2021年中考考前最后一卷【浙江杭州卷】

这是一份2021年中考考前最后一卷【浙江杭州卷】，共34页。试卷主要包含了我国民间流传的数学名题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共23题，满分120分，考试时间120分钟。
2．考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的考号、姓名、试室号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔、涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将答题卡交回。
第一部分 选择题（30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．由几个相同小立方体搭成的一个几何体及它的主视图如图所示，那么它的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
3．甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．不等式的解集在数轴上表示为( )
A． B．
C． D．
5．如图所示，四边形为的内接四边形，延长与相交于点G，，垂足为点E，连结，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，△ABC内接于⊙O，弦AB＝6，sinC＝，则⊙O的半径为（ ）
A．5B．10C．D．
8．如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，正方形A，B，C，D的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1＞S2，S3＞S4，则下列结论正确的是（ ）
A．S1•S4＝k2S2B．S1+S4＝S22C．S1•S4＝S22D．S1+S4＝kS2
9．若二次函数的图象经过、、、则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．若，则
10．几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形，四边形，四边形均为正方形，交于点交于点K，点在同条直线上，若，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
第二部分 非选择题（90分）
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．因式分解：_______．
12．若，则代数式的值为________．
13．一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同，其中有红球3个，黄球2个，蓝球若干个，已知随机摸出一个球是红球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是_____．
14．一个圆柱的底面直径为，母线长为，则这个圆柱的侧面积为______．
15．如图，等腰中，是腰上的高，点O是线段上一动点，当半径为的与的一边相切时，的长为________．
16．如图，在直角坐标系中，第一象限内的点A，B都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1，点C在x轴的正半轴上，满足AC丄BC．且BC＝2AC，则k的值是____．
三．解答题（本大题本大题共6小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本题6分)（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
18．(本题8分)如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：BE＝CF．
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
19．(本题8分)为了解中考英语人机对话日常训练情况，某市从某校九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次英语人机对话测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是_______人．
（2）图1中的度数是_____，请把图2条形统计图补充完整．
（3）今年该市九年级大约有学生20000名，如果全部参加这次中考英语人机对话测试，请估计不及格的人数为多少人．
20．(本题10分)如图，平面直角坐标系中矩形的一边在x轴上，B点的坐标为．双曲线交于点P，交于点Q．
（1）若P为边的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标；
（2）若双曲线和线段有公共点，求k的取值范围；
（3）连接，当存在时，是否总成立?若成立请证明，若不成立，请说明理由．
21．(本题10分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．
（1）求证：∠CGF＝∠AGD．
（2）已知∠DGF＝120°，AB＝4．
①求CD的长．
②若，求△ADG与△AFD的面积之比．
22．(本题12分)如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的顶点A与原点重合，顶点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，抛物线经过点为的中点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）点P为抛物线上一点，向左平移与抛物线上点G重合，向下平移与线段上点H重合，若，求点P的坐标．
23．(本题12分)如图1，在菱形ABCD中，∠A为锐角，点P，H分别在边AD，CB上，且AP＝CH．在CD边上取点M，N（点N在CM之间），使DM＝4CN．当P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．连接PQ，PH分别交对角线BD于点E，F，记QN＝x，AP＝y，已知y＝﹣2x+10．
（1）①请判断FP与FH的大小关系，并说明理由．
②求AD，CN的长．
（2）如图2，连接QH，QF．当四边形BFQH中有两边平行时，求DE：EF的值．
（3）若tanA＝，则△PFQ面积的最小值为 ．（直接写出答案）
1．【答案】C
【分析】由二次根式的定义，即可求出答案．
【解答】解：∵函数中，
则，
∴；
故选：C．
2．【答案】D
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看，是左边3个正方形，右边2个正方形，
故选D．
3【答案】C
【分析】
根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定即可选择．
【解答】
∵，
∴乙和丙的成绩比甲和丁好，即在乙和丙之间选择．
∵，
∴丙的成绩更为稳定．
∴应选择丙去参赛．
故选：C．
4．【答案】C
【分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】
解：2x-2≤x，
2x-x≤2，
x≤2，
故选：C．
5．【答案】D
【分析】
连接AC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC=∠GBC=64°，根据垂径定理、等腰三角形的性质得到∠CAD=2∠DAE=52°，根据圆周角定理解答即可．
【解答】
解：连接AC，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=∠GBC=64°，
∵AO⊥CD，
∴DE=CE，∠DAE=26°，
∴AC=AD，
∴∠CAD=2∠DAE=52°，
由圆周角定理得，∠DBC=∠CAD=52°，
故选：D．
6．【答案】D
【分析】
设有x个人，共分y两银子，根据“每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤”列出方程组即可．
【解答】
设有x个人，共分y两银子，根据题意得
故选：D．
【点睛】
本题主要考查列二元一次方程组，读懂题意是关键．
7【答案】A
【分析】
过B作直径BD，连接AD，如图，根据圆周角定理和三角函数的定义即可得到结论．
【解答】
解：过B作直径BD，连接AD，
∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠D＝∠C，
∴sinD＝sinC＝，
∵AB＝6，
∴BD＝10，
∴⊙O的半径为5，
故选：A．
8．【答案】C
【分析】
设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，分别用含b和含a的式子表示出最大正方形的边长、正方形D左侧的正方形的边长及最大正方形下方直角三角形的最长边；再分别表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2与a2的数量关系；最后观察并计算可得出答案．
【解答】
解：设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，
∵其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，
∴最大正方形的边长为kb，正方形D左侧的正方形的边长为ka，
∴最大正方形下方直角三角形的最长边为k2a，
∴S1＝（kb）2﹣b2，
＝（k2﹣1）b2，
S2＝b2，
S4＝a2，
在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得：
（ka）2+（kb）2＝（k2a）2，
∴a2+b2＝k2a2，
∴b2＝（k2﹣1）a2，
∴S1＝（k2﹣1）2a2，
∴S1•S4＝（k2﹣1）2a2•a2，
＝[（k2﹣1）a2]2，
＝；
故选：C．
9．【答案】D
【分析】
根据抛物线过，两点，可以得到抛物线的对称轴，再由抛物线图象的性质去判断选项的正确性．
【解答】
解：∵抛物线过，两点，
∴抛物线的对称轴是，
若且，则抛物线开口向上，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，则，故A选项错误；
若且，则抛物线开口向下，且点A在点B下方，则点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，即，故B选项错误；
若且，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，且点A在点B上方，则抛物线应该开口向上，即，故C选项错误；
若，说明点A和点B关于对称轴对称，则，故D选项正确．
故选：D．
10．【答案】B
【分析】
由，设，则，证明，由图建立关于的方程解得，作，，证明，得出，此时只需算出四边形、的面积即可计算的值．
【解答】
解：，
，
又，
，
又，
，
，
，
设，则，
由已知：，，，
，
，
又，
，
解得，检验是方程的解，
，，
作，，四边形、、、是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
故选．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【答案】（a-b）（a-b+2）
【分析】
原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【解答】
解：原式=（a-b）2+2（a-b）=（a-b）（a-b+2），
故答案为：（a-b）（a-b+2）．
12．【答案】34
【分析】
先把已知条件的两边都除以a，然后再利用完全平方公式计算即可.
【解答】
由题可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：34．
13．【答案】
【分析】
首先根据摸出红球的概率求出球的总数，进而求出蓝球的个数，然后用蓝球的个数除以总数即可求解．
【解答】
∵红球3个，随机摸出一个球是红球的概率是，
∴球的总数为，
∴蓝球的个数为，
∴随机摸出一个球是蓝球的概率为，
故答案为：．
14．【答案】
【分析】
根据圆柱的侧面积计算公式可直接进行求解．
【解答】
解：由题意得：
圆柱的侧面积为：；
故答案为．
15【答案】或．
【分析】
作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质可得HC的长，再利用三角函数可得DC，根据勾股定理得到BD的长，根据半径为的⊙O与△ABC的一边相切，分三种情况讨论根据相似三角形的性质求解即可得到结论．
【解答】
解：如图，作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴HC＝3，
∵∠AHC＝90°，AC＝5，
∴csC，
∴DC，
∴BD，
①⊙O与AC相切时，切点为D，
∵半径为，
∴OD，
∵BD，
∴OB＝BD﹣OD；
②⊙O与BC相切时，切点为M，
∴OM⊥BC，
∴∠BMO＝∠BDC＝90°，
∵∠MBO＝∠DBC，
∴△MBO∽△DBC，
∴，
∴，
∴BO；
③⊙O与AB相切时，切点为N，
∴ON⊥AB，
∴∠BNO＝∠BDA＝90°，
∵∠NBO＝∠DBA，
∴△NBO∽△DBA，
∴，
∴，
∴BO．
当圆O与AB相切时，OB的长为，
∵BD，
∵，
也就是说，圆O与AB相切，是圆心O在线段BD外即在直线BD上的时候，不符合题意，
故答案只有两种情况，即圆O与AC，AB相切时．
综上所述，AP的长为或．
故答案为：或．
16．【答案】
【分析】
作AD⊥x轴，BE⊥x轴，由AC丄BC，先证明△ACD∽△CBE，得到，结合BC＝2AC，即可求出答案．
【解答】
解：根据题意，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，如图，
∵点A，B都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1，
∴设点，，
∴点，，
点C在x轴的正半轴上，满足AC丄BC，
则设点C为（m，0），
∴，，，；
∵AC丄BC，AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
∴△ACD∽△CBE，
∴，
∵BC＝2AC，
∴，
即，
解得：，；
故答案为：．
三．解答题（本大题本大题共6小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）；28．
【分析】
（1）利用实数的运算直接得答案，（2）利用整式的加减法及乘法法则进行运算，然后代入求答案即可．
【解答】
解：（1）
（2）原式；当，时，原式
18．【答案】（1）证明见解析；（2）70°
【分析】
)由平行线的性质得出，结合已知条件，依据AAS即可证明≌；
由得：，≌，由全等三角形的性质得出，证出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴BE＝CF；
（2）解：由（1）得：∠C＝∠B＝40°，△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，
又∵AB＝CF，
∴CD＝CF，
∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．
19．【答案】（1）40；（2），见解析；（3）该市九年级20000名学生中，英语人机对话测试不及格的大约有1000人．
【分析】
（1）由级有人，占总体的可得本次抽样测试的学生总人数；
（2）先求解级的人数，再求解级的占比，再乘以即可，根据级的人数补充条形图即可；
（3）利用样本的不及格率乘以总体的总人数即可得到答案．
【解答】
解：（1）由级有人，占总体的
所以：本次抽样测试的学生人数是人，
故答案为：40；
（2）由，
所以，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：
（3）人，
答：该市九年级20000名学生中，英语人机对话测试不及格的大约有1000人．
20．【答案】（1），；（2）＜；（3）成立，证明见解析．
【分析】
（1）由中点坐标公式先求解的坐标，可得反比例函数解析式，再求解的纵坐标即可；
（2）反比例函数的k=xy，由线段BC上的点的纵坐标为3，可得： 再根据的范围求解的范围即可得；
（3）分别先表示的坐标，再求解 再证明：再证明：利用相似三角形的性质，可得结论．
【解答】
解：（1） P为边BC的中点，，
P（2，3），，
函数表达式为．
由图可知点Q的横坐标为4， 把x=4代入，
解得：， 则；
（2） 线段BC上的点的纵坐标为3，
由双曲线(x＞0)和线段BC有公共点，即y的值恒为3，
当x值取最大值为4时，可得k最大值为12，
又反比例函数的图像在第一象限，
＞
则k取值范围为0＜k≤12；
（3）成立；理由如下：
点P、Q都是在反比例函数上，
由，可得：；





．
21．【答案】（1）见解析；（2）①；②1：2
【分析】
（1）连接AC，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可证结论；
（2）①连接BD，先根据题意得到∠AGD＝60°，进而即可证得△ACD是等边三角形，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABD＝60°，解直角三角形求得AD，即可求得CD的长；
②根据相似三角形的性质得到，，从而得到，DF＝3，AF•AG＝AD2＝12，进一步得到，由相似三角形的性质得到FG•FA＝FC•FD＝9，即可得到即，进而求得．
【解答】
（1）证明：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴DE＝CE，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴∠CGF＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠CGF＝∠AGD；
（2）解：①连接BD，
∵∠DGF＝120°，
∴∠AGD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝∠AGD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠ABD，
∵AB＝4，
∴CD＝AD＝2；
②∵∠DAG＝∠FAD，∠AGD＝∠ADC，
∴△ADG∽△AFD，
∴，
∵，AD＝CD＝2，
∴，DF＝3，AF•AG＝AD2＝12，
∴CF＝DF﹣CD，
∵∠GCF＝∠DAF，∠F＝∠F，
∴△FCG∽△FAD，
∴，
∴FG•FA＝FC•FD9，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据正方形性质得到B，D两点坐标，即可求出点E坐标和对称轴，再通过把点B，D坐标代入，待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设PG与DB的交点为M，根据∠ABD=45°和PG//AB，即可求出△MPH是等腰直角三角形，得到M是PG中点，说明点M在抛物线的对称轴上，求出M的坐标，即可求出P的坐标．
【解答】
解：（1）∵四边形是正方形，边长为4，
．
．
为的中点，
．
∴抛物线的对称轴为直线．
设二次函数表达式为，
代入，得解得
∴二次函数的表达式为．
（2）设与交于点M，如图，
∵，
．
，
，
．
∴点M为的中点，则点M落在抛物线的对称轴上，
∵直线的表达式为，
．
令（舍去），
∴点P的坐标为．
23．【答案】（1）①FP=FH，理由见解析；②AD=10，CN=1；（2）或；（3）
【分析】
（1）①根据菱形的性质和全等三角形的判定证得△PDF≌△HBF，再根据全等三角形的性质即可解答；②根据题意，分别令x=0和y=0即可求出AD和CN的值；
（2）分BF∥QH和FQ∥BH两种情况讨论解答即可；
（3）过B作BT⊥AD于T，延长PQ交BC延长线于K，根据tanA＝可求出AT=8，设△PDQ底边的高为a，证明△PDQ∽△KCQ，根据相似三角形的高之比等于相似比可证得，则=，由二次函数求最值的方法求解即可．
【解答】
解：（1）①FP=FH，理由为：
∵四边形ABCD是菱形，AD=DC，
∴AD∥BC，AD=BC，又AP=CH，
∴∠PDF=∠HBF，∠DPF=∠BHF，PD=BH，
∴△PDF≌△HBF（ASA），
∴FP=FH；
②当x=0时，y=10，则AD=10，即DC=10，
当y=0时，由0=﹣2x+10得：x=5，即QN=5，
∴DM+CN=DC﹣QN=10﹣5=5，
∵DM=4CN，
∴CN=1，
即AD=10，CN=1；
（2）当四边形BFQH中有两边平行时，可分两种情况：
①当BF∥QH时，△CQH∽△CDB，
∵CD=BC，∴CQ=CH，DQ=BH，
∵CQ=1+x，CH=AP=y，
∴1+x=﹣2x+10，解得：x=3，y=4，即QN=3，AP=4，
∴DP=DQ=6，
由（1）△PDF≌△HBF知，BF=DF，
∴点F为对角线BD的中点，
∵平行四边形ABCD的对角线互相平分，
∴点F为AC的中点，即A、F、C共线，
连接AC，由菱形的性质知∠PDF=∠QDF，AC⊥BD，AD∥BC，
∴PE⊥BD，又AC⊥BD，
∴PE∥AC，即PE∥AF，
∴DE：EF=DP：AP=6:4=3：2；
②当FQ∥BH时，∵BF=DF，
∴QF=DQ=CQ=5，即QN=x=4，
∴AP=y=2，PD=8，又AD∥BC即PD∥QF，
∴DE：EF=PD：QF=8：5，
综上，= 或；
（3）在图2中，过B作BT⊥AD于T，延长PQ交BC延长线于K，
由tanA＝可得：sinA= ，
∵AB=10，∴AD=AB·sinA=8，
设△PDQ底边的高为a，
∵PD∥CK，∴△PDQ∽△KCQ，
∴，
∴，
则
=
= ，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
甲
乙
丙
丁
（米）
1.7
1.75
1.75
1.72
S2（米2）
1
1.3
1
1.3