第2讲一元二次方程的解法（1）-人教版暑假班九年级数学上册教学案（教育机构专用）

    第  2  讲   

1.解法一 ——直接开方法

适用范围：可解部分一元二次方程

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(n≥0)的方程，其解为

2.解法二 ——配方法

适用范围：可解全部一元二次方程

引例：解一元二次方程：                   移项→

两边加一次项系数一半的平方配成的形式 →

左边写成平方形式 →

降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5 

解一次方程→

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．

配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)  现将已知方程化为一般形式；

(2)  化二次项系数为1；

(3)  常数项移到右边；

(4)  方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

(5)  变形为的形式，如果q≥0，方程的根是；如果q＜0,方程无实根．

用配方法解一元二次方程小口诀：

　　      二次系数化为一

　　      常数要往右边移

　　      一次系数一半方

两边加上最相当

类型一：直接开方法解一元二次方程

我们已经讲了，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。

【例1】解方程：（1）           （2）        （3）

【例3】已知关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　)

1.  m≥－  B． m≥0

C. m≥1  D．

1. 一元二次方程的解是_____________．
2. 方程的根是(　　)

A．    B．     C．  D．

3. 已知等腰三角形的两边长分别是(x－3)2＝1的两个根，则这个三角形的周长是(　　)

A．2或4         B．8          C．10          D．8或10

4. 用直接开平方法解下列方程：

(1)8x2＝2;        (2)(3x＋1)2－9＝0;       (3)100(1－x)2＝64;         (4)3(2x＋3)2－75＝0.

5. 阅读下列解答过程．

解方程：(x－1)2＝4.

解：∵(x－1)2＝4，①

∴x－1＝2，②

∴x＝3.③

(1)上述过程中有没有错误？若有，错在步骤________(填序号)，原因是___________________.

(2)请写出正确的解答过程．

类型二：配方法解一元二次方程

【例1】 填一填：

（1）     = （    ）              （2）     = （    ）

（3）     = （    ）                (4)      = （    ）

(5)     = （    ）

 【例2】用配方法解下列方程

    （1）2x2+1=3x                           （2）（1+x）2+2（1+x）-4=0

【例3】如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______

1. 将二次三项式x2-4x+1配方后得（  ）．

      A．（x-2）2+3     B．（x-2）2-3    C．（x+2）2+3     D．（x+2）2-3

2. 用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（  ）．

      A．（x-）2=，x=±         B．（x-）2=-，原方程无解

      C．（x-）2=，x1=+，x2=      D．（x-）2=1，x1=，x2=-

3. 用配方法解下列关于x的方程

    （1）x2-8x+1=0                  （2）x2-2x-=0           （3）3x2-6x-1=0    

4. 用配方法解方程

5. 如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．

1. 方程(x＋2)2－3＝0的解为(　　)

1. x1＝2＋，x2＝－2－

B. x1＝2＋，x2＝－2＋

C. x1＝2－，x2＝2＋

D. x1＝－2＋，x2＝－2－

2. 如果x＝－3是一元二次方程ax2＝c的一个根，那么该方程的另一个根是(　　)

A．3  B．－3

C．0  D．1

3. 下列方程中，一定有实数解的是（  ）．

      A．x2+1=0           B．（2x+1）2=0      C．（2x+1）2+3=0     D．（x-a）2=a

4.  如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（  ）．

      A．1       B．-1       C．1或9      D．-1或9

5. 已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（  ）．

      A．1     B．2     C．-1      D．-2

6.在实数范围内定义一种新运算“Δ”，其规则为aΔb＝a2－b2.

(1)求4Δ3的值；

(2)若(x＋2)Δ5＝0，求x的值．

【课后作业】

1.方程3x2+9=0的根为（  ）．

      A．3      B．-3      C．±3     D．无实数根

2.若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（  ）．

      A．p=4，q=2     B．p=4，q=-2     C．p=-4，q=2    D．p=-4，q=-2

3.若8x2-16=0，则x的值是_________．

4.如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________

5.如果x2+4x-5=0，则x=_______．

6.用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0          （2）x2+3=2x          （3）

7.已知关于x的方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．

8.已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．

参考答案

类型一：

例1：（1）        （2）

（2）无解

例2：B

举一反三：

1.      2.  C        3.   C    

4.   (1)            (2)   

(3)                (4)

5.   (1)    ②       正数的平方根有2个值。

（2）解：

类型二：

例1.填一填：

（1），    （2） ，    （3），    （4），  （5），

例2：

（1）     （2）

例3：

举一反三：

1.   B     2.     B      
2. (1)       (2)    

（2）

1. D    2.A   3. B   4.C   5.B

5. (1)   9

(2) 

【课后作业】

1. D    2. B    3.     4.    5. 1或

6. （1）  

（2）

（3）

7.        ，