广东省普宁市普师高级中学2021届高三下学期第二次模拟 数学（含答案）

这是一份广东省普宁市普师高级中学2021届高三下学期第二次模拟 数学（含答案），共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前
普师高级中学2020~2021学年高三第2次模拟考
数 学
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合，3，，则图中阴影部分所表示的集合是
A.
B.
C.
D. 2，3，
2. 己知i是虚数单位，复数，下列说法正确的是
A. z的虚部为 B. z对应的点在第一象限
C. z的实部为 D. z的共轭复数为
3. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，p：，若p是q的必要条件，则q可能是
A. q：，， B. q：，，
C. q：、， D. q：，，
4. 下列结论正确的是
“”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件．
随机变量服从正态分布，则
线性回归直线至少经过样本点中的一个．
若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有
A. B. C. D.
5. 已知函数，则  
A. 的图像关于直线对称
B. 的图像关于点对称
C. 在单调递减
D. 在上不单调
6. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为     参考数据：，
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，曲线C上一点P到x轴的距离为2a，，则双曲线C的离心率为
A. B. C. D. 4
8. 已知锐角的一边BC在平面内，，点A在平面内的射影为点P，则与的大小关系为
A. B.
C. D. 以上情况都有可能
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分,错选多选得0分，漏选得2分）
9. 下列命题正确的是  
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若，则
D. 设，“”，是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件
10. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有   
A.
B. 函数在上为增函数
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 点是函数图象的一个对称中心
11. 下表是某生活超市2020年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：

生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其它类
营业收入占比





净利润占比





该生活超市本季度的总营业利润率为营业利润率是净利润占营业收入的百分比，则
A. 本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
B. 本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
C. 本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区
D. 本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过
12. 已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是   
A. 向量与可能平行 B. 向量与可能垂直
C. 点P在线段EF上 D.
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，，与的夹角为，则在方向上的投影为______．
14. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为______．
15. 已知是平面向量，是单位向量，且，若，则最大值是___________
16. 已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为________．




四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
Ⅰ求角A的大小；
Ⅱ若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前n项和．
18. 在；；这三个条件中任选一个，补充在面问题中，然后解答补充完整的题目．
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，且满足__________．
求sinC；
已知，的外接圆半径为，求的边AB上的高注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，，．

求证：平面BEF；
求二面角的余弦值． 




20. 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C的上顶点，，且的面积等于1．
求C的方程；
若过点A的直线交C于另外一点M，关于直线对称的直线为，交C于另外一点异于点，证明：直线MN过定点．
21. 已知函数．
解不等式；
若过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．
22. 为了调查“双11”消费活动情况，某校统计小组分别走访了A、B两个小区各20户家庭，他们当日的消费额按，，，，，，分组，分别用频率分布直方图与茎叶图统计如下单位：元：

Ⅰ分别计算两个小区这20户家庭当日消费额在的频率，并补全频率分布直方图；
Ⅱ分别从两个小区随机选取1户家庭，求这两户家庭当日消费额在的户数为1时的概率频率当作概率使用；
Ⅲ运用所学统计知识分析比较两个小区的当日网购消费水平．



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普师高级中学2020~2021学年高三第2次模拟考
数学答案
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
23. 已知集合，3，，则图中阴影部分所表示的集合是
A.
B.
C.
D. 2，3，
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查集合的基本运算，以及韦恩图，比较基础．
由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算即可．
【解答】
解：由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是，
集合，3，，
，
故选：B．

24. 己知i是虚数单位，复数，下列说法正确的是
A. z的虚部为 B. z对应的点在第一象限
C. z的实部为 D. z的共轭复数为
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念、几何意义、模、共轭复数和运算，属于基础题．
先化简z，再逐一判断即可．
【解答】
解：，
的实部为1，虚部为；
z对应的点的坐标为，在第四象限
z的共轭复数为．
故ABC错误，D正确
故选D．


25. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，p：，若p是q的必要条件，则q可能是
A. q：，， B. q：，，
C. q：、， D. q：，，
【答案】C
【解析】解：若p是q的必要条件，则只需即可；
对于选项A，m、n的位置关系是平行、相交或异面，q不能推出p，所以A错误；
对于选项B，结论为，则q不能推出p，所以B错误；
对于选项C，若，，则；
又，所以，即，所以C正确；
对于D，m、n的位置关系是平行、相交或异面，则q不能推出p，所以D错误．
故选：C．
由题意知，若p是q的必要条件，则只需即可；分别判断四个选项中是否满足q能推出p，即可得出结论．
本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．

26. 下列结论正确的是
“”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件．
随机变量服从正态分布，则
线性回归直线至少经过样本点中的一个．
若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查充分必要条件、正态分布、线性回归直线及统计知识的应用，关键是对相关知识的熟练掌握．
【解答】
解：当时，由基本不等式得；但当对任意的正数x，均有时，不一定成立，所以“”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件，故正确；
因为，所以不正确；
线性回归直线不一定经过样本点中的一个，所以不正确；
因为平均数为，中位数为15，众数为17，所以，故正确．
所以正确的为．
故选D．


27. 已知函数，则  
A. 的图像关于直线对称
B. 的图像关于点对称
C. 在单调递减
D. 在上不单调
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性，对称性，复合函数的单调性以及对数函数的性质，属于中档题．
根据题意对函数化简，可设，先判断函数的性质，再由平移关系得到函数的性质，即可得解．
【解答】
解：，
则，即函数的定义域为，
设，，
，
函数为奇函数，关于点对称，
又在上单调递增，
在定义域上单调递增，
函数向右平移2个单位，向上平移1个单位得到函数，
关于点对称，且在定义域上单调递增，
故选B．

28. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为     参考数据：，
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查等比数列的求和，等比数列的实际应用，涉及解指数不等式，属于中档题．
根据已知可得所有去掉的区间长度之和为，进而通过不等式求出结果，
【解答】
解：第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；
第n次操作去掉个长度为的区间，长度和为．
于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为，
由题意，，即，
解得：，又n为整数，所以n的最小值为6．
故选C．

29. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，曲线C上一点P到x轴的距离为2a，，则双曲线C的离心率为
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线焦点三角形问题，余弦定理的应用，以及三角形面积公式应用，属于中档题．
设，，
则化简即可求解离心率．
【解答】
解：设，，
则
故，
故选C．

30. 已知锐角的一边BC在平面内，，点A在平面内的射影为点P，则与的大小关系为
A. B.
C. D. 以上情况都有可能
【答案】A
【解析】解：过点P作于点D，连结AD，如图，
则平面APD，
在中，，
中，，
在中，，，
，
和都是锐角，，
同理可得，
，
．
故选：A．
过点P作于点D，连结AD，在和中，分别求出和，就可以比较和的大小，进而比较与的大小．
本题考查两个角大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
31. 下列命题正确的是  
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若，则
D. 设，“”，是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判定及存在量词命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题的否及命题的充分条件与必要条件判断即可．
【解答】
解：对于A，当时，能推得，当时，由推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件，A不正确；
对于B，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“”的否定是“”，B正确；
对于C，显然a，b异号时不能得到，故C错误；
对于D，由推出是奇函数，
而当时，也是奇函数，
则“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，D正确．
故选BD．

32. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有   
A.
B. 函数在上为增函数
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 点是函数图象的一个对称中心
【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的性质应用，考查两角和与差的三角函数公式，辅助角公式及二倍角公式应用，属基础题．
依题意，根据两角和与差的三角公式及二倍角公式化简函数，再根据三角函数的性质求解即可．
【解答】
解：，
因最小正周期为得，故A错误，
当时，，得函数在上为增函数，故B正确；
当，，所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
当，，得点是函数图象的一个对称中心，故D正确；
故选BD．

33. 下表是某生活超市2020年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：

生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其它类
营业收入占比





净利润占比





该生活超市本季度的总营业利润率为营业利润率是净利润占营业收入的百分比，则
A. 本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
B. 本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
C. 本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区
D. 本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过
【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查了统计表格的理解，考查了学生对数据的处理能力，由各区域营业收入占比和净利润占比统计表可分析得答案．
【解答】
解：由题中数据知，营业收入最低的是其它类，A错；生鲜区的净利润占比，故B正确；
生鲜区的营业利润率为，，故D错；
同理可计算其他各区的营业利润率，显然日用品区为，最高，
故C正确．
故选BC．


34. 已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是   
A. 向量与可能平行 B. 向量与可能垂直
C. 点P在线段EF上 D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算及平面向量平行和垂直的判断，属中档题．
由题意并根据平面向量线性运算可知，，代入等式可得，即可判断C和D；根据平面中的位置关系，可判断A和B．
【解答】
解：，
，
为AC的中点，F为BC的中点，
，
，
为FE的三等分点靠近点，即，故C正确，D错误，
向量与不可能平行，故A错误；
当时，向量与垂直，B正确．
故选BC．

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
35. 已知，，与的夹角为，则在方向上的投影为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了向量数量积的定义、向量的夹角公式和向量投影的概念等知识，属于基础题．
根据，，与的夹角为，算出且再设与的夹角为，结合数量积公式和向量投影的定义，算出的值，即可得到向量在方向上的投影值．
【解答】
解：，，与的夹角为，

由此可得

．
设与的夹角为，
，
，
可得向量在方向上的投影为，
故答案为2．

36. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题．
利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．
【解答】
解：的展开式中项的系数为20，
所以，
令，
，，
，
，当且仅当时取等号．
的最小值为：2．
故答案为2．



37. 已知是平面向量，是单位向量，且，若，则最大值是___________
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算及平面向量的数量积，同时考查与圆有关的最值问题，属于中档题．
以的正方向为x轴的正方向，以的起点为坐标原点O，建立直角坐标系，设，，根据原等式可知的终点B在圆上，作出图象，利用的几何意义即可得解．
【解答】
解： 以的正方向为x轴的正方向，以的起点为坐标原点O，建立直角坐标系，
则由已知得，
设，，
则由得，即，
所以的终点B在圆上，圆心，半径，
又单位向量与的夹角为，
所以的终点A在射线上，
所以，
设，
则，
又，
所以的最大值等于圆心C到点M的距离加上圆的半径，
如下图，


所以，
故答案为．

38. 已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查利用数形结合的思想求函数的零点，属于较难题．由于同底数的指数函数、对数函数互为反函数，且他们的图像关于直线对称，因此涉及互为反函数的两个函数零点的和的问题，常利用此性质求解．本题求解的易错之处是不能正确理解与的图像关于直线对称以及点A，B在直线上此时直线与直线垂直的性质．
【解答】
解：函数的零点问题可以转化为函数与的图像交点问题，
函数的零点问题可以转化为函数与的图像交点问题，
易得与互为反函数，即图像关于直线对称，
在同一直角坐标系中作出函数，，的图像如图所示，
设，则由与的图像关于直线对称可得，
由在直线上可知，即．
故答案为3．



四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
39. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
Ⅰ求角A的大小；
Ⅱ若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前n项和．
【答案】解：Ⅰ由及正弦定理得，
整理得，
所以，
又，；
Ⅱ设的公差为d，
由得，
、、成等比数列，
，即，
又，，．
 ．
．
【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了等差数列的通项公式，等比数列的性质和利用裂项相消法求数列的和，属于中档题．
Ⅰ由，利用正弦定理及余弦定理，可得cosA，进而求得A；
Ⅱ设的公差为d，由等差数列的通项公式以及等比数列的性质解得，，进而可得，即可用裂项相消法求和．

40. 在；；这三个条件中任选一个，补充在面问题中，然后解答补充完整的题目．
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，且满足__________．
求sinC；
已知，的外接圆半径为，求的边AB上的高注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解：选择条件：
因为，
所以由正弦定理得，
即，
故                            
又，
所以．
由．
所以                      
由正弦定理得，                 
由余弦定理得，
所以                        
于是得的面积，
所以                                
选择条件：
因为，
由正弦定理得，
即，
于是                                           
在中，，
所以，
                                             
由正弦定理得，                           
由余弦定理得
，
所以，                                
于是得的面积，
所以．
选择条件：
因为，
所以由正弦定理得
，
所以，                                
因为，
所以，
又，
所以，
所以                                                        
由正弦定理得，                               
由余弦定理得，
所以                                      
于是得的面积，
所以
【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，属于较难题．
选择条件：
由正弦定理及三角恒等变换可得tanC，即可得角C的值，从而可得sinC；
由正弦定理得c，由余弦定理可得ab的值，即可得的面积，从而可得的边AB上的高h．
选择条件：
由结合正弦定理及三角恒等变换得，由同角三角函数关系可得sinC；
由正弦定理得c，由余弦定理可得ab，结合三角形面积即可得的边AB上的高h．
选择条件：
由结合正弦定理得，，从而可得，即可得角C的值，从而可得sinC；
由正弦定理得c，由余弦定理可得ab的值，即可得的面积，从而可得的边AB上的高h．

41. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，，．

求证：平面BEF；
求二面角的余弦值． 
【答案】解：证明：在三棱柱中，
平面ABC，
四边形为矩形．
又E，F分别为AC，的中点，
．
．
，

平面BEF．
由知，，．
又平面ABC，平面ABC．
平面ABC，．
如图建立空间直角坐称系．

由题意得2，，0，，0，，0，，2，．
，
设平面BCD的法向量为，

令，则，，
平面BCD的法向量，
又平面的法向量为，
．
由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
【解析】本题主要考查的是线面垂直的判定和性质，平面的法向量，二面角，线线垂直的判定和性质等有关知识．
先判定出四边形为矩形．根据E，F分别为AC，的中点，得到，根据，得到，进而解出此题；
建立空间直角坐称系由题意得2，，0，，0，，0，，2，设平面BCD的法向量为，
令，则，，得到平面BCD的法向量，然后求出．


42. 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C的上顶点，，且的面积等于1．
求C的方程；
若过点A的直线交C于另外一点M，关于直线对称的直线为，交C于另外一点异于点，证明：直线MN过定点．
【答案】解：设椭圆的半焦距为c，
因为，所以，
又，且，所以．
所以椭圆C的方程为
证明：由知，设，，
，，
联立得．
所以．
因为与关于直线对称，
设点到直线的距离为，到直线的距离为
，所以，得，
同理，，
所以，
所以直线MN的方程为
所以，
所以直线MN恒过定点．
【解析】本题主要考查椭圆的概念及标准方程，圆锥曲线中的定点与定值问题，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，属于中等题．
根据题意得到，进而得到即可；
设，，，，联立得，进而得到，，即可．

43. 已知函数．
解不等式；
若过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．
【答案】解：定义域为R，
，  为奇函数，
，为单调递增函数．
，
，
而为奇函数，
，
为单调递增函数，
，
，
，
．
设切点为，
则切线方程为．
在切线上，
，
由题意得，关于的方程有三个不等的实根，
，，
令，则或，令则，
令则或，
即的减区间为，增区间为，
，    解得．
【解析】本题考查了函数的单调性、奇偶性以及切线问题，考查导数的应用，转化思想，是一道综合题．
求出函数的导数，得出函数的单调性，再结合奇偶性，求解即可；
设出切点坐标，表示出切线方程，由在切线上  得，由题知方程应有3个解，从而构造函数，求出m的范围即可．

44. 为了调查“双11”消费活动情况，某校统计小组分别走访了A、B两个小区各20户家庭，他们当日的消费额按，，，，，，分组，分别用频率分布直方图与茎叶图统计如下单位：元：

Ⅰ分别计算两个小区这20户家庭当日消费额在的频率，并补全频率分布直方图；
Ⅱ分别从两个小区随机选取1户家庭，求这两户家庭当日消费额在的户数为1时的概率频率当作概率使用；
Ⅲ运用所学统计知识分析比较两个小区的当日网购消费水平．
【答案】解：Ⅰ小区这20户家庭当日消费额在的频率为
，
B小区这20户家庭当日消费额在的频率为，
补全频率分布直方图如下；

Ⅱ由题意可知，分别从两个小区随机选取1户家庭，
当日消费额均在的概率分别为，．
分别从两个小区随机选取1户家庭，这两户家庭当日消费额均在的户数为1为事件A，
则．
Ⅲ小区当日网购的平均消费水平比B小区高，且消费水平的分化程度比B小区小．
【解析】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了运用概率解决问题，属于中档题；
Ⅰ根据条件分别计算两个小区这20户家庭当日消费额在的频率，即可得解；
Ⅱ由题意可知，分别从两个小区随机选取1户家庭，当日消费额均在的概率分别为，即可得解；
Ⅲ小区当日网购的平均消费水平比B小区高，且消费水平的分化程度比B小区小．