湖南省郴州市2020年中考数学试卷

湖南省郴州市2020年中考数学试卷

一、单选题（共8题；共16分）

1.如图表示互为相反数的两个点是（    ） 

A. 点 与点                     B. 点 与点                     C. 点 与点                     D. 点 与点

2.年 月 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达 纳秒（ 秒= 纳秒）用科学记数法表示 纳秒为（    ）           

A. 秒                     B. 秒                     C. 秒                     D. 秒

3.下列图形是中心对称图形的是（    ）           

A.          B.          C.          D. 

4.下列运算正确的是（    ）           

A.                    B.                    C.                    D. 

5.如图，直线 被直线 所截下列条件能判定 的是（    ） 

A.                     B.                     C.                     D. 

6.某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 

则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（    ）

A. 中位数                                  B. 平均数                                  C. 众数                                  D. 方差

7.如图 ，将边长为 的大正方形剪去一个边长为 的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（    ） 

A.                                           B. 
C.                                           D. 

8.在平面直角坐标系中，点 是双曲线 上任意一点，连接 ，过点 作 的垂线与双曲线 交于点 ，连接 ．已知 ，则 （    ） 

A.                                          B.                                          C.                                          D. 

二、填空题（共8题；共8分）

9.若分式 的值不存在，则 ________．   

10.已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ________．   

11.质检部门从 件电子元件中随机抽取 件进行检测，其中有 件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有________件次品．   

12.某 人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为： ，方差为 ．后来老师发现每人都少加了 分，每人补加 分后，这 人新成绩的方差 ________．   

13.小红在练习仰卧起坐，本月 日至 日的成绩与日期具有如下关系： 

小红的仰卧起坐成绩y与日期 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为________．

14.在平面直角坐标系中，将 以点 为位似中心， 为位似比作位似变换，得到 ．已知 ，则点 的坐标是________． 

15.如图，圆锥的母线长为 ，侧面展开图的面积为 ，则圆锥主视图的面积为________． 

16.如图，在矩形 中， ．分别以点 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 和 ．作直线 分别与 交于点 ，则 ________． 

三、解答题（共10题；共82分）

17.计算：

18.解方程：

19.如图，在菱形 中，将对角线 分别向两端延长到点 和 ，使得 ．连接 ．求证：四边形 是菱形． 

20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机 等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为： ．效果很好； ．效果较好； ．效果一般； ．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 

（1）此次调查中，共抽查了________-名学生；   

（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数；   

（3）某班 人学习小组，甲、乙 人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取 人，则“ 人认为效果很好， 人认为效果较好”的概率是多少?（要求画树状图或列表求概率）   

21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面 处发射、当火箭到达点 时，地面 处的雷达站测得 米，仰角为 ．3秒后，火箭直线上升到达点 处，此时地面 处的雷达站测得 处的仰角为 ．已知 两处相距 米，求火箭从 到 处的平均速度（结果精确到 米，参考数据： ） 

22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共 吨，甲物资单价为 万元/吨，乙物资单价为 万元吨，采购两种物资共花费 万元．   

（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨?   

（2）现在计划安排 两种不同规格的卡车共 辆来运输这批物资．甲物资 吨和乙物资 吨可装满一辆 型卡车；甲物资 吨和乙物资 吨可装满一辆 型卡车．按此要求安排 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案?   

23.如图， 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径．直线 与⊙ 相切于点 ，在 上取一点 使得 ．线段 ， 的延长线交于点 ． 

（1）求证：直线 是⊙ 的切线；   

（2）若 ， ，求阴影部分的面积（结果保留 ）．   

24.为了探索函数 的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法． 

列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 的取值为横坐标，以相应的函数值 为纵坐标，描出相应的点，如图 所示：

（1）如图 ，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；   

（2）已知点 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 

若 ，则 ________ ；

若 ，则 ________ ；

若 ，则 ________ （填“>”，“=”，“<”）．

（3）某农户要建造一个图 所示的长方体形无盖水池，其底面积为 平方米，深为 米．已知底面造价为 千元/平方米，侧面造价为 千元/平方米，设水池底面一边的长为 米，水池总造价为 千元． 

①请写出 与 的函数关系式；

②若该农户预算不超过 千元，则水池底面一边的长 应控制在什么范围内?

25.如图 ，在等腰直角三角形 中， ．点 是 的中点，以 为边作正方形 ，连接 ．将正方形 绕点 顺时针旋转，旋转角为 ． 

（1）如图 ，在旋转过程中， 

①判断 与 是否全等，并说明理由；

②当 时， 与 交于点 ，求 的长．

（2）如图 ，延长 交直线 于点 ． 

①求证： ；

②在旋转过程中，线段 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

26.如图 ，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于点 ．已知直线 过 两点． 

（1）求抛物线和直线 的表达式；   

（2）点 是抛物线上的一个动点， 

①如图 ，若点 在第一象限内，连接 ，交直线 于点 ．设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴 与 轴交于点 ，过点 作 ，垂足为 ．点 是对称轴 上的一个动点，是否存在以点 为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．

故答案为：B．

【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．

2.【解析】【解答】∵1秒=1000000000纳秒，

∴10纳秒=10÷1000000000秒=0.000 00001秒=1×10-8秒．

故答案为：A．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3.【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故答案为：D．

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．

4.【解析】【解答】A. ，计算符合题意，符合题意；

B. ，故本选项不符合题意；

C. ，故本选项不符合题意；

D. 不能计算，故本选项不符合题意；

故答案为：A．

【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项法则进行计算得出结果进行判断即可．

5.【解析】【解答】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；

B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；

C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；

D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；

故答案为：D．

【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．

6.【解析】【解答】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．

故答案为：C．

【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．

7.【解析】【解答】第一个图形空白部分的面积是x2-1，

第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．

则x2-1=（x+1）（x-1）．

故答案为：B．

【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．

8.【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，

则∠AEO=∠BFO=90°，

∴∠AOE+∠OAE=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOF+∠AOE=90°，

∴∠OAE=∠BOF，

∴△AOE∽△OBF，

∴ ，即 ，

∴

∵ ， ，

∴ ．

故答案为：B．

【分析】分别作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E，F，证明△AOE∽△OBF得到 ，结合反比例函数的系数的几何意义即可得到答案．

二、填空题

9.【解析】【解答】∵分式 的值不存在，

∴x+1=0，

解得：x=-1，

故答案为：-1．

【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．

10.【解析】【解答】∵ ， ， ，

根据题意得 ，

解得 ，

故答案为： ．

【分析】利用判别式的意义得到 ，然后解关于c的方程即可．

11.【解析】【解答】∵随机抽取100件进行检测，检测出次品2件，

∴次品所占的百分比是： ，

∴这一批次产品中的次品件数是：： (件)，

故答案为：20．

【分析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1000件，直接相乘得出答案即可．

12.【解析】【解答】∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，

∴所得到的一组新数据的方差为S新2=8.0；

故答案为：8.0．

【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．

13.【解析】【解答】解：设该函数表达式为y=kx+b，根据题意得：

，

解得 ，

∴该函数表达式为y=3x+37．

故答案为：y=3x+37．

【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．

14.【解析】【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心， 为位似比作位似变换，得到△A1OB1  ， A（2，3），

∴点A1的坐标是： ，

即A1 ．

故答案为： ．

【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．

15.【解析】【解答】根据圆锥侧面积公式：S=πrl，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，

故60π=π×10×r，

解得：r=6．

由勾股定理可得圆锥的高= =8

∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，

∴它的面积= ，

故答案为：48

【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可．

16.【解析】【解答】如图，连接DN，

在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，

∴BD= ，

根据作图过程可知：

MN是BD的垂直平分线，

∴DN=BN，OB=OD=2 ，

∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，

在Rt△ADN中，根据勾股定理，得

DN2=AN2+AD2  ，

∴DN2=（8-DN）2+42  ，

解得DN=5，

在Rt△DON中，根据勾股定理，得

ON= ，

∵CD∥AB，

∴∠MDO=∠NBO，

∠DMO=∠BNO，

∵OD=OB，

∴△DMO≌△BNO（AAS），

∴OM=ON= ，

∴MN=2 ．

故答案为：2 ．

【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．

三、解答题

17.【解析】【分析】根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可．

18.【解析】【分析】观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．

19.【解析】【分析】连接BD，由菱形ABCD的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，证出四边形BEDF是平行四边形，再由EF⊥BD，即可证出四边形BEDF是菱形．

20.【解析】【解答】（1）80÷40%=200（人），

故答案为：200；

【分析】（1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数；（2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的总人数，得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以360°可得到∠∝；（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得到“ 人认为效果很好， 人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可.

21.【解析】【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，DO=2000 ，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得2000+3x=2000 -460，进而解得x的值．

22.【解析】【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．

23.【解析】【分析】（1）连接OC，根据OA＝OC，DA＝DC可得∠OAC＝∠OCA，∠DAC＝∠DCA，再根据直线 与⊙ 相切于点 可得∠DAO＝90°，进而可得∠DCO＝90°，由此可证得直线 是⊙ 的切线；（2）先证明 BOC为等边三角形，可得OB＝OC＝BC＝2，根据扇形面积公式可求得 ，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得 ，由此可求得 ，最后便可得 ．

24.【解析】【解答】（2）根据图象和表格可知，当 时， ＞ ；当 ，则 ＜ ；当 ，则 ＝ ；

【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出 与 的函数关系式；②根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围．

25.【解析】【分析】（1）①由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理（SAS）即可证明；②过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出AM的长，进而得出 ，再由 求出结果；（2）①根据全等三角形性质可得 ，再在 和 中由三角形内角和定理得出 ，从而证明结论；②根据∠APC=90°得出PC最大值是∠GAD最大时，即GD⊥AG时，进而可知CEF三点共线，F与P重合，求出此时CE长，继而可得CP最大值．

26.【解析】【分析】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入 可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入 即可求解（2）①设点D的坐标为( ， )，利用待定系数法求得直线PA的表达式为 ，解方程 ，求得点P的横坐标为 ，利用平等线分线段成比例定理求得 ，得到 ，利用二次函数的性质即可求解；②根据等腰直角三角形的性质求得点 的坐标为(2， )，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解．