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贵州省遵义市2020年中考数学试卷
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这是一份贵州省遵义市2020年中考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
贵州省遵义市2020年中考数学试卷
一、选择题（共12小题）.（共12题；共24分）
1.﹣3的绝对值是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. D. ±3
2.在文化旅游大融合的背景下，享受文化成为旅游业的新趋势.今年“五一”假期，我市为游客和市民提供了丰富多彩的文化享受，各艺术表演馆美术馆、公共图书馆、群众文化机构、非遗机构及文物机构累计接待游客18.25万人次，将18.25万用科学记数法表示为（ ）
A. 1.825×105 B. 1.825×106 C. 1.825×107 D. 1.825×108
3.一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°
4.下列计算正确的是（ ）
A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
5.某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ）
A. 众数是36.5 B. 中位数是36.7 C. 平均数是36.6 D. 方差是0.4
6.已知x1 ， x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A. 5 B. 10 C. 11 D. 13
7.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2 ， 设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600
C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600
8.新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点.用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A. B. C. 4 D.
10.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图.在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝ ＝ ＝ ＝2﹣ .类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. +1 B. ﹣1 C. D.
11.如图，△ABO的顶点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
12.抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2.抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）
①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本小题共4小题，每小题4分，共16分）（共4题；共16分）
13.计算： ﹣ 的结果是________.
14.如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为________.
15.如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平.E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上.若CD＝5，则BE的长是________.
16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是________.
三、解答题（本题共有8小题，共86分.）（共8题；共80分）
17.计算：
（1）sin30°﹣（π﹣3.14）0+（﹣ ）﹣2；
（2）解方程； ＝ .
18.化简式子 ÷（x﹣ ），从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值.
19.某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门.如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间.身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度.（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
20.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD.若OF＝1，BF＝2，求BD的长度.
21.遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
课外劳动时间频数分布表
劳动时间分组
频数
频率
0≤t＜20
2
0.1
20≤t＜40
4
m
40≤t＜60
6
0.3
60≤t＜80
a
0.25
80≤t＜100
3
0.15
解答下列问题：
（1）频数分布表中a＝▲ ， m＝▲；将频数分布直方图补充完整；
（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
（3）已知课外劳动时间在60h≤t＜80h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率.
22.为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
时间
销售数量（个）
销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量）
甲种型号
乙种型号
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润.
23.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G.
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长.
24.如图，抛物线y＝ax2+ x+c经过点A（﹣1，0）和点C （0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径.
答案解析部分
一、选择题（共12小题）.
1.【解析】【解答】解：﹣3的绝对值是3.
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的几何意义“绝对值就是数轴上的点与原点的距离”可求解.
2.【解析】【解答】解：18.25万＝182500，用科学记数法表示为：1.825×105.
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3.【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
故答案为：B.
【分析】由题意根据“两直线平行，内错角相等”可求解.
4.【解析】【解答】解：A、x2+x不能合并，故此选项错误；
B、（﹣3x）2＝9x2 ， 故此选项错误；
C、8x4÷2x2＝4x2 ， 故此选项正确；
D、（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2 ， 故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】A、因为x2和x不是同类项，所以不能合并；
B、由“积的乘方等于把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可判断；
C、由单项式除以单项式法则可判断；
D、由平方差公式可判断.
5.【解析】【解答】解：7个数中36.5出现了三次，次数最多，即众数为36.5，故A选项正确，符合题意；
将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第4个数为36.5，即中位数为36.5，故B选项错误，不符合题意；
平均数为：×（36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）＝36.5，故C选项错误，不符合题意；
S2＝ [（36.3﹣36.5）2+（36.4﹣36.5）2+3×（36.5﹣36.5）2+（36.6﹣36.5）2+（36.7﹣36.5）2]＝ ，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按从小到大排列后，①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据平均数及方差的计算方法分别算出这组数据的平均数及方差，进而即可判断得出答案.
6.【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13.
故答案为：D.
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，由完全平方公式可得x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ， 然后整体代入计算即可求解.
7.【解析】【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝32.
故答案为：D.
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积=长×宽可得出关于x的一元二次方程.
8.【解析】【解答】解：A.此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B.此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C.此函数图象中，S1、S2同时到达终点，符合题意；
D.此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由故事可知：乌龟是匀速行走的，图象为线段.兔子是：跑﹣停﹣急跑，图象由三条折线组成；最后同时到达终点，即到达终点花的时间相同，根据这些特征即可判断求解.
9.【解析】【解答】解：如图.
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝ ＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB•DE＝ AC•BD，
∴DE＝ ＝ ＝ .
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质以及勾股定理，在直角三角形ABO中求得OB的长，由BD=2OB求得BD的长，然后由菱形的面积=AC·BD=AB·DE可求得线段DE的长.
10.【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝ ，
∴tan22.5°＝ ＝ ＝ ﹣1，
故答案为：B.
【分析】连接AD，由三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，由勾股定理可得AB＝BD＝ ，根据tan22.5°＝计算即可求解.
11.【解析】【解答】解：∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴ ＝ ，
∴S△ANQ＝1，
∵ ＝（ ）2＝ ，
∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18，
故答案为：D.
【分析】由平行于三角形一边的直线截其它两边，或两边的延长线,所构成的三角形与原三角形相似
可得△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，根据反比例函数的k的几何意义即可求解.
12.【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
∴c＞3a，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），
∴抛物线与直线y＝2有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴ ＝3，
∴b2+12a＝4ac，
∵4a﹣b＝0，
∴b＝4a，
∴b2+3b＝4ac，
∵a＜0，
∴b＝4a＜0，
∴b2+2b＞4ac，所以④正确；
故答案为：C.
【分析】①根据抛物线的对称轴x=可得4a﹣b＝0；
②由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性以及由x＝﹣1时y＞0可得a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，整理得c＞3a；
③由抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3）可知抛物线与直线y＝2有两个交点，由一元二次方程的根的判别式可得关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；
④根据抛物线的顶点的纵坐标为3得到＝3，结合①的结论可得b2+2b＞4ac.
二、填空题（本小题共4小题，每小题4分，共16分）
13.【解析】【解答】解： ＝2 ﹣ ＝ .
故答案为： .
【分析】首先根据二次根式的性质化简 ，然后再合并同类二次根式即可.
14.【解析】【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），
∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4.
故答案为 :x＜4.
【分析】观察函数图象，写出直线y＝kx+2在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可.
15.【解析】【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC.
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上.
∴A′B＝AB＝2BM.
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B＝ ，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE＝ =.
故答案为： .
【分析】由折叠的性质可得：A′B=AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC，解直角三角形A'BM求出∠BA′M＝30°，再证明∠ABE＝30°即可解决问题.
16.【解析】【解答】解：连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BD＝4，CD＝1，
∴BC＝4+1＝5，
∴OB＝OC＝ ，
∴OA＝ ，OF＝BF＝ ，
∴DF＝BD﹣BF＝ ，
∴OG＝ ，GD＝ ，
在Rt△AGO中，AG＝ ＝ ，
∴AD＝AG+GD＝ ，
∴AD×DE＝BD×CD，
DE＝ ＝ .
故答案为： .
【分析】连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得DG，AG，由线段的构成可得AD=AG+GD，再根据相交弦定理可求DE.
三、解答题（本题共有8小题，共86分.）
17.【解析】【分析】（1）先利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值化简，再根据有理数加减法法则计算即可；
（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，解这个整式方程可得x的值，代入最简公分母经检验即可得分式方程的解.
18.【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，再将各分式的分子和分母能分解因式的分别分解因式，将除法转变为乘法，并约分可将分式化简；然后结合分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可求解.
19.【解析】【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNB，通过解直角三角形分别求得BE、CE的长度，易得BC的值；然后根据矩形的性质得MN＝BC可求解.
20.【解析】【分析】（1）连接OD,由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理可求解；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值.
21.【解析】【解答】解：（1）a＝（2÷0.1）×0.25＝5，
m＝4÷20＝0.2，
补全的直方图如图所示：
故答案为：5，0.2；
【分析】（1）根据频数分布表所给数据，结合样本容量=各小组频数之和以及各小组频率之和=1即可求出a，m；然后根据求得的数据可以补充完整频数分布直方图；
（2）根据样本估计总体的方法即可估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；（3）根据题意画出用树状图即可求所选学生为1男1女的概率.
22.【解析】【分析】（1）根据表格中的信息可得相等关系:甲种型号22件的收入+乙种型号8件的收入=1100， 甲种型号38件的收入+乙种型号24件的收入=2460；根据相等关系列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种型号水杯的销售单价；
（2）根据 这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，可列关于a的不等式组，解不等式组可求得a的范围；由利润=甲的利润×件数+乙的利润×件数可列出w与a的函数关系式，结合一次函数的性质可求解.
23.【解析】【分析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；
（2）由（1）中的全等三角形可得ME=NF，根据勾股定理可求得CE的长；由 AF∥CD可得 △DGC∽△FGA，于是可得比例式求得AG和CG、CE的长，然后根据线段的构成即可得到GE的长.
24.【解析】【分析】（1）由题意把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2+x+c可得关于a、c的二元方程组，解这个方程组可求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；
（2）不存在。可分两种情况讨论求解：
①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，根据tan60°＝可求得QH的值，则Q（， ），把点Q的坐标代入抛物线的解析式y＝﹣x2+x+3计算，不能使解析式成立，即点Q不在抛物线上，则假设不成立；②当点Q在y轴的左边时，同理可得假设不成立；
（3）求出B（4，0）,待定系数法得出BC直线的解析式，分①当⊙M与x轴相切时,延长PM交AB于点D,则点D为⊙M与x轴的切点,即PM＝MD，设P（x，﹣ x2+x+3），M（x，﹣x+3），则PD、MD可用含x的代数式表示，由PD﹣MD＝MD可得关于xx的方程，解方程可得x＝1，即可得出结果；②当⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，﹣x2+x+3），M（x，﹣x+3），同理可求解.
贵州省遵义市2020年中考数学试卷
一、选择题（共12小题）.（共12题；共24分）
1.﹣3的绝对值是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. D. ±3
2.在文化旅游大融合的背景下，享受文化成为旅游业的新趋势.今年“五一”假期，我市为游客和市民提供了丰富多彩的文化享受，各艺术表演馆美术馆、公共图书馆、群众文化机构、非遗机构及文物机构累计接待游客18.25万人次，将18.25万用科学记数法表示为（ ）
A. 1.825×105 B. 1.825×106 C. 1.825×107 D. 1.825×108
3.一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°
4.下列计算正确的是（ ）
A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
5.某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ）
A. 众数是36.5 B. 中位数是36.7 C. 平均数是36.6 D. 方差是0.4
6.已知x1 ， x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A. 5 B. 10 C. 11 D. 13
7.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2 ， 设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600
C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600
8.新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点.用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A. B. C. 4 D.
10.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图.在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝ ＝ ＝ ＝2﹣ .类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. +1 B. ﹣1 C. D.
11.如图，△ABO的顶点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
12.抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2.抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）
①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本小题共4小题，每小题4分，共16分）（共4题；共16分）
13.计算： ﹣ 的结果是________.
14.如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为________.
15.如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平.E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上.若CD＝5，则BE的长是________.
16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是________.
三、解答题（本题共有8小题，共86分.）（共8题；共80分）
17.计算：
（1）sin30°﹣（π﹣3.14）0+（﹣ ）﹣2；
（2）解方程； ＝ .
18.化简式子 ÷（x﹣ ），从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值.
19.某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门.如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间.身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度.（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
20.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD.若OF＝1，BF＝2，求BD的长度.
21.遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
课外劳动时间频数分布表
劳动时间分组
频数
频率
0≤t＜20
2
0.1
20≤t＜40
4
m
40≤t＜60
6
0.3
60≤t＜80
a
0.25
80≤t＜100
3
0.15
解答下列问题：
（1）频数分布表中a＝▲ ， m＝▲；将频数分布直方图补充完整；
（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
（3）已知课外劳动时间在60h≤t＜80h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率.
22.为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
时间
销售数量（个）
销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量）
甲种型号
乙种型号
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润.
23.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G.
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长.
24.如图，抛物线y＝ax2+ x+c经过点A（﹣1，0）和点C （0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径.
答案解析部分
一、选择题（共12小题）.
1.【解析】【解答】解：﹣3的绝对值是3.
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的几何意义“绝对值就是数轴上的点与原点的距离”可求解.
2.【解析】【解答】解：18.25万＝182500，用科学记数法表示为：1.825×105.
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3.【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
故答案为：B.
【分析】由题意根据“两直线平行，内错角相等”可求解.
4.【解析】【解答】解：A、x2+x不能合并，故此选项错误；
B、（﹣3x）2＝9x2 ， 故此选项错误；
C、8x4÷2x2＝4x2 ， 故此选项正确；
D、（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2 ， 故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】A、因为x2和x不是同类项，所以不能合并；
B、由“积的乘方等于把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可判断；
C、由单项式除以单项式法则可判断；
D、由平方差公式可判断.
5.【解析】【解答】解：7个数中36.5出现了三次，次数最多，即众数为36.5，故A选项正确，符合题意；
将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第4个数为36.5，即中位数为36.5，故B选项错误，不符合题意；
平均数为：×（36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）＝36.5，故C选项错误，不符合题意；
S2＝ [（36.3﹣36.5）2+（36.4﹣36.5）2+3×（36.5﹣36.5）2+（36.6﹣36.5）2+（36.7﹣36.5）2]＝ ，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按从小到大排列后，①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据平均数及方差的计算方法分别算出这组数据的平均数及方差，进而即可判断得出答案.
6.【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13.
故答案为：D.
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，由完全平方公式可得x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ， 然后整体代入计算即可求解.
7.【解析】【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝32.
故答案为：D.
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积=长×宽可得出关于x的一元二次方程.
8.【解析】【解答】解：A.此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B.此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C.此函数图象中，S1、S2同时到达终点，符合题意；
D.此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由故事可知：乌龟是匀速行走的，图象为线段.兔子是：跑﹣停﹣急跑，图象由三条折线组成；最后同时到达终点，即到达终点花的时间相同，根据这些特征即可判断求解.
9.【解析】【解答】解：如图.
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝ ＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB•DE＝ AC•BD，
∴DE＝ ＝ ＝ .
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质以及勾股定理，在直角三角形ABO中求得OB的长，由BD=2OB求得BD的长，然后由菱形的面积=AC·BD=AB·DE可求得线段DE的长.
10.【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝ ，
∴tan22.5°＝ ＝ ＝ ﹣1，
故答案为：B.
【分析】连接AD，由三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，由勾股定理可得AB＝BD＝ ，根据tan22.5°＝计算即可求解.
11.【解析】【解答】解：∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴ ＝ ，
∴S△ANQ＝1，
∵ ＝（ ）2＝ ，
∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18，
故答案为：D.
【分析】由平行于三角形一边的直线截其它两边，或两边的延长线,所构成的三角形与原三角形相似
可得△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，根据反比例函数的k的几何意义即可求解.
12.【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
∴c＞3a，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），
∴抛物线与直线y＝2有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴ ＝3，
∴b2+12a＝4ac，
∵4a﹣b＝0，
∴b＝4a，
∴b2+3b＝4ac，
∵a＜0，
∴b＝4a＜0，
∴b2+2b＞4ac，所以④正确；
故答案为：C.
【分析】①根据抛物线的对称轴x=可得4a﹣b＝0；
②由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性以及由x＝﹣1时y＞0可得a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，整理得c＞3a；
③由抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3）可知抛物线与直线y＝2有两个交点，由一元二次方程的根的判别式可得关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；
④根据抛物线的顶点的纵坐标为3得到＝3，结合①的结论可得b2+2b＞4ac.
二、填空题（本小题共4小题，每小题4分，共16分）
13.【解析】【解答】解： ＝2 ﹣ ＝ .
故答案为： .
【分析】首先根据二次根式的性质化简 ，然后再合并同类二次根式即可.
14.【解析】【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），
∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4.
故答案为 :x＜4.
【分析】观察函数图象，写出直线y＝kx+2在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可.
15.【解析】【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC.
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上.
∴A′B＝AB＝2BM.
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B＝ ，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE＝ =.
故答案为： .
【分析】由折叠的性质可得：A′B=AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC，解直角三角形A'BM求出∠BA′M＝30°，再证明∠ABE＝30°即可解决问题.
16.【解析】【解答】解：连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BD＝4，CD＝1，
∴BC＝4+1＝5，
∴OB＝OC＝ ，
∴OA＝ ，OF＝BF＝ ，
∴DF＝BD﹣BF＝ ，
∴OG＝ ，GD＝ ，
在Rt△AGO中，AG＝ ＝ ，
∴AD＝AG+GD＝ ，
∴AD×DE＝BD×CD，
DE＝ ＝ .
故答案为： .
【分析】连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得DG，AG，由线段的构成可得AD=AG+GD，再根据相交弦定理可求DE.
三、解答题（本题共有8小题，共86分.）
17.【解析】【分析】（1）先利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值化简，再根据有理数加减法法则计算即可；
（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，解这个整式方程可得x的值，代入最简公分母经检验即可得分式方程的解.
18.【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，再将各分式的分子和分母能分解因式的分别分解因式，将除法转变为乘法，并约分可将分式化简；然后结合分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可求解.
19.【解析】【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNB，通过解直角三角形分别求得BE、CE的长度，易得BC的值；然后根据矩形的性质得MN＝BC可求解.
20.【解析】【分析】（1）连接OD,由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理可求解；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值.
21.【解析】【解答】解：（1）a＝（2÷0.1）×0.25＝5，
m＝4÷20＝0.2，
补全的直方图如图所示：
故答案为：5，0.2；
【分析】（1）根据频数分布表所给数据，结合样本容量=各小组频数之和以及各小组频率之和=1即可求出a，m；然后根据求得的数据可以补充完整频数分布直方图；
（2）根据样本估计总体的方法即可估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；（3）根据题意画出用树状图即可求所选学生为1男1女的概率.
22.【解析】【分析】（1）根据表格中的信息可得相等关系:甲种型号22件的收入+乙种型号8件的收入=1100， 甲种型号38件的收入+乙种型号24件的收入=2460；根据相等关系列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种型号水杯的销售单价；
（2）根据 这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，可列关于a的不等式组，解不等式组可求得a的范围；由利润=甲的利润×件数+乙的利润×件数可列出w与a的函数关系式，结合一次函数的性质可求解.
23.【解析】【分析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；
（2）由（1）中的全等三角形可得ME=NF，根据勾股定理可求得CE的长；由 AF∥CD可得 △DGC∽△FGA，于是可得比例式求得AG和CG、CE的长，然后根据线段的构成即可得到GE的长.
24.【解析】【分析】（1）由题意把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2+x+c可得关于a、c的二元方程组，解这个方程组可求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；
（2）不存在。可分两种情况讨论求解：
①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，根据tan60°＝可求得QH的值，则Q（， ），把点Q的坐标代入抛物线的解析式y＝﹣x2+x+3计算，不能使解析式成立，即点Q不在抛物线上，则假设不成立；②当点Q在y轴的左边时，同理可得假设不成立；
（3）求出B（4，0）,待定系数法得出BC直线的解析式，分①当⊙M与x轴相切时,延长PM交AB于点D,则点D为⊙M与x轴的切点,即PM＝MD，设P（x，﹣ x2+x+3），M（x，﹣x+3），则PD、MD可用含x的代数式表示，由PD﹣MD＝MD可得关于xx的方程，解方程可得x＝1，即可得出结果；②当⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，﹣x2+x+3），M（x，﹣x+3），同理可求解.
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