广东省广州大学附属中学2019-2020学年高三下学期第三次线上测试数学（文）试题

2020届广大附中高三文科数学试题（0419）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1.若，则（    ）

A. 2 B.  C. 10 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先将复数化简，然后与其共轭复数相乘可得结果.

【详解】因为，所以，

故选：C.

【点睛】此题考查复数及其共轭复数的运算，属于基础题.

2.已知集合，，则（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出集合中的元素，然后求两集合的公共部分

【详解】因为，所以，故选：A.

【点睛】此题考查集合的交集运算，属于基础题

3.已知角的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据角的终边经过点，利用三角函数的定义求得，再利用诱导公式求.

【详解】因为角的终边经过点，

所以，

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查三角函数的定义及诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4.执行如图所示的程序框图，则当输入的分别为3和6时，输出的值的和为（    ）

A. 45 B. 35 C. 147 D. 75

【答案】D

【解析】

【分析】

根据循环终止条件，分别求得输入3和6的结果，再求和.

【详解】当输入的为3时，.

当输入的为6时，.

所以输出的值的和为75.

故选：D

【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.

5.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国（居民消费价格指数），同比上涨，上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响上涨3.27个百分点．下图是2019年11月一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有______．

①一篮子商品中权重最大的是居住

②一篮子商品中吃穿住所占权重超过

③猪肉在一篮子商品中权重

④猪肉与其他禽肉在一篮子商品中权重约为

【答案】①②③

【解析】

【分析】

结合两个图，对四个结论逐个分析可得出答案.

【详解】对于①，一篮子商品中居住占，所占权重最大，故①正确；

对于②，一篮子商品中吃穿住所占，权重超过，故②正确；

对于③，由第二个图可知，猪肉在一篮子商品中权重为，故③正确；

对于④，由第二个图可知，猪肉与其他禽肉在一篮子商品中权重约为，故④错误.

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查统计图的识别和应用，考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.

6.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.

【详解】因为正方形为朱方，其面积为9，

五边形的面积为，

所以此点取自朱方的概率为.

故选：C

【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.

7.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解.

【详解】已知圆，

所以其标准方程为：，

所以圆心为.

因为双曲线，

所以其渐近线方程为，

又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，

则圆心在渐近线上，

所以.

所以.

故选：C

【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8.在中，，，则的值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意转化，利用数量积的分配律即得解.

【详解】，，

故选：C

【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

9.函数在上的图象大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数的特点，结合选项的图象特征，利用特殊值进行验证排除确定.

【详解】因为，排除B，D.

又因为，排除C.

故选：A

【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析，特殊法应用的能力，属于中档题.

10.在中，，则的形状是 (  )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

由余弦定理可知，与已知条件相加，得到的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到，从而得到的大小，判断出的形状，得到答案.

【详解】由余弦定理可知，

两式相加，得到

所以，当且仅当时，等号成立，

而

所以，

因为，所以

所以，即，又，

所以是等边三角形，

故选D项.

【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.

11.已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.

【详解】如图所示：

确定一个平面，

因为平面平面，

所以，同理，

所以四边形是平行四边形.

即正方体被平面截的截面.

因为，

所以，

即

所以

由余弦定理得：

所以

所以四边形

故选：B

【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

12.定义：表示的解集中整数的个数.若，且，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数图象，结合，则有求解.

【详解】因为

如图所示：

则有

解得：

故选：B

【点睛】本题主要考查函数与不等式问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知（4，﹣1），（2，t2﹣1），若5，则t＝_________.

【答案】

【解析】

【分析】

结合已知，直接利用向量数量积的坐标表示代入即可求解t．

【详解】∵（4，﹣1），（2，t2﹣1），

∴•4×2﹣（t2﹣1）＝5，

t2＝4，

则t＝±2．

故答案为：±2．

【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用是，属于基础试题．

14.函数是定义在上的奇函数，且满足.当时，，则__________.

【答案】1

【解析】

【分析】

由函数是定义在上的奇函数，可得，再结合可得的周期为4，然后利用函数的性质将自变量化简到上进行求解

【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且.

又因为，所以，所以，

可得，所以奇函数的周期为4，

所以

.

故答案为：1.

【点睛】此题考查函数的奇偶性、周期性，考查运算能力，属于中档题

15.在三棱锥中，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，当面BCD面ABD时，三棱锥的体积最大.此时取BD的中点O，由，得，同理根据，且，由直角三角形中线定理可得，从而得到外接圆半径R=2，再分别利用体积公式求解.

【详解】如图所示：

当面BCD面ABD时，三棱锥的体积最大.

取BD的中点O，因为，

所以，

，

，

，

外接圆半径R=2，

V球，，

三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.

16.已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，作出图形，结合双曲线第一定义，再将所有边长关系转化到直角三角形中，化简求值即可

【详解】

如图，由题可知，，则，

又，，，

又，

作，可得，，则

在，，即，

又，化简可得，同除以，得

解得

双曲线的离心率为

【点睛】本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题，利用双曲线的第一定义和中位线定理将所有边长关系转化到直角三角形中是解题关键，一般遇到此类题型，还是建议结合图形来进行求解，更直观更具体

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.2019年12月16日，公安部联合阿里巴巴推出的“钱盾反诈机器人”正式上线，当普通民众接到电信网络诈骗电话，公安部钱盾反诈预警系统预警到这一信息后，钱盾反诈机器人即自动拨打潜在受害人的电话予以提醒，来电信息显示为“公安反诈专号”.某法制自媒体通过自媒体调查民众对这一信息的了解程度，从5000多参与调查者中随机抽取200个样本进行统计，得到如下数据：男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.

（1）完成下列列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关？

（2）该自媒体对200个样本中了解这一信息的调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予一等奖，另外3人给予二等奖，求一等奖与二等奖获得者都有女性的概率.

附：

【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关.（2）

【解析】

【分析】

（1）男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人，补全列联表.再根据列联表，代入求临界值的公式，求观测值，利用观测值临界表进行比较.

（2）根据了解这一信息的男女比例，确定抽取6人中，男女的人数，然后列举从6人中任取3人的基本事件的总数，再从中找出含有一名女性的基本事件的个数，再代入古典概型概率公式求解.

【详解】（1）由随机抽取200个样本进行统计，男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.

得列联表如下，

所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关.

（2）从了解这一信息的调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人中，男性有人，女性有2人，设男生编号为1，2，3，4，女性编号分别为5，6，则“从这6人中任选3人”的基本事件有;

(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6) ，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，3，5) (2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，

(2，5，6)，(3，4，5) (3，4，6) ，(3，5，6)，(4，5，6)共20个

其中事件A“一等奖与二等奖获得者都有女性”的基本事件有

(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(2，3，5) (2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(3，4，5) (3，4，6)共12个

所以一等奖与二等奖获得者都有女性的概率为

【点睛】本题主要考查独性检验和古典概型概率的求法，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.

18.已知函数满足，数列满足.

（1）求证：数列是等差数列；       
（2）若，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据函数满足，得.又因为数列满足，化简利用等差数列的定义证明.

（2）由（1）知：，则，符合等差数列与等比数列相应项之积构成数列，用错位相减法求和.

【详解】（1）因为函数满足，

令，所以，

即.

因为数列满足，

所以，又

所以是以2为首项，以1为公差的等差数列.

（2）由（1）知：+1.

所以.

，

，

两式相减得：

，

，

，

所以.

【点睛】本题主要考查等差数列的证明和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19.如图，在四棱锥中，是等边三角形，是上一点，平面平面.

（1）若是的中点，求证：平面；

（2）设=，当取何值时，三棱锥的体积为？

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）在平面ABCD中，由勾股定理证明.在空间中，由平面平面

得到平面从而有，再利用线面垂直的判定定理证明.

（2）设，所以，则有，根据是等边三角形，平面平面得到点到平面的距离，即为四棱锥的高，且，再利用等体积法转化，则有，整理得求解.

【详解】（1）因为，

所以.

因为是的中点，

所以.

，

所以，

所以.

又因为平面平面

所以平面

所以，

所以平面.

（2）设，

所以，

因为是等边三角形，平面平面

点到平面的距离，即为四棱锥的高，且

因为

所以

整理得：

又因为

解得

【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及几何体体积的求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.

20.已知抛物线与过点的直线交于两点.

（1）若，求直线的方程；

（2）若，轴，垂足为，探究：以为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）或；（2）过定点，

【解析】

【分析】

（1）设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系及弦长公式计算即可；

（2）设以为直径的圆经过点，，，利用得，令解方程组即可.

【详解】（1）由题可知，直线的斜率不为0，设其方程为，

将代入，消去可得，

显然，设，，则，，

所以，

因为，所以，解得，

所以直线的方程为或.

（2）因为，所以是线段的中点，

设，则由（1）可得，，

所以，又轴，垂足为，所以，

设以为直径的圆经过点，则，，

所以，即，

化简可得①，

令，可得，

所以当，时，对任意的，①式恒成立，

所以以为直径的圆过定点，该定点的坐标为.

【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线中的定点问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.

21.已知函数.

（1）若函数的图象在处的切线与平行，求实数的值；

（2）设.求证：至多有一个零点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由函数，求导，根据函数的图象在处的切线与平行，则有求解.

（2）根据，求导，易知当，当，当时，，只要论证即可

【详解】（1）已知函数，

所以，

所以，

因为函数的图象在处的切线与平行，

所以，

解得.

（2）因为，

所以，

当，当，

所以当时，，

令，

所以，

所以在上是增函数.

所以，即.

所以至多有一个零点.

【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及导数在函数零点中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.

【答案】（1），（2）最大值，最小值

【解析】

【分析】

（1）由曲线的参数方程，得两式平方相加求解，根据直线的极坐标方程，展开有，再根据求解.

（2）因为曲线C是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为

所以

两式平方相加得：

因为直线的极坐标方程为.

所以

所以

即

（2）如图所示：

圆心C到直线的距离为：

所以圆上的点到直线的最小值为：

则点M(2，0)到直线的距离为最大值：

【点睛】本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

23.已知.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为M，且，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）分、和三种情况，分别解不等式，进而可得出答案；

（2）先求出的最小值，可求出的M的值，再结合柯西不等式，可证明结论.

【详解】（1）当时，等价于，该不等式恒成立；

当时，，则等价于，该不等式不成立；

当时，，则等价于，解得，

所以不等式的解集为：.

（2）因为，当时取等号，所以，，

由柯西不等式可得，

当且仅当时等号成立，所以.

【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.