
解得x＝，
∴BP＝，AP＝，
∴AP：BP＝2：1，
（3）解：点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点．
理由：如图2，连接QM，D'M．
由折叠知，∠MD'C＝∠MD'Q＝90°，MA＝MD'，
∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，
∴∠QD′M＝∠A＝90°．
在Rt△AQM和Rt△D′QM中，
，
∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），
∴AQ＝D′Q，
设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD′＝y，
则QP＝AP﹣AQ＝﹣y．
在Rt△QPD′中，根据勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．
∵D′P＝BP＝，
∴y2+（）2＝（﹣y）2，
解得y＝．
∴PQ＝＝，
∴＝．
故答案为：．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△BCP的面积最大，求△BCP的最大面积及此时点P的坐标；
（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标．
【分析】（1）求出B、C坐标，用待定系数法即可得答案；
（2）过P作PD∥y轴交BC于D，设P（m，m2﹣2m﹣3），用m的代数式表示PD和△BCP的面积S△BCP即可得到答案；
（3）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，分三种情况分别画出图形，列方程求出解即可得到答案．
【解答】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝3或﹣1，
∴C（0，﹣3），A（﹣1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣3）代入得：
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；
（2）过P作PD∥y轴交BC于D，如图：
设P（m，m2﹣2m﹣3），则D（m，m﹣3），
∴PD＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴△BCP的面积S△BCP＝PD•|xB﹣xC|＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，S△BCP最大为，
此时P（，﹣）；
（3）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，分三种情况：
①过B作BM⊥BC交对称轴x＝1于M，如图：
∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线BM解析式为y＝﹣x+n，将B（3，0）代入得：
0＝﹣3+n，解得n＝3，
∴直线BM解析式为y＝﹣x+3，
令x＝1得y＝2，
∴M（1，2）；
②过C作CM⊥BC交对称轴x＝1于M，如图：
同①可得M（1，﹣4）；
③以BC为对角线时，作以BC为直径的圆与对称轴交于M，如图：
设M（1，t），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线CM解析式为y＝（t﹣3）x﹣3，直线BM解析式为y＝﹣x+t，
∵CM⊥BM，
∴﹣•（t﹣3）＝﹣1，解得：t＝或t＝，
∴M（1，）或M（1，）．
综上所述，以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，M坐标为（1，2）或（1，﹣4）或（1，）或（1，）．
2020-2021学年山西省中考数学适应性训练卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
2．（3分）除夕之夜我们一起吃年夜饭，收压岁钱，当然最不能缺少的就是一年一度的春晚．2月11日20点，中央广播电视总台《2021年春节联欢晚会》如约而至，据初步统计，截至11日24时，2021年春晚海内外受众总规模再创新高，越去年的12.32亿人，达12.72亿人，且连续第三年刷新跨媒体传播记录．其中数据12.72亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.272×108 B．1.272×109 C．1.272×1010 D．1.272×1011
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x5﹣x3＝x2 B．（x+2）2＝x2+4
C．（﹣2x2）3＝﹣8x5 D．（3x2y）÷（3xy）＝x
4．（3分）如图，已知直线a∥b，把三角尺的顶点放在直线b上．若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．138° B．132° C．128° D．122°
5．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（ ）
A．70° B．120° C．140° D．160°
6．（3分）为响应“全民阅读”的号召，山西某校组建了“阅览室”，并对每个学生的阅读情况建立了档案，校长为了解学生们的读书情况，随机抽取了九年级30名学生每人一年的读书册数登记情况，并绘制统计表如表：
册数
3
4
5
6
人数
7
10
10
3
则这30个样本数据的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
7．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A．36° B．44° C．52° D．55°
10．（3分）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3m2﹣27＝ ．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣9
﹣4
﹣1
0
﹣1
当x＝4时，对应的函数值y＝ ．
13．（3分）将抛物线y＝2x2﹣4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是 ．
14．（3分）如图，某数学小组要测量校园内旗杆AB的高度，其中一名同学站在距离旗杆12米的点C处，测得旗杆顶端A的仰角是30°，此时该同学的眼睛到地面的高CD为1.5米，则旗杆的高度为 米（结果精确到0.1米，≈1.73）．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝2，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣）2+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣4）2021•（）2020；
（2）解不等式组．
17．（6分）先化简，后求值：÷（x+1）•，其中x2﹣x﹣1＝0．
18．（10分）某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）随机调查的顾客有 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数 ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．
（4）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．（6分）阅读下列材料，完成相关任务
我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点，四等分点，怎样得到线段的三等分点呢？
如图，已知线段MN，用尺规在MN上求作点P，使．
操作探究：
晓彤的作法是：
①作射线MK（点K不在直线MN上）；
②在射线MK上依次截取线段MA，AB，使AB＝2MA，连接BN；
③以A为顶点，MA为一边，如图，作∠MAP，使∠MAP＝∠MBN，射线AP交MN于点P．
所以点P为求作的点．
晓彤作法的理由是：
∵∠MAP＝∠MBN，
∴AP∥BN（同位角相等，两直线平行）．
∴（依据）．
∵AB＝2MA（已知），
∴（等量代换）．
∴（等量代换）．
数学思考：晓彤作法理由中所缺的依据是： ；
拓展应用：如图，已知线段a，b，c，
求作：线段d，使a：b＝c：d．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
20．（9分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
21．（10分）2020年12月28日，山西省督军府旧址（原山西省人民政府所在地）正式面向公众开放．督军府内最为出名的“梅山”本名“煤山”，是明代巡抚衙门存放煤炭之处清朝光绪年间，张之洞出任山西巡抚，用煤堆起了一座假山．后来，阎锡山将梅山重新改造，设置了大型敲钟钟表，顶端还装饰了一颗红色五星，象征着光明与进步．
拼搏小组的同学利用测倾器按如图的方式测量梅山钟楼AB的高度．已知A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点B，C，D在同一直线上，EG∥BC，点F在EG上，测得数据如表：
测倾器高
仰角∠AEG
仰角∠AFG
C，D间距离
CE＝DF＝BG＝1m
α≈31°
β≈58°
CD＝EF＝30m
根据上述测量数据，请计算“梅山钟楼”的高度．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果精确到0.1m）
22．（10分）折纸是一种许多人熟悉的活动，近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：
【综合与实践】
操作一：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；
操作二：如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D′；
操作三：如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD′折叠再展开，折痕MD’与边AB交于点P；
【问题解决】
请在图3中解决下列问题：
（1）求证：BP＝D′P；
（2）求证：AP：BP＝2：1．
【拓展探究】
（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD′折叠再展开，折痕CD′与边AB交于点Q．再将正方形纸片ABCD过点D′折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4．试探究：＝ （直接写出结果，不需证明）．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△BCP的面积最大，求△BCP的最大面积及此时点P的坐标；
（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标．
2020-2021学年山西省中考数学适应性训练卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的意义即可求出答案．
【解答】解：|﹣|＝，
故选：C．
2．（3分）除夕之夜我们一起吃年夜饭，收压岁钱，当然最不能缺少的就是一年一度的春晚．2月11日20点，中央广播电视总台《2021年春节联欢晚会》如约而至，据初步统计，截至11日24时，2021年春晚海内外受众总规模再创新高，越去年的12.32亿人，达12.72亿人，且连续第三年刷新跨媒体传播记录．其中数据12.72亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.272×108 B．1.272×109 C．1.272×1010 D．1.272×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：12.72亿＝1272000000＝1.272×109．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x5﹣x3＝x2 B．（x+2）2＝x2+4
C．（﹣2x2）3＝﹣8x5 D．（3x2y）÷（3xy）＝x
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、x5与x2不是同类项，故A错误．
B、原式＝x2+4x+4，故B错误．
C、原式＝﹣8x6，故C错误．
D、原式＝x，故D正确．
故选：D．
4．（3分）如图，已知直线a∥b，把三角尺的顶点放在直线b上．若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．138° B．132° C．128° D．122°
【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝42°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝180°﹣42°﹣90°＝48°，
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣∠3＝132°．
故选：B．
5．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（ ）
A．70° B．120° C．140° D．160°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故选：C．
6．（3分）为响应“全民阅读”的号召，山西某校组建了“阅览室”，并对每个学生的阅读情况建立了档案，校长为了解学生们的读书情况，随机抽取了九年级30名学生每人一年的读书册数登记情况，并绘制统计表如表：
册数
3
4
5
6
人数
7
10
10
3
则这30个样本数据的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【分析】根据中位数的定义解答．
【解答】解：一共30个数据，按照从小到大排列，第15和16个数据都为4，故中位数为4．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D．
在△ACD中，∵∠ADC＝90°，AD＝5，CD＝3，
∴tanA＝＝．
故选：C．
8．（3分）点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
【分析】根据二次函数的性质和各个点到对称轴的距离，可以得到y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+x﹣m，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1，该函数图象开口向下，
∵点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣x2+x﹣m上，1﹣（）＝，1﹣＝，2﹣1＝1，
∴y2＞y3＞y1，
故选：A．
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A．36° B．44° C．52° D．55°
【分析】根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D＝110°，根据圆心角、弧、弦三者的关系定理解答即可．
【解答】解：∵BC为圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣18°＝72°．
∵四边形ABCD为圆O内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝108°．
因为D为弧AC中点，
∴＝，
∴AD＝CD．
∴∠DAC＝∠DCA．
∴∠DAC＝＝36°．
故选：A．
10．（3分）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，每次挖去等边三角形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【解答】解：图2阴影部分面积＝1﹣，
图3阴影部分面积＝，
图4阴影部分面积＝，
图5阴影部分面积＝．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3m2﹣27＝ 3（m+3）（m﹣3） ．
【分析】应先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3m2﹣27，
＝3（m2﹣9），
＝3（m2﹣32），
＝3（m+3）（m﹣3）．
故答案为：3（m+3）（m﹣3）．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣9
﹣4
﹣1
0
﹣1
当x＝4时，对应的函数值y＝ ﹣9 ．
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到x＝﹣2和x＝4对应的函数值相等，从而可以得到x＝4时的函数值．
【解答】解：由表格可得，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝＝1，
∴x＝4和x＝﹣2时的函数值相等，
∵x＝﹣2时，y＝﹣9，
∴x＝4时，y＝﹣9，
故答案为：﹣9．
13．（3分）将抛物线y＝2x2﹣4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是 y＝2（x﹣4）2 ．
【分析】先运用配方法将y＝2x2﹣4x+1写成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，
∴将抛物线y＝2x2﹣4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是y＝2（x﹣1﹣3）2﹣1+1，即y＝2（x﹣4）2．
故答案为y＝2（x﹣4）2．
14．（3分）如图，某数学小组要测量校园内旗杆AB的高度，其中一名同学站在距离旗杆12米的点C处，测得旗杆顶端A的仰角是30°，此时该同学的眼睛到地面的高CD为1.5米，则旗杆的高度为 8.4 米（结果精确到0.1米，≈1.73）．
【分析】根据题意：可得Rt△ADE，利用锐角三角函数可得AE的大小；进而根据AB＝BE+AE可得旗杆AB的高．
【解答】解：根据题意可知：DE＝BC＝12米，
则AE＝DE•tan30°＝12×＝4（米），
故旗杆的高度为：AB＝AE+BE＝4+1.5≈8.4（米）．
故答案为：8.4
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝2，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ﹣1 ．
【分析】根据正方形的性质得到AD＝CD＝BC＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°，求得CE＝DF，根据全等三角形的性质得到∠DAF＝∠CDE，推出∠APD＝90°，得到点P在以AD为直径的圆上，设AD的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵CE+CF＝2，CF+DF＝2，
∴CE＝DF，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠DAP+∠FDP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，
设AD的中点为G，
由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：
∵CD＝2，DG＝1，
∴CG＝＝，
∴CP＝CG﹣PG＝﹣1，
故答案为：﹣1．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣）2+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣4）2021•（）2020；
（2）解不等式组．
【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝+3﹣+2×﹣（﹣4）×（﹣4×）2020
＝+3﹣++4×1
＝+3+4
＝7；
（2）解不等式﹣≥﹣1，得：x≤7，
解不等式2（x+1）＜7x﹣3，得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤7．
17．（6分）先化简，后求值：÷（x+1）•，其中x2﹣x﹣1＝0．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后将x2+x﹣1＝0变形代入即可求得分式的值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝，
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴原式＝＝＝﹣1．
18．（10分）某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）随机调查的顾客有 200 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数 90° ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．
（4）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“现金”人数所占比例即可得；
（2）根据题意将条形统计图补充完整即可；
（3）用总人数乘以对应百分比可得“支付宝”的人数；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）这次活动共调查了（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200（人），
在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝90°，
故答案为：200，90°
（2）微信的人数为200×30%＝60（人），银行卡的人数为200×15%＝30（人），
补全图形如下：
（3）选择“支付宝”支付的人约有1800×＝405（人）；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
19．（6分）阅读下列材料，完成相关任务
我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点，四等分点，怎样得到线段的三等分点呢？
如图，已知线段MN，用尺规在MN上求作点P，使．
操作探究：
晓彤的作法是：
①作射线MK（点K不在直线MN上）；
②在射线MK上依次截取线段MA，AB，使AB＝2MA，连接BN；
③以A为顶点，MA为一边，如图，作∠MAP，使∠MAP＝∠MBN，射线AP交MN于点P．
所以点P为求作的点．
晓彤作法的理由是：
∵∠MAP＝∠MBN，
∴AP∥BN（同位角相等，两直线平行）．
∴（依据）．
∵AB＝2MA（已知），
∴（等量代换）．
∴（等量代换）．
数学思考：晓彤作法理由中所缺的依据是： 平行线分线段成比例 ；
拓展应用：如图，已知线段a，b，c，
求作：线段d，使a：b＝c：d．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到答案；
由顶点A做两条射线，在一条射线上截取AB＝a，BC＝b，在另一条射线上截取AD＝c，连接BD，过点C作CE∥BD，交点为E，则DE＝d即为所求线段．
【解答】解：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
（2）如图，线段DE即为所求作的线段d．
20．（9分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【分析】（1）设每件商品应降价x元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出关于x的方程，解之可得答案；
（2）设每件商品应降价y元，获得利润为w，根据每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出w关于y的函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设每天要想获得510元的利润，则每件商品应降价x元，
由题意，得（40﹣30﹣x）（4×+48）＝510，
解得：x1＝1.5，x2＝2.5，
∵要有利于减少库存，
∴x＝2.5，
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；
（2）设每件商品应降价y元，获得利润为w元，
由题意得，
w＝（40﹣30﹣y）（4×+48）
＝﹣8y2+32y+480
＝﹣8（y﹣2）2+512，
当y＝2时，w有最大值512，此时售价为40﹣2＝38，
答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．
21．（10分）2020年12月28日，山西省督军府旧址（原山西省人民政府所在地）正式面向公众开放．督军府内最为出名的“梅山”本名“煤山”，是明代巡抚衙门存放煤炭之处清朝光绪年间，张之洞出任山西巡抚，用煤堆起了一座假山．后来，阎锡山将梅山重新改造，设置了大型敲钟钟表，顶端还装饰了一颗红色五星，象征着光明与进步．
拼搏小组的同学利用测倾器按如图的方式测量梅山钟楼AB的高度．已知A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点B，C，D在同一直线上，EG∥BC，点F在EG上，测得数据如表：
测倾器高
仰角∠AEG
仰角∠AFG
C，D间距离
CE＝DF＝BG＝1m
α≈31°
β≈58°
CD＝EF＝30m
根据上述测量数据，请计算“梅山钟楼”的高度．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果精确到0.1m）
【分析】根据题意可得CE＝DF＝BG＝1m，α≈31°，β≈58°，CD＝EF＝30m，在Rt△AFG中，AG＝FGtanβ，在Rt△AEG中，AG＝EGtanα，列出等式可得AG，进而可得结果．
【解答】解：根据题意可知：
CE＝DF＝BG＝1m，α≈31°，β≈58°，CD＝EF＝30m，
在Rt△AFG中，AG＝FGtanβ，
在Rt△AEG中，AG＝EGtanα，
∵EG＝EF+FG＝30+FG，
∴FGtan58°＝（30+FG）tan31°，
∴1.60FG≈0.60（30+FG），
解得FG＝18（m），
∴AG＝18×1.60≈28.8（m），
∴AB＝AG+GB＝28.8+1＝29.8（m）．
答：“梅山钟楼”的高度为29.8m．
22．（10分）折纸是一种许多人熟悉的活动，近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：
【综合与实践】
操作一：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；
操作二：如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D′；
操作三：如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD′折叠再展开，折痕MD’与边AB交于点P；
【问题解决】
请在图3中解决下列问题：
（1）求证：BP＝D′P；
（2）求证：AP：BP＝2：1．
【拓展探究】
（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD′折叠再展开，折痕CD′与边AB交于点Q．再将正方形纸片ABCD过点D′折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4．试探究：＝ （直接写出结果，不需证明）．
【分析】（1）如图1，连接PC，根据正方形的性质、HL定理证明△CD′P≌△CBP，根据全等三角形的性质得出结论；
（2）设BP＝x，根据翻折变换的性质、勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）如图2，连接QM，证明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD′＝y，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接PC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠MD′C＝∠D＝90°，
∴∠CD′P＝∠B＝90°，
在Rt△CD′P和Rt△CBP中，
，
∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），
∴BP＝D′P；
（2）证明：设正方形纸片ABCD的边长为1．则AM＝DM＝D′M＝．
设BP＝x，则MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，
在Rt△AMP中，根据勾股定理得AM2+AP2＝MP2．
∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，
解得x＝，
∴BP＝，AP＝，
∴AP：BP＝2：1，
（3）解：点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点．
理由：如图2，连接QM，D'M．
由折叠知，∠MD'C＝∠MD'Q＝90°，MA＝MD'，
∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，
∴∠QD′M＝∠A＝90°．
在Rt△AQM和Rt△D′QM中，
，
∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），
∴AQ＝D′Q，
设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD′＝y，
则QP＝AP﹣AQ＝﹣y．
在Rt△QPD′中，根据勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．
∵D′P＝BP＝，
∴y2+（）2＝（﹣y）2，
解得y＝．
∴PQ＝＝，
∴＝．
故答案为：．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△BCP的面积最大，求△BCP的最大面积及此时点P的坐标；
（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标．
【分析】（1）求出B、C坐标，用待定系数法即可得答案；
（2）过P作PD∥y轴交BC于D，设P（m，m2﹣2m﹣3），用m的代数式表示PD和△BCP的面积S△BCP即可得到答案；
（3）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，分三种情况分别画出图形，列方程求出解即可得到答案．
【解答】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝3或﹣1，
∴C（0，﹣3），A（﹣1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣3）代入得：
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；
（2）过P作PD∥y轴交BC于D，如图：
设P（m，m2﹣2m﹣3），则D（m，m﹣3），
∴PD＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴△BCP的面积S△BCP＝PD•|xB﹣xC|＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，S△BCP最大为，
此时P（，﹣）；
（3）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，分三种情况：
①过B作BM⊥BC交对称轴x＝1于M，如图：
∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线BM解析式为y＝﹣x+n，将B（3，0）代入得：
0＝﹣3+n，解得n＝3，
∴直线BM解析式为y＝﹣x+3，
令x＝1得y＝2，
∴M（1，2）；
②过C作CM⊥BC交对称轴x＝1于M，如图：
同①可得M（1，﹣4）；
③以BC为对角线时，作以BC为直径的圆与对称轴交于M，如图：
设M（1，t），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线CM解析式为y＝（t﹣3）x﹣3，直线BM解析式为y＝﹣x+t，
∵CM⊥BM，
∴﹣•（t﹣3）＝﹣1，解得：t＝或t＝，
∴M（1，）或M（1，）．
综上所述，以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，M坐标为（1，2）或（1，﹣4）或（1，）或（1，）．
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