江苏省南通市如皋市2021届高三下学期5月第三次适应性考试数学试题

这是一份江苏省南通市如皋市2021届高三下学期5月第三次适应性考试数学试题，共15页。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C．1 D．i
2．已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
3．1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的条件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
4．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中的系数为（ ）
A．625 B．800 C．750 D．600
6．已知正三角形ABC的边长为3，且，则=（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知四棱锥的侧面PAD为正三角形，底面ABCD为矩形，且面面ABCD，若，则该四棱锥内可以放置最大的球的半径为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆，点P在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正方体中，设与对角线AC，垂直的平面α截正方体表面所得截面多边形记为M，则关于多边形M的说法正确的是（ ）
A．M可能为正三角形 B．M可能为正方形
C．若M为六边形，则面积为定值 D．若M为六边形，则周长为定值
12．已知声音是由物体振动产生的声波．其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．在上有7个零点
C．的最大值为3 D．在上是增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则的最小值为_____________．
14．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，现有下列四个判断：
甲：； 乙：； 丙： ；丁：．
若上述四个论断有且只有一个是正确的，那么正确的是______________．
15．已知圆周上等距离的排列着八个点，现从中任取三个不同的点作为一个三角形的三个顶点，则恰好能构成一个直角三角形的概率为___________．
16．已知函数，则当时，函数f(x)有最小值，则____________．
此时___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分）已知中，，________，求．
请从②；②；③三个条件中选择一个补充在上面问题中，并作答．
18．(12分）已知数列的前n项和为，若．
（1)求数列的通项公式；
（2)若，求数列的前n项和．
19．(12分）某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：
方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元．
方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元．
小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：
用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
（1)求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；
（2)请问小李选择哪种质保方案更合算．
20．(12分）如图，在三棱台中，面DEF，，．
（1)若，证明：面面CDE；
（2)求二面角的余弦值．
21．(12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，．若的周长为6，面积为．
（1)求椭圆C的标准方程；
（2)已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过直线与椭圆交于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为，证明：为定值．
22．(12分）已知函数．
（1)证明：两函数图像有且只有一个公共点；
（2)证明：．
2021年新高考第三次适应性考试
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．B 3．A 4．D 5．B 6．A
7．C
【解析】法一：
．
法二：
由，则，
所以．
8．B
【解析】法一：
当球与面PAD，ABCD，面PBC相切时，半径最大，取AD，BC中点分别为E，F，则有，
所以，最大的半径为．
法二：
取AD的中点E，BC的中点F，连接PE，EF，PF则由面面ABCD知平面ABCD，易知四棱锥内可以放置最大的球，半即为内切圆的半径，
其中
，故选B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ABC 10．ABC
11．AD
【解析】法一：
如图所示，截面有这两种可能性，A正确，B错误，截面变化过程中，六边形的面积在发生变化，C错误，周长恒为，为正方体棱长，D正确．
法二：
对于A，M为知M可能为正三角形
对于B，由截面为三角形或六边形知B错误
对于C，D，当截面M为六边形时，
设正方棱长a．
，且
为六边形时周长为为定值，面积不为定值，C错，D正确
故选AD．
12．BCD
【解析】法一：
对于A，错误
对于B，令或
由，由
由，共7个零点，B正确．
对于C，
令
且当时，；
当时，；
当时，
注意到，即
正确．
对于D，当时，
在上单调递增且在上
在上，D正确
故选BCD．
法二：
，A错误；
令，可得，故可知B正确；
由，当取等，C正确；
又，可知在成立，D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．乙
15．
【解析】如图，可知构成直角三角形有种，故．
16．1011；0
【解析】法一：
由，可知关于对称，
故可知取到最小值时，，
则有．
法二：
当时
此时
当时
当时，有最小值
此时
应填：1011，0．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】选①
由
在中，由余弦定理
．
选②
由余弦定理可知，即，
又，所以，则．
18．【解析】法一：
（1）由①
当时，②
①—②
显然
的奇数项与偶数项各自成等差数列，
（2）
．
法二：
（1）由，可得，
作差得，得，又，
所以，以此类推可得，所以；
（2）由，所以．
19．【解析】
（1）两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率为
或用间接法：
（2）方案一的维修费用期望为：元
维修总费用为：元
方案二的维修费用期望为：元
维修总费用为：元
故方案二更合算．
20．【解析】
（1）若，延长CB至P使，连接PD，PF，PE
面DEF，且
又，四边形PCFE为正方形
，又，平面PCFE
，又，平面CDE，平面PDF
面面CDE．
（2）如图建立空间直角坐标系
由
设平面ACE与平面CED的一个法向量分别为
设二角的平面角为，所成角为
21．【解析】
（1），
椭圆C的标准方程为
（2）
设直线MN的方程为：
，由
为定值．
22．【解析】
（1）令，令
令
在上，注意到
当时，；
当时，
，当且仅当时取""，两函数图像有且只有一个公共点．
（2）由（1）知对任意的恒成立
，当时，
取
，证毕！维修次数
0
1
2
3
空调台数
20
30
30
20